Logarithmic Functions MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Logarithmic Functions - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇవ్వబడింది:

log (x + 3) + log (x + 5) = log 35

ఉపయోగించిన సూత్రం:

log a + log b = log (a × b)

 log a = log b, అయితే, a = b

గణన:

లాగరిథం ప్రాపర్టీ log a + log b = log (a × b) ఉపయోగించి:

log [(x + 3)(x + 5)] = log 35

రెండు వైపులా లాగరిథమ్‌లు సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి, వాటి వాదనలు సమానంగా ఉండాలి:

(x + 3)(x + 5) = 35

x2 + 5x + 3x + 15 = 35

x2 + 8x + 15 - 35 = 0

x2 + 8x - 20 = 0

(x + 10)(x - 2) = 0

x + 10 = 0 ⇒ x = -10

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

రుణాత్మక సంఖ్య యొక్క లాగరిథం నిర్వచించబడలేదు.

కాబట్టి, x = 2 ఒక చెల్లుబాటు అయ్యే విలువ.

∴ x విలువ 2.

ఇచ్చిన:

లాగ్ ₃ టాన్ 1º + లాగ్ ₃ టాన్ 2º + ..... + లాగ్ ₃ టాన్ 88º + లాగ్ ₃ టాన్ 89º

వాడిన ఫార్ములా:

లాగ్ ₃ (a × b) = లాగ్ ₃ a + లాగ్ ₃ బి

తాన్ (90º - θ) = మంచం θ

లెక్కింపు:

లాగ్ ₃ టాన్ 1º + లాగ్ ₃ టాన్ 2º + ... + లాగ్ ₃ టాన్ 44º + లాగ్ ₃ టాన్ 45º + లాగ్ ₃ టాన్ 46º + ... + లాగ్ ₃ టాన్ 89º

జత చేసే నిబంధనలు:

లాగ్ ₃ (టాన్ 1º × టాన్ 89º) + లాగ్ ₃ (టాన్ 2º × టాన్ 88º) + ... + లాగ్ ₃ (టాన్ 44º × టాన్ 46º) + లాగ్ ₃ టాన్ 45º

టాన్ (90º - θ) = కాట్ θ ఉపయోగించి, మనకు లభిస్తుంది:

లాగ్ ₃ (టాన్ 1º × మంచం 1º) + లాగ్ ₃ (టాన్ 2º × కాట్ 2º) + ... + లాగ్ ₃ (టాన్ 44º × కాట్ 44º) + లాగ్ ₃ టాన్ 45º

టాన్ θ × మంచం θ = 1 నుండి:

లాగ్ ₃ 1 + లాగ్ ₃ 1 + ... + లాగ్ ₃ 1 + లాగ్ ₃ 1

44 జతల లాగ్ ₃ 1 మరియు ఒక లాగ్ ₃ టాన్ 45º ఉన్నాయి:

44 × లాగ్ ₃ 1 + లాగ్ ₃ టాన్ 45º

లాగ్ ₃ 1 = 0 మరియు టాన్ 45º = 1 నుండి:

44 × 0 + లాగ్ ₃ 1

లాగ్ ₃ 1 = 0

⇒ 0

∴ సరైన సమాధానం 0.

ఇచ్చిన:

లాగ్ ₁₀ 27 = 1.4313 అయితే, లాగ్ ₁₀ 9 విలువను కనుగొనాలి.

వాడిన ఫార్ములా:

27ని 3 ³ గానూ, 9ని 3 ² గానూ వ్యక్తపరచవచ్చని మనకు తెలుసు.

లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలను ఉపయోగించడం:

లాగ్ ₁₀ (3 ³ ) = 3 x లాగ్ ₁₀ 3

లాగ్ ₁₀ (3 ² ) = 2 x లాగ్ ₁₀ 3

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: లాగ్ ₁₀ 27 = 1.4313

\( \text{log}_{10} 27 = 3 \times \text{log}_{10} 3 \)

⇒ \( 1.4313 = 3 \times \text{log}_{10} 3 \)

⇒ \( \text{log}_{10} 3 = \frac{1.4313}{3} \)

⇒ \( \text{log}_{10} 3 = 0.4771 \)

ఇప్పుడు, లాగ్ ₁₀ 9ని కనుగొనండి:

\( \text{log}_{10} 9 = 2 \times \text{log}_{10} 3 \)

⇒ \( \text{log}_{10} 9 = 2 \times 0.4771 \)

⇒ \( \text{log}_{10} 9 = 0.9542 \)

∴ సరైన సమాధానం 0.9542.

