A1, A2 तथा E, अखंडनीय निरूपणों वाले एक बिंदु समूह के लिए, निम्नलिखित आंशिक अभिलक्षिक सारणी में a, b तथा c के मान हैं

	E	2C3	3C2
E	a	b	c

सिद्धांत:

महान लम्बकोणीयता प्रमेय (GOT) समूह सिद्धांत का एक प्रमुख सिद्धांत है जो एक वर्ण तालिका में वर्णों को सत्यापित करने में सहायता करता है। प्रमेय का उपयोग करके, हम विभिन्न अप्रत्याशित निरूपणों और विभिन्न समरूपता प्रचालन के लिए वर्ण मानों के बीच लम्बकोणीयता जाँच लागू करते हैं।

अप्रत्याशित निरूपणों के लिए, लम्बकोणीयता स्थिति को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

लम्बकोणीयता स्थिति: ( \(\sum_{g} \chi_i(g) \chi_j(g) = 0\) ) विभिन्न निरूपणों ( i ) और ( j ) के लिए, और \(\sum_{g} \chi_i(g) \chi_i(g) = h \) समान निरूपण के लिए।

यहाँ, वर्ण मान ( a ), ( b ), और ( c ) दिए गए बिंदु समूह में अप्रत्याशित निरूपण ( E ) के लिए वर्णों का प्रतिनिधित्व करते हैं। अब हम ( A₁ ), ( A₂ ), और ( E ) के लिए लम्बकोणीयता स्थितियों का उपयोग करके इनके लिए हल करेंगे।

व्याख्या:

चूँकि, E दोगुना पतित है, a का मान 2 है।

चरण 1: ( A₁ ) के साथ लम्बकोणीयता जाँच

( A₁ ) और ( E ) के बीच लम्बकोणीयता जाँच (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) है:

( \(1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot b + 3 \cdot 1 \cdot c = 0\) )

यह सरल हो जाता है:

( 2 + 2b + 3c = 0 )

चरण 2: ( A₂ ) के साथ लम्बकोणीयता जाँच

अगला, ( A₂ ) और ( E ) के बीच लम्बकोणीयता की जाँच करें:

( \(1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot b + 3 \cdot (-1) \cdot c = 0\) )

यह सरल हो जाता है:

2 + 2b - 3c = 0

चरण 3: समीकरणों की प्रणाली को हल करना

• 2 + 2b + 3c = 0, A₁ के साथ लम्बकोणीयता से
• 2 + 2b - 3c = 0, A₂ के साथ लम्बकोणीयता से

दोनों समीकरणों को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:

( (2 + 2b + 3c) - (2 + 2b - 3c) = 0

यह सरल हो जाता है:

6c = 0, इसलिए c = 0 .

अब ( c = 0 ) को किसी एक समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें:

2 + 2b + 3(0) = 0, जो 2 + 2b = 0 में सरल हो जाता है, इसलिए b = -1.

इस प्रकार, b = -1 और c = 0.

निष्कर्ष:

इसलिए, सही मान हैं:

• a = 2
• b = -1
• c = 0