Linear Algebra MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Linear Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 23, 2025
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Linear Algebra Question 1:
माना \(A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 5 \\ 2 & 5 & -3\end{array}\right]\) है, तब A के अभिलक्षणिक मान _______ हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Algebra Question 1 Detailed Solution
अवधारणा:
(i) एक वर्ग आव्यूह का ट्रेस = अभिलक्षणिक मानों का योग
(ii) एक वर्ग आव्यूह का सारणिक = अभिलक्षणिक मानों का गुणनफल
(ii) यदि आव्यूह की प्रत्येक पंक्ति के अवयवों का योग λ है, तो λ उस आव्यूह का एक अभिलक्षणिक मान है।
स्पष्टीकरण:
\(A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 5 \\ 2 & 5 & -3\end{array}\right]\)
प्रत्येक पंक्ति के अवयवों का योग 4 है इसलिए 4 एक अभिलक्षणिक मान है।
A का ट्रेस = 1 - 2 - 3 = -4
det(A) = \(\begin{vmatrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 5 \\ 2 & 5 & -3\end{vmatrix}\) = 1(6 - 25) + 1( 10 + 3) + 2(5 + 4) = -19 + 13 + 18 = 12
(1): 4 एक अभिलक्षणिक मान नहीं है।
इसलिए विकल्प (1) गलत है।
(2): आव्यूह का ट्रेस = अभिलक्षणिक मानों का योग = 4 + 3 + 1 = 9 ≠ -4
इसलिए विकल्प (2) गलत है।
(3): आव्यूह का ट्रेस = 4 - 4 + √13 - 4 - √13 = -4
और A का सारणिक = 4(-4 + √13)(-4 - √13) = 4(16 - 13) = 12
अतः विकल्प (3) सही है।
(4): आव्यूह का सारणिक = 4 (-2 + 2√7)(-2 - 2√7) = 4(4 - 28) = -96
अतः विकल्प (4) गलत है।
Linear Algebra Question 2:
a, b, c पर स्थिति का पता लगाएं ताकि निम्न समीकरणों की रैखिक प्रणाली
x + 2y – 3z = a
2x + 6y – 11z = b
x – 2y + 7z = c
संगत हो।Answer (Detailed Solution Below)
Linear Algebra Question 2 Detailed Solution
संगति का अर्थ है, समीकरणों की प्रणाली के अनंत समाधान या अद्वितीय समाधान होना चाहिए
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 2&6&{ - 11}&:&b\\ 1&{ - 2}&7&:&c \end{array}} \right]\)
R2 → R2 - 2R1
R3 → R3 – R1
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 0&2&{ - 5}&:&{b - 2a}\\ 0&{ - 4}&{10}&:&{c - a} \end{array}} \right]\)
R3 → R3 + 2R2
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 0&2&{ - 5}&:&{b - 2a}\\ 0&0&0&:&{c - a + 2b - 4a} \end{array}} \right]\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 0&2&{ - 5}&:&{b - 2a}\\ 0&0&0&:&{ - 5a + 2b + c} \end{array}} \right]\)
संगति के लिए ρ [A/b] = ρ [A] < n
⇒ -5a + 2b + c = 0Linear Algebra Question 3:
k के किस मान के लिए समीकरण 2x – 3y + 2z = a, 5x + 4y – 2z = – 3 तथा x – 13y + kz = 9 का अद्वितीय हल नहीं होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Algebra Question 3 Detailed Solution
दिया गया है:
2x – 3y + 2z = a,
5x + 4y – 2z = – 3 और
x – 13y + kz = 9
प्रयुक्त संकल्पना:
यदि x, y, और z के गुणांक का सारणिक शून्य के बराबर है, तब समीकरण के दिए गए निकाय का अद्वितीय हल नहीं होगा।
हल:
D = \(\begin{vmatrix}2 & - 3 & 2\\5 & 4 & -2\\1 & -13 & k\end{vmatrix}\) = 0
⇒ 2 (4k - 26) - (- 3) (5k + 2) + 2 (- 65 - 4) = 0
⇒ 8k - 52 + 15k + 6 - 138 = 0
⇒ 23k - 184 = 0
⇒ k = 8
\(\therefore\) विकल्प 1 सही है।
Linear Algebra Question 4:
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
