समतलों के निम्न कुल z2 = kxy, k ∈ \(\mathbb{R}\) के लंबवत समतलों का सामान्य हल है

व्याख्या:

दिया गया है z² = kxy, k ∈ ℝ ← निकाय पृष्ठ

⇒ \(\rm k=\frac{z^2}{xy}=f(x,y,z)\) ........(i)

अब, हम इसे लग्रांज समीकरण का उपयोग करके हल करेंगे -

(स्मरण करें: Pp + Qq = R)

\(\rm \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{z^2}{y}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{-z^2}{x^2y}\)

\(\rm \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{z^2}{x}\left(-\frac{1}{y^2}\right)=\frac{-z^2}{xy^2}\)

\(\rm \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{2z}{xy}\)

इसलिए, \(\rm \frac{\partial f}{\partial x}p+\rm \frac{\partial f}{\partial y}q=\rm \frac{\partial f}{\partial z}\) (p = zx, q = zy)

⇒ \(\rm\left(\frac{-z^2}{x^2y}\right)p+\rm\left(\frac{-z^2}{xy^2}\right)q=\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{2z}{xy}\)

⇒ \(\rm -\frac{z}{xy}\left[\frac{z}{x}p+\frac{z}{y}q\right]=\frac{z}{xy}[2]\)

⇒ \(\rm \frac{z}{x}p+\frac{z}{y}q=-2\)

⇒ (zy)p + (xz)q = -2xy (LCM लेने पर) (ii)

(zy)p → P

(xz)q → Q

-2xy → R

इसलिए, लग्रांज समीकरण से -

\(\rm \frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{dz}{R}\)

\(\rm ⇒ \frac{dx}{zy}=\frac{dy}{zx}=\frac{dz}{(-2xy)}\)

अब,

\(\rm\frac{dx}{zy}=\frac{dy}{zx}\)

⇒ x dx = y dy

समाकलन करने पर

\(\rm \frac{x^2}{2}=\frac{y^2}{2}+c\)

⇒ x² - y² = c₁

\(\rm \frac{dx}{zy}=\frac{-dz}{2xy}\)

⇒ 2x dx = -z dz

समाकलन करने पर

\(\rm x^2=\frac{-z^2}{2}+c\)

⇒ 2x² + z² = c₂

इसलिए, सामान्य हल होगा ϕ (c₁, c₂) = 0

⇒ ϕ (x² - y², 2x² + z²) = 0 ⇒ विकल्प (3) सही है।

हल का अन्य संभावित रूप और जब c₁ और c₂ की गणना की जाती है।

ϕ(c1, c2), c₁ = ϕ(c2), c₂ = ϕ(c2), \(\rm \frac{c_1}{2}=\phi(c_2)\)...