N अप्रतिस्पर्धी, विभेद्य कणों के लिए दो ऊर्जा स्तर उपलब्ध हैं, 0 (अनिर्जित) और ϵ (द्विगुणित निर्जित)। यदि U निकाय की कुल ऊर्जा है, तो N के बड़े मानों के लिए निकाय की एन्ट्रापी \(k_B\left[N \ln N-\left(N-\frac{U}{\epsilon}\right) \ln \left(N-\frac{U}{\epsilon}\right)+X\right]\) है। इस व्यंजक में, X _______ है।

अवधारणा - हम दोनों कणों के लिए आंतरिक ऊर्जा ज्ञात करेंगे और फिर आंतरिक ऊर्जा के साथ कणों की संख्या को प्रतिस्थापित करेंगे।

एन्ट्रापी और प्रायिकता संबंध को इस प्रकार संबंधित किया जा सकता है: \(S=k ln W\)

• S कण की एन्ट्रापी है
• W प्रायिकता है

गणना-

• मान लें \(n_1\) और \(n_2\), \(0\) और \(\epsilon\) ऊर्जा स्तरों वाले विभेद्य कण हैं जहाँ \(n_1+n_2=N\)
• \(N=\) अप्रतिस्पर्धी विभेद्य कण
• \(N=n_1+n_2\)

अब, \(U=n_1\times0 +n_2\times\epsilon\) \(\implies\) \(n_2=\)\(U\over\epsilon\)
\(n_1=N-n_2 = N-\) \(U\over\epsilon\)

• दो कणों \(n_1\) और \(n_2\) की प्रायिकता को \(W= \) \({N!\over n_1!\times\frac {n_2} {2}!\times\frac {n_2} {2}! }\) इस प्रकार लिखा जा सकता है जहाँ W प्रायिकता है।
• एन्ट्रापी और प्रायिकता संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(S=k ln W\)
• \(S=kln ({N!\over n_1!\times\frac {n_2} {2}!\times\frac {n_2} {2}! })\)

\(n_1\) और \(n_2\) के मान प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

• \(S=kln[\)\(N!\over\ (N-\frac{U} {\epsilon} )!\times(\frac {U} {2\times\epsilon} )^2 !\)\(]\)​
• \(S=k[lnN!-ln(N-\frac {U} {\epsilon})!-2ln(\frac {U} {2\epsilon})!]\)
• अब, स्टर्लिंग सूत्र का उपयोग करें, \(lnN!=NlnN-N\)

हमें प्राप्त होता है,

• \(S=k [NlnN-N-[(N-\frac {U} {\epsilon})ln(N-\frac {U} {\epsilon})-(N-\frac {U} {\epsilon})]-2[(\frac {U} {2\epsilon})ln(\frac {U} {2\epsilon})-(\frac {U} {\epsilon})]\)

​

• \(S=k[NlnN-N-(N-\frac {U} {\epsilon})ln(N-\frac {U} {\epsilon} )+N-\frac {U} {\epsilon}-2(\frac {U} {2\epsilon})ln(\frac {U} {2\epsilon})+\frac {U} {\epsilon}]\)

\(N\) और \(U\over\epsilon\) को निरस्त करने पर हमें प्राप्त होता है,

• \(S=k[NlnN-(N-\frac {U} {\epsilon})ln(N-\frac {U} {\epsilon})-\frac {U} {\epsilon} ln(\frac {U} {2\epsilon})]\)

इसे दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,

• \(S=k[NlnN-(N-\frac {U} {\epsilon})ln(N-\frac {U} {\epsilon})+X]\)

यहाँ, \(X\) का मान = \(-(\frac {U} {\epsilon}) ln(\frac {U} {2\epsilon})\)