Lagrange and Charpit Methods MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Lagrange and Charpit Methods - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

Pp + qq = R के रूप में PDE के लिए लग्रांज की सहायक समीकरण है

\({dx\over P}={dy\over Q}={dz\over R}\)

व्याख्या:

दिया गया PDE है

z(px - qy) = y2 - x2

⇒ xzp - yzq = y2 - x2

समाकलन करने पर हमें मिलता है

इसके अलावा, \({d(x+y)\over z(x-y)}={dz\over y^2-x^2}\)

⇒ \({d(x+y)\over z}={dz\over -(x+y)}\)

⇒ (x + y) d(x + y) + zdz = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें मिलता है

\({(x+y)^2}+z^2=c_2\)....(iii)

(i) और (iii) लेने पर हमें हल मिलता है

x2 + y2 + z2 = \(f({(x+y)^2}+z^2)\)

(3) सही है।

(ii) और (ii) लेने पर हमें हल मिलता है

\({(x+y)^2}+z^2=f(xy)\)

(4) सही है।

व्याख्या:

लग्रांज के रैखिक आंशिक अवकल समीकरण Pp + Qq = R का ज्यामितीय अर्थ है कि किसी भी पृष्ठ f(x, y, z) = 0 के बिंदु (x, y, z) पर अभिलंब, उस रेखा के लंबवत होता है जिसके दिक् अनुपात P, Q, R हैं।

अतः (1) सत्य है।

व्याख्या:

दिया गया है z² = kxy, k ∈ ℝ ← निकाय पृष्ठ

⇒ \(\rm k=\frac{z^2}{xy}=f(x,y,z)\) ........(i)

अब, हम इसे लग्रांज समीकरण का उपयोग करके हल करेंगे -

(स्मरण करें: Pp + Qq = R)

\(\rm \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{z^2}{y}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{-z^2}{x^2y}\)

\(\rm \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{z^2}{x}\left(-\frac{1}{y^2}\right)=\frac{-z^2}{xy^2}\)

\(\rm \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{2z}{xy}\)

इसलिए, \(\rm \frac{\partial f}{\partial x}p+\rm \frac{\partial f}{\partial y}q=\rm \frac{\partial f}{\partial z}\) (p = zx, q = zy)

⇒ \(\rm\left(\frac{-z^2}{x^2y}\right)p+\rm\left(\frac{-z^2}{xy^2}\right)q=\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{2z}{xy}\)

⇒ \(\rm -\frac{z}{xy}\left[\frac{z}{x}p+\frac{z}{y}q\right]=\frac{z}{xy}[2]\)

⇒ \(\rm \frac{z}{x}p+\frac{z}{y}q=-2\)

⇒ (zy)p + (xz)q = -2xy (LCM लेने पर) (ii)

(zy)p → P

(xz)q → Q

-2xy → R

इसलिए, लग्रांज समीकरण से -

\(\rm \frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{dz}{R}\)

\(\rm ⇒ \frac{dx}{zy}=\frac{dy}{zx}=\frac{dz}{(-2xy)}\)

अब,

\(\rm\frac{dx}{zy}=\frac{dy}{zx}\)

⇒ x dx = y dy

समाकलन करने पर

\(\rm \frac{x^2}{2}=\frac{y^2}{2}+c\)

⇒ x² - y² = c₁

\(\rm \frac{dx}{zy}=\frac{-dz}{2xy}\)

⇒ 2x dx = -z dz

समाकलन करने पर

\(\rm x^2=\frac{-z^2}{2}+c\)

⇒ 2x² + z² = c₂

इसलिए, सामान्य हल होगा ϕ (c₁, c₂) = 0

⇒ ϕ (x² - y², 2x² + z²) = 0 ⇒ विकल्प (3) सही है।

हल का अन्य संभावित रूप और जब c₁ और c₂ की गणना की जाती है।

ϕ(c1, c2), c₁ = ϕ(c2), c₂ = ϕ(c2), \(\rm \frac{c_1}{2}=\phi(c_2)\)...

अवधारणा:

मान लीजिए Pp + Qq = R एक आंशिक अवकल समीकरण है जहाँ P, Q, R, x, y, z के फलन हैं, तो लैग्रेंज की विधि से

\(\frac{dx}{P}\) = \(\frac{dy}{Q}\) = \(\frac{du}{R}\)

व्याख्या:

दिया गया है

uux + uy = 0, x ∈ ℝ, y > 0,

u(x, 0) = x, x ∈ ℝ

लैग्रेंज की विधि का उपयोग करके

\(\frac{dx}{P}\) = \(\frac{dy}{Q}\) = \(\frac{du}{R}\)

⇒ \(\frac{dx}{u}\) = \(\frac{dy}{1}\) = \(\frac{du}{0}\)

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है

u = c₁...(i)

और u = c1 रखने पर हमें पहले दो पदों से प्राप्त होता है

\(\frac{dx}{c_1}\) = \(\frac{dy}{1}\)

dx = c₁dy
⇒ x - c₁y = c₂

⇒ x - uy = c₂...(ii)