(A) यदि किसी सारणिक में एक पंक्ति के प्रत्येक अवयव दूसरी पंक्ति के संबंधित अवयव का एक अचर गुणक है, तो सारणिक का मान हमेशा शून्येतर होता है।
(B) यदि किसी सारणिक के मुख्य विकर्ण के एक तरफ का प्रत्येक अवयव शून्य है, तो सारणिक का मान विकर्ण के अवयवों का गुणनफल होता है।
(C) विषम कोटि के विषम सममित आव्यूह का सारणिक मान हमेशा शून्येतर होता है।
(D) यदि A कोटि तीन का एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो |adj A| = |A|2
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Algebra Question 4 Detailed Solution
A- यदि किसी सारणिक की एक पंक्ति दूसरी पंक्ति की अचर गुणज है, तो पंक्तियाँ रैखिकतः आश्रित होती हैं, जिसका अर्थ है कि सारणिक शून्य है।
A असत्य है।
B-यह विकर्ण या त्रिकोणीय आव्यूह का गुणधर्म है। यदि विकर्ण के एक तरफ (ऊपरी या निचला) सभी अवयव शून्य हैं, तो सारणिक विकर्ण अवयवों का गुणनफल है।
B सत्य है।
|A|=|AT|=|-A|=(-1)n|A|
n विषम है।
|A|=-|A|
2|A|=0
|A|=O
विकल्प C असत्य है।
यह एक ज्ञात परिणाम है। व्युत्क्रमणीय आव्यूह
अतः विकल्प B,D सही है।
Linear Algebra Question 5:
निम्नलिखित में से कौन से आव्यूह विकर्णनीय हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Algebra Question 5 Detailed Solution
संप्रत्यय:
(i) एक वर्ग आव्यूह A विकर्णनीय होता है यदि उसके n अलग-अलग आइगेन मान होते हैं।
(ii) एक शून्यघाती आव्यूह विकर्णनीय होता है यदि वह शून्य आव्यूह हो।
व्याख्या:
(1): \(\begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&7\\0&0&5\end{bmatrix}\) के आइगेन मान 1, 4, 7 हैं जो अलग-अलग हैं। इसलिए यह विकर्णनीय है।
(1) सत्य है।
(2): \(\begin{bmatrix}1&1&0\\0&2&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)
आइगेन मान 1, 2, 1 हैं
1 का AM 2 है और 2 का AM 1 है
[A - I] = \(\begin{bmatrix}0&1&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)
[A - I] का रैंक 1 है
[A - I] की शून्यता = 2
इसलिए, 1 का GM 2 है
इसलिए, प्रत्येक आइगेन मान के लिए AM = GM
अतः आव्यूह विकर्णनीय है।
(2) सत्य है।
(3): \(\begin{bmatrix}0&1&2\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}\) शून्यघाती आव्यूह है क्योंकि A3 = 0
इसलिए, आव्यूह विकर्णनीय नहीं है क्योंकि एक शून्यघाती आव्यूह विकर्णनीय होता है यदि वह शून्य आव्यूह हो।
(3) असत्य है।
(4): \(\begin{bmatrix}2&2&2\\2&2&2\\2&2&2\end{bmatrix}\)
यदि कोटि n के एक आव्यूह A की सभी प्रविष्टियाँ समान हैं, तो A विकर्णनीय है।
(4) सत्य है।
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माना \(\rm M=\begin{bmatrix}4&-3\\\ 1&0\end{bmatrix}\) है,
निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
𝑃: 𝑀8 + 𝑀12 विकर्णीय है।
𝑄: 𝑀7 + 𝑀9 विकर्णीय है।
निम्नलिखित कथनों में से कौन सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Algebra Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा -
(1) यदि a, M का आइगेन मान है, तब Mn का आइगेन मान an है।
(2) यदि आव्यूह के सभी आइगेन मान भिन्न हैं तब आव्यूह विकर्णीय होगा।
स्पष्टीकरण -
दिया गया है - \(\rm M=\begin{bmatrix}4&-3\\\ 1&0\end{bmatrix}\)
अब दिए गए आव्यूह के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण है -
⇒ | M - λ I | = 0
⇒ \(\rm det\begin{bmatrix}4-λ&-3\\\ 1&-λ\end{bmatrix}=0\)
⇒ -λ (4 - λ ) + 3 = 0 ⇒ λ2 - 4λ + 3 = 0
अब इस समीकरण को हल करने पर, हमें आव्यूह का आइगेन मान प्राप्त होता है-
⇒ λ2 - 3λ - λ + 3 = 0 ⇒ (λ -3)(λ -1) = 0 ⇒ λ = 1, 3