ఇచ్చిన:

లాగ్ ₈ (x ² + x) - లాగ్ ₈ (x + 1) = 2 అయితే x విలువ?

వాడిన ఫార్ములా:

లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలను ఉపయోగించడం:

లాగ్ _బి (ఎ) - లాగ్ _బి (సి) = లాగ్ _బి (ఎ/సి)

కాబట్టి, లాగ్ ₈ (x ² + x) - లాగ్ ₈ (x + 1) = లాగ్ ₈ ((x ² + x) / (x + 1))

లాగ్ ₈ (y) = 2 అయితే, y = 8 ²

లెక్కింపు:

లాగ్ ₈ ((x ² + x) / (x + 1)) = 2

⇒ (x ² + x) / (x + 1) = 8 ²

⇒ (x ² + x) / (x + 1) = 64

(x + 1) ద్వారా రెండు వైపులా గుణించడం:

⇒ x ² + x = 64(x + 1)

⇒ x ² + x = 64x + 64

సమీకరణాన్ని పునర్వ్యవస్థీకరించడం:

⇒ x ² + x - 64x - 64 = 0

⇒ x ² - 63x - 64 = 0

వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం:

క్వాడ్రాటిక్ ఫార్ములాను ఉపయోగించడం: x =బి ± బి 2 - 4 a సి 2 a−b±b2−4ac2a$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ , ఇక్కడ a = 1, b = -63, మరియు c = -64:

⇒ x =63 ± 63 2 - 4 ( 1 ) ( - 64 ) 2 ( 1 )63±632−4(1)(−64)2(1)$\frac{63 \pm \sqrt{63^2 - 4(1)(-64)}}{2(1)}$

⇒ x =63 ± 3969 + 256 263±3969 + 256 2$\frac{63 \pm \sqrt{3969 + 256}}{2}$

⇒ x =± 4225 263±42252$\frac{63 \pm \sqrt{4225}}{2}$

⇒ x =63 ± 65 263±652$\frac{63 \pm 65}{2}$

కాబట్టి, x =+ 65 263+652$\frac{63 + 65}{2}$ లేదా x =63 - 65 263−652$\frac{63 - 65}{2}$

⇒ x = 64 లేదా x = -1

x = -1 అసలైన సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచదు (పాజిటివ్ కాని సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం నిర్వచించబడలేదు కాబట్టి), మేము దానిని విస్మరిస్తాము.

∴ సరైన సమాధానం 64.

ఇచ్చినది:

Log _x√3 = \(\frac{1}{4}\)

ఉపయోగించిన భావన:

y = logb x 

⇒ by = x

గణన:

Log _x√3 = \(\frac{1}{4}\)

⇒ x^1/4 = √3 [పై భావన ద్వారా]

⇒ (x^1/4)⁴ = (3^1/2)⁴

⇒ x^4/4 = 3^4/2

⇒ x¹ = 3²

⇒ x = 9

∴ x యొక్క అవసరమైన విలువ 9.

ఇచ్చినది:

Log _x√3 = \(\frac{1}{4}\)

ఉపయోగించిన భావన:

y = logb x 

⇒ by = x

గణన:

Log _x√3 = \(\frac{1}{4}\)

⇒ x^1/4 = √3 [పై భావన ద్వారా]

⇒ (x^1/4)⁴ = (3^1/2)⁴

⇒ x^4/4 = 3^4/2

⇒ x¹ = 3²

⇒ x = 9

∴ x యొక్క అవసరమైన విలువ 9.

