जब एक शाफ़्ट वंकन आघूर्ण M और मरोड़ आघूर्ण T के अधीन है, तो समकक्ष मरोड़ आघूर्ण किसके बराबर है?

वर्णन:

जब वृत्ताकार अनुप्रस्थ-अनुभाग शुद्ध वंकन के अधीन होता है, तो सामान्य प्रतिबल विकसित होता है, जिसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({σ _b} = \frac{M}{I}{y_{max}} \Rightarrow \frac{M}{{\frac{{\pi {d^4}}}{{64}}}} \times \frac{d}{2} = \frac{{32M}}{{\pi {d^3}}}\)

जब वृत्ताकार अनुप्रस्थ-अनुभाग शुद्ध मरोड़ आघूर्ण के अधीन होता है, तो अपरूपण प्रतिबल विकसित होता है, जिसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({τ _t} = \frac{T}{J}{r_{max}} \Rightarrow \frac{T}{{\frac{{\pi {d^4}}}{{32}}}} \times \frac{d}{2} = \frac{{16T}}{{\pi {d^3}}}\)

वंकन और मरोड़ का संयोजन प्रभाव प्रमुख प्रतिबल उत्पादित करता है जिसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({σ _{1,2}} = \frac{{{σ _x} + {σ _y}}}{2} \pm \sqrt {{{\left\{ {\frac{{{σ _x} - {σ _y}}}{2}} \right\}}^2} + {τ ^2}} \)

\({σ _{1,2}} = \left\{ {\frac{{\frac{{32M}}{{\pi {d^3}}}}}{2}} \right\} \pm \sqrt {{{\left\{ {\frac{{\frac{{32M}}{{\pi {d^3}}}}}{2}} \right\}}^2} + {{\left\{ {\frac{{16T}}{{\pi {d^3}}}} \right\}}^2}} \)

\({σ _1} = \frac{{16}}{{\pi {d^3}}}\left\{ {M + \sqrt {{M^2} + {T^2}} } \right\}\)

\({σ _2} = \frac{{16}}{{\pi {d^3}}}\left\{ {M - \sqrt {{M^2} + {T^2}} } \right\}\)

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल:

\({τ _{max}} = \frac{{{σ _1} - {σ _2}}}{2} \Rightarrow \frac{{16}}{{\pi {d^3}}}\left\{ {\sqrt {{M^2} + {T^2}} } \right\}\)

मरोड़ और वंकन के प्रभाव को उस तरीके में संयोजित किया जा सकता है जिससे एकल क्रिया या तो वंकन या मरोड़ के परिणामस्वरूप हो सकता है। 

समकक्ष मरोड़ TM:

यह मरोड़ आघूर्ण T_eq है जो अकेले संयोजित वंकन और मरोड़ के कारण उत्पादित अधिकतम अपरूपण प्रतिबल के बराबर अधिकतम अपरूपण प्रतिबल उत्पादित करता है। 

माना कि Teq समकक्ष TM है। 

\(\tau = \frac{{16{T_{eq}}}}{{\pi {d^3}}}\)

Teq की परिभाषा के अनुसार τ = τmax 

\(\frac{{16{T_{eq}}}}{{\pi {d^3}}}= \frac{{16}}{{\pi {d^3}}}\left\{ {\sqrt {{M^2} + {T^2}} } \right\}\)

\({T_{eq}} = \sqrt {{M^2} + {T^2}} \)

Additional Information

समकक्ष वंकन BM:

यह वह BM है जो अकेले संयोजित वंकन और मरोड़ के कारण उत्पादित अधिकतम सामान्य प्रतिबल के बराबर अधिकतम सामान्य प्रतिबल उत्पादित करता है। 

माना कि Meq समकक्ष BM है। 

\(σ = \frac{{32{M_{eq}}}}{{\pi {d^3}}}\)

समकक्ष BM की परिभाषा के अनुसार σ = σ1

\(\frac{{32{M_{eq}}}}{{\pi {d^3}}}=\frac{{16}}{{\pi {d^3}}}\left\{ {M + \sqrt {{M^2} + {T^2}} } \right\}\)  

\(\therefore{M_{eq}} = \frac{1}{2}\left\{ {M + \sqrt {{M^2} + {T^2}} } \right\}\)