Matrix Representation of Linear Transformations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Matrix Representation of Linear Transformations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 30, 2025
Latest Matrix Representation of Linear Transformations MCQ Objective Questions
Matrix Representation of Linear Transformations Question 1:
मान लीजिए T, S : ℝ4 → ℝ4 दो शून्येतर, अतत्समक ℝ-रैखिक रूपांतरण हैं। मान लीजिए T2 = T है। निम्नलिखित में से कौन सा/से सत्य है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
एक व्युत्क्रमणीय रैखिक रूपांतरण (या व्युत्क्रमणीय रूपांतरण) एक रैखिक रूपांतरण \(T: V \to V \) एक सदिश समष्टि V पर है जिसका एक व्युत्क्रम रूपांतरण \(T^{-1} \) इस प्रकार है कि
\(T(T^{-1}(v)) = v \quad \text{और} \quad T^{-1}(T(v)) = v\)
सभी \(v \in V\) के लिए।
व्याख्या:
T, S : \(\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4\) दो शून्येतर, अतत्समक रैखिक रूपांतरण हैं।
\(T^2 = T \), जिसका अर्थ है कि T एक वर्गसम रूपांतरण है।
विकल्प 1: T आवश्यक रूप से व्युत्क्रमणीय है:
चूँकि \(T^2 = T \) , T वर्गसम है। एक वर्गसम आव्यूह (रूपांतरण) तब तक व्युत्क्रमणीय नहीं हो सकता जब तक कि
यह तत्समक आव्यूह न हो क्योंकि यदि T व्युत्क्रमणीय होता, तो हमारे पास \(T^2 = T \Rightarrow T = I\) होता, जो दी गई शर्त के साथ विरोधाभासी है कि T अतत्सम है। इसलिए, विकल्प 1 असत्य है।
विकल्प 2: यदि \(S^2 = S\) और \(\text{Rank}(T) = \text{Rank}(S) :\) है, तो T और S समरूप हैं:
दो वर्गसम रूपांतरण T और S समरूप होते हैं यदि उनका कोटि समान है, क्योंकि समरूप रूपांतरणों
का जॉर्डन रूप समान होता है, और वर्गसम आव्यूहों के लिए, रूप कोटि द्वारा अभिलक्षित होता है। इसलिए, यदि \(S^2 = S\) और
\(\text{Rank}(T) = \text{Rank}(S)\) , तो T और S समरूप हो सकते हैं। इसलिए, विकल्प 2 सत्य है।
विकल्प 3: यदि S के केवल 0 और 1 आइगेनमान हैं, तो T और S समरूप हैं:
जबकि T और S दोनों के आइगेन मान 0 और 1 होंगे (चूँकि वे वर्गसम हैं), समरूपता के लिए न केवल समान आइगेन मान की आवश्यकता होती है, बल्कि समान कोटि की भी आवश्यकता होती है, साथ ही एक समरूपता परिवर्तन जो उनके जॉर्डन रूपों को संबंधित करता है। यह शर्त अकेले (केवल 0 और 1 आइगेनमान के रूप में) समरूपता की गारंटी देने के लिए पर्याप्त नहीं है। इसलिए, विकल्प 3 असत्य है।
विकल्प 4: T आवश्यक रूप से विकर्णनीय है:
एक वर्गसम आव्यूह (केवल 0 और 1 आइगेन मानों के साथ) हमेशा विकर्णनीय होता है, क्योंकि इसे एक ऐसे रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ यह विकर्ण पर 0 और 1 वाले एक विकर्ण आव्यूह के समरूप होता है, जो प्रत्येक आइगेन मान से संबद्ध आइगेन समष्टि पर प्रक्षेपण से मेल खाता है। इसलिए, विकल्प 4 सत्य है।
इसलिए, विकल्प 2) और 4) सही हैं।
Matrix Representation of Linear Transformations Question 2:
मान लीजिए कि V, ℝ में प्रविष्टियों वाले 2 × 2 आव्यूहों का वास्तविक सदिश समष्टि है। मान लीजिए T: V → V सभी B ∈ V के लिए T(B) = AB द्वारा परिभाषित रैखिक रूपांतरण को दर्शाता है, जहाँ \(\rm A=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\) है। T का अभिलाक्षणिक बहुपद क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
रैखिक रूपांतरण और आव्यूह निरूपण:
T एक रैखिक रूपांतरण है जो किसी भी \(2 \times 2\) आव्यूह \(B \in V\) को \(AB\) में मैप करता है, जहाँ \(A\) एक दिया गया \(2 \times 2\) आव्यूह है।
अभिलाक्षणिक बहुपद:
एक आव्यूह A का अभिलाक्षणिक बहुपद \(A - \lambda I\) के सारणिक द्वारा दिया जाता है, जहाँ \(\lambda\) आइगेन मान है और \(I \) तत्समक आव्यूह है। अभिलाक्षणिक बहुपद \( \text{det}(A - \lambda I)\) है जहाँ \(I \) A के समान आयाम का तत्समक आव्यूह है, और \(\lambda\) आइगेन मानों का प्रतिनिधित्व करता है।
व्याख्या:
A =\( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
यहाँ, T, \(2 \times 2 \) आव्यूहों पर कार्य कर रहा है। इसलिए, हमें यह समझने की आवश्यकता है कि A किसी भी \(B \in V \) पर कैसे कार्य करता है, जहाँ B = \(\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}\) है।
B पर A की क्रिया है
T(B) = AB = \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 2b_{11} & 2b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \)
यह दर्शाता है कि कैसे रूपांतरण T आव्यूह B की पहली पंक्ति को 2 से मापन करता है और दूसरी पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ देता है।
अब, हम T को एक आव्यूह के रूप में निरूपित करते हैं जो \(2 \times 2 \) आव्यूह B के सदिशकरण पर कार्य करता है। यदि हम B की प्रविष्टियों को एक सदिश \(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^4\) (B के स्तंभों को ढेर करके) के रूप में लिखते हैं, अर्थात्,
\(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{12} \\ b_{22} \end{pmatrix}\)
तब \(\mathbf{b}\) पर T की क्रिया को \(4 \times 4 \) आव्यूह के रूप में निरूपित किया जा सकता है। T का प्रभाव है:
\(T(\mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 2b_{11} \\ b_{21} \\ 2b_{12} \\ b_{22} \end{pmatrix}\)
इसे आव्यूह गुणन के रूप में लिखा जा सकता है
\(T(\mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{12} \\ b_{22} \end{pmatrix}\)
इस प्रकार, T का आव्यूह निरूपण है
\(T = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
एक आव्यूह T का अभिलाक्षणिक बहुपद इस प्रकार दिया गया है:
\(p(\lambda) = \det(T - \lambda I)\)
जहाँ \(I\) \(4 \times 4 \) तत्समक आव्यूह है। इस व्यंजक में T को प्रतिस्थापित करने पर:
\(T - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - \lambda \end{pmatrix}\)
अब, हम सारणिक की गणना करते हैं
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\det(T - \lambda I) = (2 - \lambda)(1 - \lambda)(2 - \lambda)(1 - \lambda)\)
सरलीकरण करने पर,
\(p(\lambda) = (2 - \lambda)^2 (1 - \lambda)^2\)
इस प्रकार, T का अभिलाक्षणिक बहुपद है
\(p(\lambda) = (2 - \lambda)^2 (1 - \lambda)^2\)
अतः सही विकल्प 3) है।
Matrix Representation of Linear Transformations Question 3:
माना \( \rm A=\begin{bmatrix}2&3\\\ 4&-1\end{bmatrix}\) है, तो आधार \(\rm S=\{u_1, u_2\}=\left\{[1,3]^T,[2,5]^T\right\}\) के सापेक्ष रैखिक संकारक A को निरूपित करने वाला आव्यूह B है:
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 3 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
आव्यूह A से संबद्ध रैखिक रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:
⇒ \(T(x, y) = A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{bmatrix}\)
चरण 1: T(1,3) की गणना करें और इसे आधार S के रूप में व्यक्त करें:
⇒ \(T(1,3) = \begin{bmatrix} 2(1) + 3(3) \\ 4(1) - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 9 \\ 4 - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ 1 \end{bmatrix}\)
