यदि पूर्णांक कोटि (integer order) n के बेसल फलन को निम्नवत परिभाषित करें \(J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k !(n+k) !}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 k+n}\) तब \(\frac{d}{d x}\left[x^{-n} J_n(x)\right]\) है

व्याख्या:

• पुनरावृत्ति संबंध है: \((n) J_n(x) - xJ_n'(x) = xJ_{n-1}(x)\)
• पुनर्व्यवस्थित करने और संबंध को \(x^{-n}\) से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: \(-x^{-n} J_n'(x) = x^{-(n-1)} J_{n-1}(x) - x^{-n} (n) J_n(x)\),
• जो सरल हो जाता है: \(-x^{-n} J_n'(x) = x^{-n} (J_{n-1}(x) - nJ_n(x))\)
• लेकिन बेसेल फलनों में एक और पुनरावृत्ति संबंध शामिल है, जो है \(J_{n - 1}(x) + J_{n + 1}(x) = 2nJ_n(x) / x\),
• ऊपर से हम \((J_{n - 1}(x) = x[J_{n + 1}(x) - 2nJ_n(x) / x])\) को \(-x^{-n} J_n'(x)\) के लिए हमारे व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं
• इससे प्राप्त होता है: \(-x^{-n} J_n'(x) = x^{-n} (x[J_{n + 1}(x) - 2nJ_n(x) / x] - nJ_n(x))\)
• सरल करने के बाद, यह बन जाता है: \(-x^{-n} J_n'(x) = -x^{-n} J_{n + 1}(x)\)
• रुचि के व्युत्पन्न के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है: \([\frac{d}{d x}\left[x^{-n} J_n(x)\right] = -x^{-n} J_{n + 1}(x)]\)