परमाणु क्रमांक Z के परमाणुओं के समुदाय के (बाह्यतम इलेक्ट्रॉनों का) इलेक्ट्रॉन अभ्र को संतत आवेश - घनत्व ρ(r) से वर्णित किया जाता है जो स्वयं को इस प्रकार व्यवस्थित करता है कि फ़र्मी स्तर पर इलेक्ट्रॉन-ऊर्जा शून्य होती है। यदि V(r) स्थानीय स्थिर वैद्युत विभव हो, तो ρ(r) है।

व्याख्या:

• धातुओं में इलेक्ट्रॉन घनत्व के लिए फर्मी मॉडल का पालन करते हुए और त्रि-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस पर विचार करते हुए, आवेश घनत्व ρ(r) इस प्रकार दिया गया है: \(ρ(r) = -e × g(E),\) जहाँ g(E) अवस्थाओं का घनत्व है, जो प्रत्येक ऊर्जा स्तर पर ऊर्जा के अंतराल प्रति उपलब्ध होने वाली अवस्थाओं की संख्या का वर्णन करता है।
• त्रि-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस के लिए, अवस्थाओं का घनत्व इस प्रकार दिया गया है: \(g(E) = \frac{1}{2π²}(\frac{2m_e}{ħ²})^{(3/2)}×\sqrt E\), जहाँ E ऊर्जा है, m_e इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान है, और ħ रिड्यूस्ड प्लैंक नियतांक (h/2π) है।
• यदि हमारे पास फर्मी स्तर पर इलेक्ट्रॉन शून्य ऊर्जा वाले होते हैं, तो यह इस प्रकार है कि ऊर्जा E, eV(r) (स्थिर वैद्युत विभव के कारण ऊर्जा) के बराबर है।
• इसे अवस्थाओं के घनत्व में प्रतिस्थापित करने पर मिलता है: \(g(E) = \frac{1}{(2π²)}(\frac{2m_e}{ħ²})^{(3/2)}\sqrt{eV},\)
• इसलिए, आवेश घनत्व को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(ρ(r) = -e × g(E) = -e × \frac{1}{(2π²)}(\frac{2m_e}{ħ²})^{(3/2)}\sqrt{eV}\), जो सरल होकर बन जाता है: \(ρ(r) = - \frac{e}{(2π²ħ³)}× (2m_e)^{(3/2)} × (eV)^{(3/2)}\)
• अंत में, और सरल करने पर मिलता है: \(ρ(r) = \frac{e}{(3π²ħ³)}× (2m_e e V(r))^{(3/2)}\)