त्रिज्या R के एक गोलाकार गुहा की सीमा पर विद्युत विभव, ध्रुवीय कोण θ के फलन के रूप में, \(V_0 \cos ^2 \frac{\theta}{2}\) है। गुहा के अंदर आवेश घनत्व हर जगह शून्य है। गोले के केंद्र से R/2 की दूरी पर विभव ___ है।

व्याख्या:

दिया गया है: \(V=V_0cos^2\frac {\theta}{2}\)

• \(V=V_{in}+V_{out}=\displaystyle \sum_{l=0}^{\infty} A_lr^lP_l(cos\theta)+\displaystyle \sum_{l=0}^{\infty}\frac{B_l P_l(cos\theta)}{r^{l+1}}\)

अब, \(R=r\) पर, \(V=V_0cos^2\frac {\theta}{2}\) (दिया गया है)

• हम केवल गुहा के अंदर विभव लेंगे इसलिए \(V=V_{in}=\displaystyle \sum_{l=0}^{\infty} A_lr^lP_l(cos\theta)\)
• \(V=V_0cos^2\frac {\theta}{2}\)\(=V_{in}=\displaystyle \sum_{l=0}^{\infty} A_lr^lP_l(cos\theta)\)\

अब, \(cos\theta=(2cos^2\frac{\theta}{2}-1)\) => \(cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+cos\theta}{2}\)

\(V_0(\frac{1+cos\theta}{2})=A_0R^0P_0+A_1R P_1\)----------------------1(\(l=1 \) के लिए)

• अब, लेजेंड्रे बहुपद के अनुसार, \(P_0=1, P_1=cos\theta\)
• समीकरण 1 में \(P_0, P_1\) के मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है,

\(\frac {V_0}{2}(P_0+P_1)\)\(=A_0R^0P_0+A_1R P_1\)​

• \(P_0, P_1\) के मानों की तुलना करने पर, \(A_0 , A_1 \) के मान ज्ञात करने पर, हमें प्राप्त होता है,

\(A_0=\frac{V_0}{2}, A_1=\frac{V_0}{2R}\)​

\(V_{in}=A_0r^0.1+A_1r^1(cos\theta)\) (\(l=1 \) के लिए)

• ऊपर दिए गए समीकरण में \(A_0 , A_1 \) के मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है,

\(V_{in}=\frac{V_0}{2}(1+\frac{r}{R}(cos\theta))\)​

• गोले के केंद्र से R/2 की दूरी पर विभव अर्थात \(\frac{r}{R}=\frac{1}{2}\) के लिए

\(V_{in}=\frac{V_0}{2}(1+\frac{1}{2}(cos\theta))\)

इसलिए, सही उत्तर \(V_{in}=\frac{V_0}{2}(1+\frac{1}{2}(cos\theta))\) है।