समाकल \(I=\int_0^{\infty} e^{-x} x \sin (x) d x\) का मान है:

व्याख्या:

• \(I=\int_0^{\infty} e^{-x} x \sin (x) d x\)

सीमा 0 से \(\infty\) तक के इस समाकलन को लाप्लास रूपांतरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

• \(L[f(x)]=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-sx}\,\mathrm f (x){d}x\) --------1

• \(L[sinax]=\frac {a} {s^2+a^2}\),
• यहाँ \(L[sinx]=\frac {1} {s^2+1}\)

अब, \(L[x^nf(x)]=(-1)^n\frac{d^n} {ds^n} [Lf(x)]\)

• \(L[xsinx]\)\(=(-1)^1\frac {d} {ds} [\frac{1} {s^2+1}]\) (चूँकि, \(L[sinx]=\frac {1} {s^2+1}\))
• \(L[xsinx]=\)\((-1)\frac {-2s} {(s^2+1)^2}\)\(=\frac {2s} {(s^2+1)^2}\)

अब समीकरण 1 से, हम जानते हैं कि s = 1,

• इसलिए, \(L[f(x)]=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-sx}\,\mathrm f (x){d}x\) \(=\frac {2\times1} {(1^2+1)^2}=\frac {2} {4}=\frac {1} {2}\)

इसलिए, सही उत्तर \(\frac {1} {2} \) है।