बहुपद f(x) = x3 - x2 - 1 का शून्य x₀ निकालने के लिए द्विभाजन पद्धति का उपयोग करते हैं। क्योंकि f(2) = 3 तथा f(1) = -1 है, जिस अंतराल में x₀ है, उसकी परिसीमाओं को a = 1 तथा b = 2 चुन लेते हैं। यदि तीन बार द्विभाजन पद्धति को पुनरावृत्त करते हैं, तो x₀ का परिणामी मान है।

व्याख्या:

दिया गया बहुपद \( f(x) = x^3 - x^2 - 1\) है, प्रारंभिक अंतराल [a, b] = [1, 2] है और दो अंत बिंदुओं पर फलन मान f(1) = -1 और f(2) = 3 हैं। द्विभाजन विधि में एक पुनरावृत्ति में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1. मध्यबिंदु c = (a + b) / 2 की गणना करें।
2. फलन f(c) का मान ज्ञात करें।
3. यदि f(c) 0 के बहुत करीब है, तो c हमारा मूल है। अन्यथा, यदि f(a) और f(c) के विपरीत चिह्न हैं, तो अंतराल [a, b] को [a, c] से बदलें; अन्यथा, अंतराल को [c, b] से बदलें।

सही द्विभाजन विधि इस प्रकार होगी:

पुनरावृत्ति 1:

\(c = \frac{(a + b) }{2} = \frac{(1 + 2)}{2}= 1.5\)

\(f(c) = f(1.5) = (1.5)^3 - (1.5)^2 - 1 = 0.125\)

चूँकि f(a) = -1 और f(c) = 0.125 के अलग-अलग चिह्न हैं, इसलिए हम b = c से बदलते हैं। अब नया अंतराल [1, 1.5] हो जाता है।

पुनरावृत्ति 2:

\(c =\frac{ (a + b) }{ 2} = \frac{(1 + 1.5)} { 2} = 1.25\)

\(f(c) = f(1.25) = (1.25)^3 - (1.25)^2 - 1 = -0.421875\)

चूँकि f(a) = -1 और f(c) = -0.421875 के समान चिह्न हैं, इसलिए हम a = c से बदलते हैं। अब नया अंतराल [1.25, 1.5] हो जाता है।

पुनरावृत्ति 3:

\(c = \frac{(a + b) }{ 2 }= \frac{(1.25 + 1.5)}{2 }= 1.375\)

\(f(c) = f(1.375) ~= (1.375)^3 - (1.375)^2 - 1 = -0.162109375\)

चूँकि f(a) = -0.421875 और f(c) = -0.162109375 के समान चिह्न हैं, इसलिए हम a = c से बदलते हैं। अब नया अंतराल [1.375, 1.5] हो जाता है।

तीन पुनरावृत्तियों के बाद, मूल x₀ का सबसे अच्छा अनुमान हमारा सबसे हालिया मध्यबिंदु है, c = 1.375 या 11/8.