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कोई यादृच्छिक चर Y निम्न प्रसामान्य बंटन का पालन करता है। eY का माध्य मान है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 :

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व्याख्या:

  • एक यादृच्छिक चर Y के प्रायिकता घनत्व फलन p(Y) के साथ एक फलन h(Y) का प्रत्याशा मान इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

(सभी Y पर).

  • यहाँ, हम में रुचि रखते हैं। इसलिए, , (सभी Y पर).
  • p(Y) के लिए दिए गए सामान्य वितरण को जोड़ने पर, हमारे पास है: (सभी Y पर).
  • उपरोक्त व्यंजक को सरल करें, हम इसे इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

, (सभी Y पर).

यह एक घातीय द्विघात का सभी Y पर समाकल है।

  • हालांकि, एक घातीय द्विघात एक गाउसी समाकल में समाकलित होता है, जिसका मान हम जानते हैं कि √π है।
  • आइए घातांक को इस प्रकार फिर से लिखें:

  • इसलिए समाकल (गुणकों तक): है, जो स्पष्ट रूप से चर में एक सामान्य वितरण है, जिसका माध्य और समान है।
  • इसलिए, केवल चर परिवर्तन से, इस तरह के सामान्य प्रायिकता घनत्व का ऋणात्मक अनंत से धनात्मक अनंत तक निश्चित समाकल 1 देता है।
  • इसलिए, हम प्राप्त करते हैं: .

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