(i) और (ii) से हमें सामान्य हल प्राप्त होता है

u = ϕ(x - uy)

u(x, 0) = x का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

x = ϕ(x) इसलिए ϕ(x - uy) = x - uy

इसलिए हल निम्न है

u = x - uy ⇒ u(1 + y) = x ⇒ u = \(\frac{x}{1+y}\)

इसलिए u(2, 3) = \(\frac{2}{4}=\frac12\)

विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है: \(x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=0\) अर्थात xp + yq = 0

Pp + Qq = R से तुलना करने पर, हमारे पास है-

P = x, Q = y और R = 0

इसलिए, लग्रांज सहायक समीकरण द्वारा

\(\frac{d x}{p}=\frac{d y}{Q}=\frac{d z}{R}\)

\(\Rightarrow \frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}=\frac{d z}{0}\)

अब dz = 0

⇒ z = c₁

पहले और दूसरे पद का उपयोग करके

\(\frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}\)

समाकलन करने पर,

log |x| = log |y| + log c₂

\(\Rightarrow \log \left(\frac{|x|}{|y|}\right)=\log c_2\)

\(\Rightarrow c_2=\frac{|x|}{|y|}\)

इसलिए, सामान्य हल है -

c₁ ϕ(c₂) या c₂ = ϕ(c₁) या ϕ(c₁ c₂) = 0

⇒ z = ϕ \(\left(\frac{|x|}{|y|}\right)\)

⇒ विकल्प (1) सही है

व्याख्या:

दिया गया है z² = kxy, k ∈ ℝ ← निकाय पृष्ठ

⇒ \(\rm k=\frac{z^2}{xy}=f(x,y,z)\) ........(i)

अब, हम इसे लग्रांज समीकरण का उपयोग करके हल करेंगे -

(स्मरण करें: Pp + Qq = R)

\(\rm \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{z^2}{y}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{-z^2}{x^2y}\)

\(\rm \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{z^2}{x}\left(-\frac{1}{y^2}\right)=\frac{-z^2}{xy^2}\)

\(\rm \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{2z}{xy}\)

इसलिए, \(\rm \frac{\partial f}{\partial x}p+\rm \frac{\partial f}{\partial y}q=\rm \frac{\partial f}{\partial z}\) (p = zx, q = zy)

⇒ \(\rm\left(\frac{-z^2}{x^2y}\right)p+\rm\left(\frac{-z^2}{xy^2}\right)q=\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{2z}{xy}\)

⇒ \(\rm -\frac{z}{xy}\left[\frac{z}{x}p+\frac{z}{y}q\right]=\frac{z}{xy}[2]\)

⇒ \(\rm \frac{z}{x}p+\frac{z}{y}q=-2\)

⇒ (zy)p + (xz)q = -2xy (LCM लेने पर) (ii)

(zy)p → P

(xz)q → Q

-2xy → R

इसलिए, लग्रांज समीकरण से -

\(\rm \frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{dz}{R}\)

\(\rm ⇒ \frac{dx}{zy}=\frac{dy}{zx}=\frac{dz}{(-2xy)}\)

अब,

\(\rm\frac{dx}{zy}=\frac{dy}{zx}\)

⇒ x dx = y dy

समाकलन करने पर

\(\rm \frac{x^2}{2}=\frac{y^2}{2}+c\)

⇒ x² - y² = c₁

\(\rm \frac{dx}{zy}=\frac{-dz}{2xy}\)

⇒ 2x dx = -z dz

समाकलन करने पर

\(\rm x^2=\frac{-z^2}{2}+c\)

⇒ 2x² + z² = c₂

इसलिए, सामान्य हल होगा ϕ (c₁, c₂) = 0

⇒ ϕ (x² - y², 2x² + z²) = 0 ⇒ विकल्प (3) सही है।

हल का अन्य संभावित रूप और जब c₁ और c₂ की गणना की जाती है।

ϕ(c1, c2), c₁ = ϕ(c2), c₂ = ϕ(c2), \(\rm \frac{c_1}{2}=\phi(c_2)\)...

अवधारणा:

मान लीजिए Pp + Qq = R एक आंशिक अवकल समीकरण है जहाँ P, Q, R, x, y, z के फलन हैं, तो लैग्रेंज की विधि से

\(\frac{dx}{P}\) = \(\frac{dy}{Q}\) = \(\frac{du}{R}\)

व्याख्या:

दिया गया है

uux + uy = 0, x ∈ ℝ, y > 0,

u(x, 0) = x, x ∈ ℝ

लैग्रेंज की विधि का उपयोग करके

\(\frac{dx}{P}\) = \(\frac{dy}{Q}\) = \(\frac{du}{R}\)

⇒ \(\frac{dx}{u}\) = \(\frac{dy}{1}\) = \(\frac{du}{0}\)

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है

u = c₁...(i)

और u = c1 रखने पर हमें पहले दो पदों से प्राप्त होता है

\(\frac{dx}{c_1}\) = \(\frac{dy}{1}\)

dx = c₁dy
⇒ x - c₁y = c₂

⇒ x - uy = c₂...(ii)