हम (11,1) को आधार सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हैं:
⇒ \( \begin{bmatrix} 11 \\ 1 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}\)
इससे निम्न निकाय प्राप्त होता है:
⇒ a + 2b = 11
⇒ 3a + 5b = 1
a और b के लिए हल:
पहले समीकरण को 3 से गुणा करने पर,
⇒ 3a + 6b = 33
दूसरे समीकरण से घटाना
⇒ (3a + 5b) - (3a + 6b) = 1 - 33
\(-b = -32 \Rightarrow b = 32\)
a + 2b = 11 में b = 32 प्रतिस्थापित करने पर:
⇒ a + 2(32) = 11
⇒ a + 64 = 11
⇒ a = -53
इस प्रकार, आधार S में T(1,3) का निर्देशांक सदिश है,
⇒ \(\begin{bmatrix} -53 \\ 32 \end{bmatrix}\)
T(2,5) की गणना करें और इसे आधार S के रूप में व्यक्त करें,
⇒ \(T(2,5) = \begin{bmatrix} 2(2) + 3(5) \\ 4(2) - 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 + 15 \\ 8 - 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 \\ 3 \end{bmatrix}\)
हम (19,3) को इस प्रकार व्यक्त करते हैं:
⇒ \( \begin{bmatrix} 19 \\ 3 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}\)
इससे निम्न निकाय प्राप्त होता है,
⇒ a + 2b = 19
⇒ 3a + 5b = 3
a और b के लिए हल:
पहले समीकरण को 3 से गुणा करने पर,
⇒ 3a + 6b = 57
दूसरे समीकरण से घटाना
⇒ (3a + 5b) - (3a + 6b) = 3 - 57
\(-b = -54 \Rightarrow b = 54\)
a + 2b = 19 में b = 54 प्रतिस्थापित करने पर,
⇒ a + 2(54) = 19
⇒ a + 108 = 19
⇒ a = -89
इस प्रकार, आधार S में T(2,5) का निर्देशांक सदिश है,
⇒ \(\begin{bmatrix} -89 \\ 54 \end{bmatrix}\)
आधार S में रूपांतरण आव्यूह है:
⇒ \(B=[T]_S = \begin{bmatrix} -53 & -89 \\ 32 & 54 \end{bmatrix}\)
अतः विकल्प 2 सही है।
Matrix Representation of Linear Transformations Question 4:
n के बराबर या उससे कम घात (डिग्री) के x में वास्तविक बहुपदों की सदिश समष्टि ℙn पर विचार करें। यदि T : ℙ2 → ℙ3 को (Tf) (x) = \(\int_0^x f(t) d t+f^{\prime}(x)\) से परिभाषित करें तो आधारों {1, x, x2} तथा {1, x, x2, x3} के लिए T का आव्यूह निरूपण है
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 4 Detailed Solution
Matrix Representation of Linear Transformations Question 5:
माना कि A एक n x n आव्यूह है जिसमें जटिल प्रविष्टियाँ हैं। यदि n ≥ 4 है, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 5 Detailed Solution
संप्रत्यय -
(1) माना कि W, V का एक T अपरिवर्तनशील उप-स्थान है।
T : V → V और T|W = \(\hat {T}\) : W → W
माना कि BW , W के लिए एक आधार है और BV , BW द्वारा विस्तारित V के लिए एक आधार है
T' = T/W : V/W → V/W और
\(C_T(x)=C_{\hat{T}}(x).C_{T'}(x)\)
\([T]_{B_V \to B_V}= \begin{pmatrix} [\hat{T}]_{B_W \to B_W} & C \\ 0 & [T']_{B_{V/W} \to B_{V/W}} \end{pmatrix}\)
(2) शून्य और पूर्ण स्थान हमेशा अपरिवर्तनशील उप-स्थान होते हैं।
व्याख्या -
विकल्प(1) के लिए -
माना कि Tv = λv, v ≠ 0
अब T(α v) = α Tv = α λv = (α λ)v ∈
अतः
क्योंकि ℂn(\(\mathbb{C}\)) एक सदिश स्थान है, इसलिए इसका एक आइगेन मान होना चाहिए, (माना कि λ और क्षेत्र = \(\mathbb{C}\) )
और माना कि v, आइगेन मान λ के संगत एक शून्येतर आइगेन सदिश है।
अतः
अतः विकल्प(1) असत्य है।
विकल्प (3) के लिए -
माना कि आव्यूह \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
अब आव्यूह A के लिए अभिलक्षणिक बहुपद CA(x) = x2(x2+1)
स्पष्ट रूप से आव्यूह A के लिए आइगेन मान 0,0, ± i हैं
अतः विकल्प(3) असत्य है।
विकल्प (2) & (4) के लिए -
हम जानते हैं कि अपरिवर्तनशील से \(C_T(x)=C_{\hat{T}}(x).C_{T'}(x)\)