భావన:

లాగరిథమ్స్ యొక్క ఫార్ములా:

\({a^b} = x\; \Leftrightarrow lo{g_a}x = b\), ఇక్కడ a ≠ 1 మరియు a > 0 మరియు x ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు.

లాగరిథమ్స్ యొక్క లక్షణాలు:

1. \({\log _a}a = 1\)
2. \({\log _a}\left( {x.y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\)
3. \({\log _a}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {\log _a}x - {\log _a}y\)
4. \({\log _a}\left( {\frac{1}{x}} \right) = - {\log _a}x\)
5. \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{x^p} = p{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x\)
6. \(lo{g_a}\left( x \right) = \frac{{lo{g_b}\left( x \right)}}{{lo{g_b}\left( a \right)}}\)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన: log a + log b + log c = 0.

సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పత్తి నియమాన్ని ఉపయోగించి, మనం పొందుతాము,

log a + log b + log c = log (ab) + log c = 0

log (abc) = 0

మనకు తెలిసినట్లుగా, log ⁡1 = 0

⇒ log (abc) = log 1

రెండు వైపులా లాగ్‌ను రద్దు చేయడం వల్ల మనకు లభిస్తుంది,

⇒ abc = 1

కాబట్టి, abc విలువ 1.

లెక్కింపు:

దానిని బట్టి, లాగ్ 3 9 × లాగ్ 9 27 × లాగ్ 27 81 × ........× n వ పదం = 21

పై శ్రేణి యొక్క LHSలో నమూనాను గమనిస్తే, n వ పదం = లాగ్ _{3 ⁿ}   3.3 ^ని

⇒ లాగ్ 3 9 × లాగ్ 9 27 × లాగ్ 27 81 × .......× లాగ్ 3 n   3.3 ని   = 21

⇒ బేస్‌ని 3 బేస్‌గా చేయడం,

⇒ లాగ్ 3 9 × (లాగ్ ₃ 27/లాగ్ ₃ 9) × (లాగ్ ₃ 81/లాగ్ ₃ 27) ×........× (లాగ్ ₃ 3.3 ⁿ /లాగ్ ₃ 3 ⁿ ) = 21

⇒ లాగ్ 3 3.3 ⁿ = 21

⇒ లాగ్ ₃ 3 ^{(n + 1)} = 21

⇒ n + 1 = 21

⇒ n = 20

ప్రధానాంశాలు

• ఏదైనా a > 1 కోసం లాగ్ _x y = (లాగ్ _ఎ y/లాగ్ _ఎ x).
• లాగ్ _x y ⁿ = n × లాగ్ x y
• లాగ్ _{x ⁿ}   y = (1/n) × లాగ్ x y

సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం ఎప్పుడూ ప్రతికూలంగా ఉండదు. ఇది 1 కంటే ఎక్కువ సానుకూల సంఖ్య మాత్రమే కావచ్చు.

ఇవ్వబడింది:

log (x + 3) + log (x + 5) = log 35

ఉపయోగించిన సూత్రం:

log a + log b = log (a × b)

 log a = log b, అయితే, a = b

గణన:

లాగరిథం ప్రాపర్టీ log a + log b = log (a × b) ఉపయోగించి:

log [(x + 3)(x + 5)] = log 35

రెండు వైపులా లాగరిథమ్‌లు సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి, వాటి వాదనలు సమానంగా ఉండాలి:

(x + 3)(x + 5) = 35

x2 + 5x + 3x + 15 = 35

x2 + 8x + 15 - 35 = 0

x2 + 8x - 20 = 0

(x + 10)(x - 2) = 0

x + 10 = 0 ⇒ x = -10

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

రుణాత్మక సంఖ్య యొక్క లాగరిథం నిర్వచించబడలేదు.

కాబట్టి, x = 2 ఒక చెల్లుబాటు అయ్యే విలువ.

∴ x విలువ 2.

ఇచ్చినది:

Log _x√3 = \(\frac{1}{4}\)

ఉపయోగించిన భావన:

y = logb x 

⇒ by = x

గణన:

Log _x√3 = \(\frac{1}{4}\)

⇒ x^1/4 = √3 [పై భావన ద్వారా]

⇒ (x^1/4)⁴ = (3^1/2)⁴

⇒ x^4/4 = 3^4/2

⇒ x¹ = 3²

⇒ x = 9

∴ x యొక్క అవసరమైన విలువ 9.