(i) और (ii) से हमें सामान्य हल प्राप्त होता है

u = ϕ(x - uy)

u(x, 0) = x का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

x = ϕ(x) इसलिए ϕ(x - uy) = x - uy

इसलिए हल निम्न है

u = x - uy ⇒ u(1 + y) = x ⇒ u = \(\frac{x}{1+y}\)

इसलिए u(2, 3) = \(\frac{2}{4}=\frac12\)

विकल्प (3) सही है।

अवधारणा:

मान लीजिए Pp + Qq = R एक आंशिक अवकल समीकरण है जहाँ P, Q, R, x, y, z के फलन हैं, तो लैग्रेंज की विधि से

\(\frac{dx}{P}\) = \(\frac{dy}{Q}\) = \(\frac{du}{R}\)

व्याख्या:

दिया गया है

ux + uy = eu, u(x, 0) = 1

लैग्रेंज की विधि का उपयोग करके

\(\frac{dx}{P}\) = \(\frac{dy}{1}\) = \(\frac{du}{R}\)

⇒ \(\frac{dx}{1}\) = \(\frac{dy}{1}\) = \(\frac{du}{e^u}\)

पहले दो पदों को हल करना

\(\frac{dx}{1}\) = \(\frac{dy}{1}\)

dy = dx

y - x = c1...(i)

पहले और तीसरे पद का उपयोग करके

\(\frac{dx}{1}\) = \(\frac{du}{e^u}\)

dx = e-udu

समाकलन करने पर

x + e-u = c2...(ii)

(i) और (ii) से हमें सामान्य हल प्राप्त होता है

x + e-u = ϕ(y - x)

u(x, 0) = 1 का उपयोग करके हमें प्राप्त होता है

x + e-1= ϕ(- x) इसलिए ϕ(x) = - x + e-1 इसलिए ϕ(y - x) = -y + x + e-1

इसलिए हल है

x + e-u = -y + x + e-1 ⇒ e-u = -y + e-1 ⇒ u = - ln(-y + e-1)

इसलिए ux = 0, uy = \(\frac{1}{-y+e^{-1}}\)

इसलिए, \(\rm u\left(\frac{1}{2 e}, \frac{1}{2 e}\right)\) = - ln(\(-\frac{1}{2e}+\frac{1}{e}\)) = -ln(\(\frac{1}{2e}\)) = ln(2e)

विकल्प (1) गलत है

\(\rm u_x\left(\frac{1}{2 e}, \frac{1}{2 e}\right)\) = 0

विकल्प (2) सही है
\(​\rm u_y\left(\frac{1}{4 e}, \frac{1}{4 e}\right)\) = \(\frac{1}{-\frac{1}{4e}+\frac1e}\) = \(\frac{4e}3\)

विकल्प (3) गलत है

\(\rm u_y\left(0, \frac{1}{4 e}\right)\) = \(\frac{1}{-\frac{1}{4e}+\frac1e}\) = \(\frac{4e}3\)

विकल्प (4) सही है

व्याख्या:

∵ Z_z = p, Z_y = q

इसलिए z = \(x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}\)

⇒ z = px + qy + pq ....(i) जो क्लेराउट समीकरण में है

इसलिए इसका पूर्ण समाकल है

z = ax + by + ab .... (ii)

विकल्प (1) सही है और विकल्प (2) गलत है।

अब (3) और (4) के लिए: दिया गया है x = 0 और z = y²

माना y = t ⇒ z = t²

∴ (ii) से, z = ax + by + ab ⇒ t² = a(0) + b(t) + ab

⇒ t² - bt - ab = 0 ....(iii)

अब हमें t का मान ज्ञात करना है,

इसलिए (iii) को t के सापेक्ष अवकलित करने पर, हमें प्राप्त होता है

2t - b = 0 ⇒ t = b/2

अब समीकरण (iii) में t = b/2 रखने पर हमें प्राप्त होता है

\(\left(\frac{b}{2}\right)^2-b.\frac b2-\)ab = 0

\(\frac{b^2}{4}+a b=0\)

⇒ a = - b/4

अब समीकरण (ii) में a का मान रखने पर

\(z=\left(-\frac{b}{4}\right) x+b y-\frac{b^2}{4}\) ....(iv)

अब b को हटाने के लिए, (iv) को b के सापेक्ष अवकलित करें और x और y के पदों में मान ज्ञात करें।

\(⇒ 0=-\frac{x}{4}+y-b / 2\)

⇒ b = 2y - x/2

अब समीकरण (iv) में यह b रखने और सरलीकरण करने पर हमें प्राप्त होता है

z = - \(\frac14\)(2y - x/2)x + (2y - x/2)y - \(\frac14\)(2y - x/2)²

z = (2y - x/2)(y - x/4) -\(\frac14\)(2y - x/2)2

z = 2(y - x/4)² - \(\frac12\)(y - x/4)2

z = \(\frac32\)(y - x/4)2

z = \(\frac32\) \(\left(\frac{x}{4}-y\right)^2\)

x = 0 और z = y2 से गुजरने वाला विशेष हल \(\left(\frac{x}{4}-y\right)^2\) है

विकल्प (3) सही है और विकल्प (4) गलत है