डिग्री CT(x) = n ≥ 4
क्योंकि F (क्षेत्र) = \(\mathbb{C}\) ⇒ CT(x) \(\mathbb{C}[x]\) में पूर्ण रूप से विभाजित होता है
किसी भी n - 3 डिग्री गुणज को CT(x) का लें
\(C_{\hat{T}}(x)\) = (x - λ1)(x - λ2)(x - λ3)(x - λ4)............(x - λn-3)
W =
अब माना कि W ℂn में n - 3 आयाम का एक अपरिवर्तनशील उप-स्थान है।
माना कि w ∈ W =
w = α1v1 + α2v2 + α3v3 ........ + αn-3vn-3
Tw = T(α1v1 + α2v2 + α3v3 ........ + αn-3vn-3 )
= α1Tv1 + α2Tv2 + α3Tv3 ........ + αn-3Tvn-3
= α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 ........ + αn-3λn-3vn-3 ∈
यह हमारी धारणा का पालन करता है।
अतः विकल्प(2) सही है।
इसी प्रकार A2 का ℂn में n - 1 आयाम का अपरिवर्तनशील उप-स्थान है।
इसलिए विकल्प(4) सही नहीं है।
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A को वास्तविक प्रविष्टियों वाली 3 × 3 आव्यूह मानें। निम्न में से कौन-सा वक्तव्य असत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए
व्याख्या:
A एक 3 × 3 आव्यूह है जिसमें वास्तविक प्रविष्टियाँ हैं।
इसलिए A का अभिलक्षणिक बहुपद 3 घात का होगा।
(1): चूँकि हम जानते हैं कि, विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए, इसलिए A का एक वास्तविक आइगेन मान होना चाहिए।
(1) सत्य है
(2): जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूह का सारणिक आइगेन मान के गुणनफल के बराबर होता है। इसलिए यदि A का सारणिक 0 है, तो 0, A का एक आइगेन मान है।
(2) सत्य है
(3): A का सारणिक ऋणात्मक है और 3, A का एक आइगेन मान है।
यदि संभव हो तो मान लीजिए कि A के अन्य दो आइगेन मान वास्तविक नहीं हैं और वे α + iβ, α + iβ हैं।
इसलिए सारणिक = 3(α + iβ)(α - iβ) = 3(α2 + β2) > 0 सभी α, β के लिए जो एक विरोधाभास है।
इसलिए A के तीन वास्तविक आइगेन मान होने चाहिए।
(3) सत्य है और (4) असत्य कथन है।
मानें कि ℝ3 पर T रैखिक संकारक (linear operator) है। मानें कि f(X) ∈ ℝ[X] इसका अभिलक्षणिक बहुपद है। निम्न वक्तव्यों पर विचार करें।
(a). माने कि T शून्येतर है तथा T का एक अभिलक्षणिक मान (eigen value) 0 है। यदि हम ℝ[X] में f(X) = X g(X) लिखें, तो रैखिक संकारक g(T) शून्य है।
(b). मानें कि T का एक अभिलक्षणिक मान 0 है, जिसके कम से कम दो रैखितः स्वतंत्र (linearly independent) अभिलक्षणिक सदिश हैं। यदि हम ℝ[X] में f(X) = Xg(X) लिखें तो रैखिक संकारक g(T) शून्य है।
निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
ℝ3 पर एक रैखिक संकारक T हो। तो T एक 3 × 3 आव्यूह है।
(a): T शून्येतर है और 0 T का एक आइगेन मान है। मान लीजिए अन्य दो आइगेन मान α, β हैं, तो f(x) = x(x - α)(x - β)
चूँकि f(X) = X g(X) इसलिए g(x) = (x - α)(x - β)
यदि α = 2, β = -2 तो g(x) = (x - 2)(x + 2) = x2 - 4
इसलिए g(T) = T2 - 4I
अब, T के आइगेन मान 0, 2, -2 हैं तो g(T) के आइगेन मान 4, 0, 0 हैं
इसलिए g(T) ≠ 0
(a) असत्य है।
(b): 0, T का एक आइगेन मान है जिसमें कम से कम दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेन वेक्टर हैं।
इसलिए 0 के लिए GM = 2
हम जानते हैं कि AM ≥ GM
इसलिए AM ≥ 2 ⇒ AM = 2 या AM = 3 आइगेन मान 0 के लिए
मामले के लिए AM = 2
मान लीजिए T = \(\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&λ\end{bmatrix}\) λ ≠ 0
इसलिए अभिलक्षणिक बहुपद f(x) = x2(x - λ)
इसलिए g(x) = x(x - λ) = x2 - λx
इसलिए g(T) = T2 - λT
अब, T का आइगेन मान 0, 0, λ है
T2 - λT का आइगेन मान 0 - 0λ, 0 - 0λ, λ2 - λ2 = 0, 0, 0 है
इसलिए g(T) = 0