इसलिए, M का आइगेन मान 1 और 3 है।
अब दिए गए कथनों को हल करने पर -
(P) 𝑀8 + 𝑀12 विकर्णीय है।
अब 𝑀8 + 𝑀12 के आइगेन मान \((1)^8 + (1)^{12} = 2 \ \ और \ \ (3)^8 +(3)^{12} =82(3)^8\)
अतः 𝑀8 + 𝑀12 के दोनों आइगेन मान भिन्न है, इसलिए, 𝑀8 + 𝑀12 विकर्णीय है।
(𝑄) 𝑀7 + 𝑀9 विकर्णीय है।
अब 𝑀7 + 𝑀9 के आइगेन मान \((1)^7 + (1)^9 = 2 \ \ और \ \ (3)^7 +(3)^9 =10(3)^7\)
अतः 𝑀7 + 𝑀9 के दोनों आइगेन मान भिन्न है, इसलिए 𝑀7 + 𝑀9 विकर्णीय है।
अतः विकल्प (4) सत्य है।
A को वास्तविक प्रविष्टियों वाली 3 × 3 आव्यूह मानें। निम्न में से कौन-सा वक्तव्य असत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Algebra Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए
व्याख्या:
A एक 3 × 3 आव्यूह है जिसमें वास्तविक प्रविष्टियाँ हैं।
इसलिए A का अभिलक्षणिक बहुपद 3 घात का होगा।
(1): चूँकि हम जानते हैं कि, विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए, इसलिए A का एक वास्तविक आइगेन मान होना चाहिए।
(1) सत्य है
(2): जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूह का सारणिक आइगेन मान के गुणनफल के बराबर होता है। इसलिए यदि A का सारणिक 0 है, तो 0, A का एक आइगेन मान है।
(2) सत्य है
(3): A का सारणिक ऋणात्मक है और 3, A का एक आइगेन मान है।
यदि संभव हो तो मान लीजिए कि A के अन्य दो आइगेन मान वास्तविक नहीं हैं और वे α + iβ, α + iβ हैं।
इसलिए सारणिक = 3(α + iβ)(α - iβ) = 3(α2 + β2) > 0 सभी α, β के लिए जो एक विरोधाभास है।
इसलिए A के तीन वास्तविक आइगेन मान होने चाहिए।
(3) सत्य है और (4) असत्य कथन है।
मानें कि A एक 3 × 3 वास्तविक प्रविष्टियों वाला आव्यूह है जिसका अभिलक्षणिक बहुपद p(T) है जो T2 से भाज्य है। निम्न वक्तव्यों में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Algebra Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFस्पष्टीकरण:
अभिलक्षणिक बहुपद p(T), T2 से विभाज्य है।
p(x)/x2
तो p(x) = x 2 (x + a) जहाँ a शून्य भी हो सकता है।
विकल्प (1): मान लीजिए A \(\begin{bmatrix}0&2&3\\0&0&1\\0&0&a\end{bmatrix}\) यहां 0 और a अभिलक्षणिक मान हैं और 0 के लिए A का अभिलक्षणिक स्पेस है।
अतः विकल्प (1) गलत है।
यहाँ A 3 × 3 आव्यूह है और दो अभिलक्षणिक मान 0, 0 हैं। चूंकि सम्मिश्र अभिलक्षणिक मान हमेशा सम्मिश्र संयुग्मित होते हैं और वे जोड़ी में होते हैं। तो यहाँ तीसरा अभिलक्षणिक मान वास्तविक होना चाहिए।
विकल्प (2) सही है।
A = \(\begin{bmatrix}0&2&3\\0&0&1\\0&0&a\end{bmatrix}\) के लिए, A 3 ≠ 0
विकल्प (3) गलत है।
अभिलक्षणिक मान 0 का AM भी 2 है और अभिलक्षणिक मान 0 का GM 1 है
चूँकि AM ≠ GM इसलिए विकर्णीय नहीं है।
विकल्प (4) गलत है।
निम्न आव्यूह से सहचारी द्विघात रूप (quadratic form) Q(x, y, z) पर विचार करें
B = \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right]\)
मानें कि
S = \(\left\{\left[\begin{array}{l} \rm a \\\rm b \\\rm c\end{array}\right] \in \rm ℝ^3 \mid Q(a, b, c)=0\right\}\)
निम्न वक्तव्यों में से कौन-सा असत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Algebra Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
एक द्विघात रूप अपभ्रष्ट होता है यदि कम से कम एक आइगेन मान 0 है।
व्याख्या:
B = \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right]\) और S = \(\left\{\left[\begin{array}{l} \rm a \\\rm b \\\rm c\end{array}\right] \in \rm ℝ^3 \mid Q(a, b, c)=0\right\}\).