భావన:

లాగరిథమ్స్ యొక్క ఫార్ములా:

\({a^b} = x\; \Leftrightarrow lo{g_a}x = b\), ఇక్కడ a ≠ 1 మరియు a > 0 మరియు x ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు.

లాగరిథమ్స్ యొక్క లక్షణాలు:

1. \({\log _a}a = 1\)
2. \({\log _a}\left( {x.y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\)
3. \({\log _a}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {\log _a}x - {\log _a}y\)
4. \({\log _a}\left( {\frac{1}{x}} \right) = - {\log _a}x\)
5. \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{x^p} = p{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x\)
6. \(lo{g_a}\left( x \right) = \frac{{lo{g_b}\left( x \right)}}{{lo{g_b}\left( a \right)}}\)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన: log a + log b + log c = 0.

సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పత్తి నియమాన్ని ఉపయోగించి, మనం పొందుతాము,

log a + log b + log c = log (ab) + log c = 0

log (abc) = 0

మనకు తెలిసినట్లుగా, log ⁡1 = 0

⇒ log (abc) = log 1

రెండు వైపులా లాగ్‌ను రద్దు చేయడం వల్ల మనకు లభిస్తుంది,

⇒ abc = 1

కాబట్టి, abc విలువ 1.

లెక్కింపు:

దానిని బట్టి, లాగ్ 3 9 × లాగ్ 9 27 × లాగ్ 27 81 × ........× n వ పదం = 21

పై శ్రేణి యొక్క LHSలో నమూనాను గమనిస్తే, n వ పదం = లాగ్ _{3 ⁿ}   3.3 ^ని

⇒ లాగ్ 3 9 × లాగ్ 9 27 × లాగ్ 27 81 × .......× లాగ్ 3 n   3.3 ని   = 21

⇒ బేస్‌ని 3 బేస్‌గా చేయడం,

⇒ లాగ్ 3 9 × (లాగ్ ₃ 27/లాగ్ ₃ 9) × (లాగ్ ₃ 81/లాగ్ ₃ 27) ×........× (లాగ్ ₃ 3.3 ⁿ /లాగ్ ₃ 3 ⁿ ) = 21

⇒ లాగ్ 3 3.3 ⁿ = 21

⇒ లాగ్ ₃ 3 ^{(n + 1)} = 21

⇒ n + 1 = 21

⇒ n = 20

ప్రధానాంశాలు

• ఏదైనా a > 1 కోసం లాగ్ _x y = (లాగ్ _ఎ y/లాగ్ _ఎ x).
• లాగ్ _x y ⁿ = n × లాగ్ x y
• లాగ్ _{x ⁿ}   y = (1/n) × లాగ్ x y

సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం ఎప్పుడూ ప్రతికూలంగా ఉండదు. ఇది 1 కంటే ఎక్కువ సానుకూల సంఖ్య మాత్రమే కావచ్చు.

ఇవ్వబడింది:

log (x + 3) + log (x + 5) = log 35

ఉపయోగించిన సూత్రం:

log a + log b = log (a × b)

 log a = log b, అయితే, a = b

గణన:

లాగరిథం ప్రాపర్టీ log a + log b = log (a × b) ఉపయోగించి:

log [(x + 3)(x + 5)] = log 35

రెండు వైపులా లాగరిథమ్‌లు సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి, వాటి వాదనలు సమానంగా ఉండాలి:

(x + 3)(x + 5) = 35

x2 + 5x + 3x + 15 = 35

x2 + 8x + 15 - 35 = 0

x2 + 8x - 20 = 0

(x + 10)(x - 2) = 0

x + 10 = 0 ⇒ x = -10

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

రుణాత్మక సంఖ్య యొక్క లాగరిథం నిర్వచించబడలేదు.

కాబట్టి, x = 2 ఒక చెల్లుబాటు అయ్యే విలువ.

∴ x విలువ 2.