यदि λ = 0 तो f(x) = x3 इसलिए g(x) = x2 इसलिए g(T) = 0
(b) सही है।
विकल्प (4) सही है।
मान लीजिए कि V, ℝ में प्रविष्टियों वाले 2 × 2 आव्यूहों का वास्तविक सदिश समष्टि है। मान लीजिए T: V → V सभी B ∈ V के लिए T(B) = AB द्वारा परिभाषित रैखिक रूपांतरण को दर्शाता है, जहाँ \(\rm A=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\) है। T का अभिलाक्षणिक बहुपद क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
रैखिक रूपांतरण और आव्यूह निरूपण:
T एक रैखिक रूपांतरण है जो किसी भी \(2 \times 2\) आव्यूह \(B \in V\) को \(AB\) में मैप करता है, जहाँ \(A\) एक दिया गया \(2 \times 2\) आव्यूह है।
अभिलाक्षणिक बहुपद:
एक आव्यूह A का अभिलाक्षणिक बहुपद \(A - \lambda I\) के सारणिक द्वारा दिया जाता है, जहाँ \(\lambda\) आइगेन मान है और \(I \) तत्समक आव्यूह है। अभिलाक्षणिक बहुपद \( \text{det}(A - \lambda I)\) है जहाँ \(I \) A के समान आयाम का तत्समक आव्यूह है, और \(\lambda\) आइगेन मानों का प्रतिनिधित्व करता है।
व्याख्या:
A =\( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
यहाँ, T, \(2 \times 2 \) आव्यूहों पर कार्य कर रहा है। इसलिए, हमें यह समझने की आवश्यकता है कि A किसी भी \(B \in V \) पर कैसे कार्य करता है, जहाँ B = \(\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}\) है।
B पर A की क्रिया है
T(B) = AB = \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 2b_{11} & 2b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \)
यह दर्शाता है कि कैसे रूपांतरण T आव्यूह B की पहली पंक्ति को 2 से मापन करता है और दूसरी पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ देता है।
अब, हम T को एक आव्यूह के रूप में निरूपित करते हैं जो \(2 \times 2 \) आव्यूह B के सदिशकरण पर कार्य करता है। यदि हम B की प्रविष्टियों को एक सदिश \(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^4\) (B के स्तंभों को ढेर करके) के रूप में लिखते हैं, अर्थात्,
\(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{12} \\ b_{22} \end{pmatrix}\)
तब \(\mathbf{b}\) पर T की क्रिया को \(4 \times 4 \) आव्यूह के रूप में निरूपित किया जा सकता है। T का प्रभाव है:
\(T(\mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 2b_{11} \\ b_{21} \\ 2b_{12} \\ b_{22} \end{pmatrix}\)
इसे आव्यूह गुणन के रूप में लिखा जा सकता है
\(T(\mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{12} \\ b_{22} \end{pmatrix}\)
इस प्रकार, T का आव्यूह निरूपण है
\(T = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
एक आव्यूह T का अभिलाक्षणिक बहुपद इस प्रकार दिया गया है:
\(p(\lambda) = \det(T - \lambda I)\)
जहाँ \(I\) \(4 \times 4 \) तत्समक आव्यूह है। इस व्यंजक में T को प्रतिस्थापित करने पर:
\(T - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - \lambda \end{pmatrix}\)
अब, हम सारणिक की गणना करते हैं
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\det(T - \lambda I) = (2 - \lambda)(1 - \lambda)(2 - \lambda)(1 - \lambda)\)
सरलीकरण करने पर,
\(p(\lambda) = (2 - \lambda)^2 (1 - \lambda)^2\)
इस प्रकार, T का अभिलाक्षणिक बहुपद है
\(p(\lambda) = (2 - \lambda)^2 (1 - \lambda)^2\)
अतः सही विकल्प 3) है।
Matrix Representation of Linear Transformations Question 9:
माना A ऐसा 4 × 4 आव्यूह है, जिसके अभिलक्षणिक मान -1, 1, 1, -2 है। यदि B = A4 - 5A2 + 5I है, तो trace (A + B) है:
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 9 Detailed Solution
अवधारणा:
आइगेन मान:
1. माना A कोटि ‘n’ का एक वर्ग आव्यूह है और ‘λ’ एक अदिश है। |A−λI| = 0 को आव्यूह A का अभिलाक्षणिक समीकरण कहा जाता है।
2. अभिलाक्षणिक समीकरण के मूलों को आइगेन मान कहा जाता है।
3. प्रत्येक आइगेन मान ‘λ’ के संगत एक शून्येतर सदिश ‘v’ विद्यमान है, जिससे कि Av = λv या (A -λI)v = 0
आव्यूह का अनुरेख:
मान लीजिए A कोटि n × n का एक आव्यूह है। माना \(λ_1,λ_2,λ_3,...,λ_n\) M के आइगेन मान हैं। तब:
1. आव्यूह का अनुरेख उसके विकर्ण तत्वों के योग के बराबर होता है। इसे tr(A) द्वारा दर्शाया जाता है।
2. tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
3. tr(A) = \(\sum_{i=1}^{n}λ_i\)
4. tr(Ak) = \(\sum_{i=1}^{n}λ_i^k\), जहाँ \(λ_i\) ith आइगेन मान है।
अवधारणा:
हमारे पास, A एक 4 × 4 आव्यूह है, जिसके आइगेन मान -1, 1, 1, -2 हैं।
∴ tr(A) = (-1) + 1 + 1 + (-2)
⇒ tr(A) = -1
दिया गया है, B = A4 - 5A2 + 5I
⇒ tr(B) = tr(A4) - 5tr(A2) + 5tr(I)
tr(A4) = (- 1)4 + 14 + 14 + (-2)4 = 1 + 1 + 1 + 16 = 19
tr(A2) = (- 1)2 + 12 + 12 + (- 2)2 = 1 + 1 + 1 + 4 = 7
tr(I) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
⇒ tr(B) = 19 - 5 × 7 + 5 × 4
⇒ tr(B) = 19 - 35 + 20 = 39 - 35
⇒ tr(B) = 4
tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
= (-1) + 4
∴ tr(A + B) = 3
Alternate Method
A के आइगेन मान -1, 1, 1, -2 हैं।
इसलिए tr(A) = -1 + 1 + 1 - 2 = -1
हम जानते हैं कि यदि λ A का एक आइगेन मान है, तो λm Am का एक आइगेन मान है।
B = A4 - 5A2 + 5I
इसलिए B के आइगेन मान हैं
1 - 5 + 5 = 1, 1 - 5 + 5 = 1, 1 - 5 + 5 = 1 और 16 - 20 + 5 = 1
इसलिए tr(B) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
इसलिए tr(A + B) = -1 + 4 = 3
अतः (3) सही है।
Matrix Representation of Linear Transformations Question 10:
मानें कि \(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}&0\\ 1&2&{ - 1}\\ 1&1&3 \end{array}} \right]\) . यदि M का एक अभिलक्षिणिक मान 1 हो तो निम्न कथनों में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 10 Detailed Solution
संप्रत्यय:
आइगेनमान (Eigenvalues):
1. मान लीजिए A कोटि ‘n’ का एक वर्ग आव्यूह है और ‘λ’ एक अदिश है।
|A−λI|=0 को आव्यूह A का अभिलाक्षणिक समीकरण कहा जाता है।
2. अभिलाक्षणिक समीकरण के मूलों को आइगेनमान कहा जाता है।
3. प्रत्येक आइगेनमान ‘λ’ के संगत, एक शून्येतर सदिश ‘v’ मौजूद है जिससे कि Av = λv या (A -λI)v = 0
मान लीजिए A, n x n कोटि का एक आव्यूह है। मान लीजिए \(λ_1,λ_2,λ_3,...,λ_n\) M के आइगेनमान हैं। तब:
1. det(A) = \(λ_1λ_2λ_3\cdot...\cdotλ_n\) अर्थात, A का सारणिक आइगेनमानों के गुणनफल के बराबर है।
2. tr(A) = \(λ_1+λ_2+λ_3+...+λ_n\) अर्थात, A का अनुरेख (ट्रेस) आइगेनमानों के योग के बराबर है। [A का अनुरेख A के विकर्ण तत्वों का योग है]
गणना:
\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}&0\\ 1&2&{ - 1}\\ 1&1&3 \end{array}} \right]\)
⇒ |M| = 0 + 1(3 + 1) + 0
⇒ |M| = 4
मान लीजिए \(λ_1, λ_2,λ_3\) आइगेनमान हैं।
∴ \(λ_1λ_2λ_3\) = 4...(i)
और, \(λ_1+λ_2+λ_3\) = 5...(ii)
प्रश्न के अनुसार, 1, M का एक आइगेनमान है।
मान लीजिए \(λ_1\) = 1
∴ (i) ⇒ \(λ_2λ_3\) = 4...(iii)
और, (ii) ⇒ \(1+λ_2+λ_3\) = 5
⇒ \(λ_2+λ_3\) = 4...(iv)
(iii) और (iv) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\(λ_2\) = 2 और \(λ_2\) = 2
∴ M के आइगेनमान 1, 2 और 2 हैं।
विकल्प 1 और 2 गलत हैं।
(i) (λ) के आइगेनस्पेस की विमा = G.M.(λ)
(ii) G.M.(λ) = n - rank(A - λI), A, n x n आव्यूह है।
अब, M - 2I = \( \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}&0\\ 1&2&{ - 1}\\ 1&1&3 \end{array}} \right]- 2 \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 0}&0\\ 0&1&{ 0}\\ 0&0&1 \end{array}} \right] \)
M - 2I = \( \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -2&{ - 1}&0\\ 1&0&{ - 1}\\ 1&1&1 \end{array}} \right]\)
पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने पर, R1 → R1 + 2R2
और R3 → R3 - R2
= \( \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}&-2\\ 1&0&{ - 1}\\ 0&1&2 \end{array}} \right]\)
R3 → R3 + R1
= \( \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}&-2\\ 1&0&{ - 1}\\ 0&0&0\end{array}} \right]\)
∴ Rank (M - 2I) = 2
⇒ G.M.(2) = n - rank (A - 2I) = 3 - 2 = 1 = Eigenspace(2)
∵ A.M. ≥ G.M. और A.M.( λ = 1) = 1
⇒ G.M. (1) = 1 = Eigenspace (1)
इसके अलावा, A.M.(2) ≠ G.M.(2) ⇒ M विकर्णनीय नहीं है।
∴ विकल्प 4 गलत है।
चूँकि सभी आइगेनमानों का G. M. 1 है, इसलिए प्रत्येक आइगेनमान के आइगेनस्पेस की विमा 1 है विकल्प 3 सही है।
Matrix Representation of Linear Transformations Question 11:
माना कि M एक वास्तविक सूची वाला 5 × 5 आव्यूह इस प्रकार से है कि कोटि (M) = 3. रैखिक तंत्र Mx = b पर विचार करें। माना R संबंधित आव्यूह [M b] का पंक्ति समानीत सोपान प्रारूप है तथा R[i, ∶] की i - वीं पंक्ति को निरूपित करता है। मानें कि रैखिक तंत्र एक हल स्वीकारता है। निम्नलिखित में से कौन - सा कथन अनिवार्यतः सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 11 Detailed Solution
Matrix Representation of Linear Transformations Question 12:
A को वास्तविक प्रविष्टियों वाली 3 × 3 आव्यूह मानें। निम्न में से कौन-सा वक्तव्य असत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 12 Detailed Solution
अवधारणा:
विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए
व्याख्या:
A एक 3 × 3 आव्यूह है जिसमें वास्तविक प्रविष्टियाँ हैं।
इसलिए A का अभिलक्षणिक बहुपद 3 घात का होगा।
(1): चूँकि हम जानते हैं कि, विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए, इसलिए A का एक वास्तविक आइगेन मान होना चाहिए।
(1) सत्य है
(2): जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूह का सारणिक आइगेन मान के गुणनफल के बराबर होता है। इसलिए यदि A का सारणिक 0 है, तो 0, A का एक आइगेन मान है।
(2) सत्य है
(3): A का सारणिक ऋणात्मक है और 3, A का एक आइगेन मान है।
यदि संभव हो तो मान लीजिए कि A के अन्य दो आइगेन मान वास्तविक नहीं हैं और वे α + iβ, α + iβ हैं।
इसलिए सारणिक = 3(α + iβ)(α - iβ) = 3(α2 + β2) > 0 सभी α, β के लिए जो एक विरोधाभास है।
इसलिए A के तीन वास्तविक आइगेन मान होने चाहिए।
(3) सत्य है और (4) असत्य कथन है।
Matrix Representation of Linear Transformations Question 13:
मानें कि ℝ3 पर T रैखिक संकारक (linear operator) है। मानें कि f(X) ∈ ℝ[X] इसका अभिलक्षणिक बहुपद है। निम्न वक्तव्यों पर विचार करें।
(a). माने कि T शून्येतर है तथा T का एक अभिलक्षणिक मान (eigen value) 0 है। यदि हम ℝ[X] में f(X) = X g(X) लिखें, तो रैखिक संकारक g(T) शून्य है।
(b). मानें कि T का एक अभिलक्षणिक मान 0 है, जिसके कम से कम दो रैखितः स्वतंत्र (linearly independent) अभिलक्षणिक सदिश हैं। यदि हम ℝ[X] में f(X) = Xg(X) लिखें तो रैखिक संकारक g(T) शून्य है।
निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 13 Detailed Solution
व्याख्या:
ℝ3 पर एक रैखिक संकारक T हो। तो T एक 3 × 3 आव्यूह है।
(a): T शून्येतर है और 0 T का एक आइगेन मान है। मान लीजिए अन्य दो आइगेन मान α, β हैं, तो f(x) = x(x - α)(x - β)
चूँकि f(X) = X g(X) इसलिए g(x) = (x - α)(x - β)
यदि α = 2, β = -2 तो g(x) = (x - 2)(x + 2) = x2 - 4
इसलिए g(T) = T2 - 4I
अब, T के आइगेन मान 0, 2, -2 हैं तो g(T) के आइगेन मान 4, 0, 0 हैं
इसलिए g(T) ≠ 0
(a) असत्य है।
(b): 0, T का एक आइगेन मान है जिसमें कम से कम दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेन वेक्टर हैं।
इसलिए 0 के लिए GM = 2
हम जानते हैं कि AM ≥ GM
इसलिए AM ≥ 2 ⇒ AM = 2 या AM = 3 आइगेन मान 0 के लिए
मामले के लिए AM = 2
मान लीजिए T = \(\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&λ\end{bmatrix}\) λ ≠ 0
इसलिए अभिलक्षणिक बहुपद f(x) = x2(x - λ)
इसलिए g(x) = x(x - λ) = x2 - λx
इसलिए g(T) = T2 - λT
अब, T का आइगेन मान 0, 0, λ है
T2 - λT का आइगेन मान 0 - 0λ, 0 - 0λ, λ2 - λ2 = 0, 0, 0 है
इसलिए g(T) = 0
यदि λ = 0 तो f(x) = x3 इसलिए g(x) = x2 इसलिए g(T) = 0
(b) सही है।
विकल्प (4) सही है।
Matrix Representation of Linear Transformations Question 14:
निम्नलिखित में से किस आव्यूह में आव्यूह \(\left(\begin{array}{lll} 4 & 8 & 4 \\ 3 & 6 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}\right)\) के समान पंक्ति समष्टि है?
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 14 Detailed Solution
अवधारणा:
यदि दोनों आव्यूहों का पंक्ति सोपानक रूप समान है, तो दोनों आव्यूहों की पंक्ति समष्टि समान होती है।
स्पष्टीकरण:
\(\left(\begin{array}{lll} 4 & 8 & 4 \\ 3 & 6 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}\right)\)
∼\(\left(\begin{array}{lll} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & 1 \\ 4 & 8 & 4 \end{array}\right)\) (\(R_1\leftrightarrow R_3\))
∼\(\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 6 & 1 \\ 4 & 8 & 4 \end{array}\right)\) (\(R_1\rightarrow \frac12R_1\))
∼\(\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right)\) (\(R_2\rightarrow R_2-3R_1\), \(R_3\rightarrow R_3-4R_1\))
∼\(\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\) (\(R_3\rightarrow R_3-4R_2\),
इसलिए, दिए गए आव्यूह का समान पंक्ति समष्टि \(\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\) है।
अतः विकल्प (1) सही है।
Matrix Representation of Linear Transformations Question 15:
यदि \(\rm A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right] \) है, तब A10 का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Matrix Representation of Linear Transformations Question 15 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
हम जानते है यदि A = \(\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}\) है, तब An = \(\begin{bmatrix}a^n&na^{n-1}\\0&a^n\end{bmatrix}\) है
दिया गया है: \(\rm A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right] \)
उपरोक्त परिणाम का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है
A10 = \(\left[\begin{array}{ll}2^{10} & 10\cdot2^9 \\ 0 & 2^{10}\end{array}\right] \) = \(\left[\begin{array}{cc}4^5 & 20 \cdot 4^4 \\ 0 & 4^5\end{array}\right]\)
(3) सही है