इसलिए द्विघात रूप Q(x, y, z) = x2 + y2 -2z2 + 2xy है
अब, Q(a, b, c) = 0
⇒ a2 + b2 -2c2 + 2ab = 0....(i)
(1): xy-तल पर, z = 0 इसलिए c = 0
इसलिए (i) का तात्पर्य है
a 2 + b2 + 2ab = 0 ⇒ (a + b)2 = 0 ⇒ a + b = 0
अर्थात, x + y = 0, जो एक रेखा है
इसलिए विकल्प (1) सत्य है
(2) xz-तल पर, y = 0 इसलिए b = 0
इसलिए (i) का तात्पर्य है
a2 - 2c2 = 0 ⇒ x2 - 2z2 = 0 जो दीर्घवृत्त का समीकरण नहीं है
इसलिए विकल्प (2) असत्य है
(3): (i) ⇒ a2 + b2 -2c2 + 2ab = 0
⇒ (a + b)2 = 2c2
⇒ a + b = ± √2c
इसलिए S दो समतलों का संघ है।
विकल्प (3) सत्य है
(4): B = \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right]\)
B के आइगेन मान -2, 2, 0 हैं
इसलिए Q एक अपभ्रष्ट द्विघात रूप है।
विकल्प (4) सत्य है।
नियतांकों a तथा b पर इस प्रकार विचार कीजिए कि (p, q) से (P, Q) पर निम्न प्रसामान्यीकृत निर्देशांक रूपांतरण विहित है
Q = pq(a+1), P = qb
a तथा b के मान क्या हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Algebra Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
(p, q) से (P, Q) तक सामान्यीकृत निर्देशांक परिवर्तन कैनोनिकल होता है यदि \(\frac{\partial (P, Q)}{\partial (p,q)}\) = 1
व्याख्या:
दिया गया है Q = pq(a+1), P = qb कैनोनिकल है यदि \(\frac{\partial (P, Q)}{\partial (p,q)}\) = 1
अब, \(\frac{\partial Q}{\partial p}\) = q(a+1), \(\frac{\partial Q}{\partial q}\) = (a+1)pqa, \(\frac{\partial P}{\partial p}\) = 0, \(\frac{\partial P}{\partial q}\) = bqb-1
\(\frac{\partial (P, Q)}{\partial (p,q)}\) = 1
⇒ \(\begin{vmatrix}\frac{\partial P}{\partial p}&\frac{\partial P}{\partial q}\\\frac{\partial Q}{\partial p}&\frac{\partial Q}{\partial q}\end{vmatrix}\) = 1
⇒ \(\begin{vmatrix}0&bq^{b-1}\\q^{a+1}&(a+1)pq^a\end{vmatrix}\) = 1
⇒ - bqa+b = 1
केवल विकल्प (4) उपरोक्त संबंध को संतुष्ट करता है।
इसलिए विकल्प (4) सही है।
मानें कि किसी निश्चित n ≥ 2 के लिए ℝn में x = (x1, …, xn) तथा y = (y1, …, yn) दो सदिशों को निरूपित करते हैं। निम्न में से कौन-सा ℝn पर आंतरिक गुणन (inner product) परिभाषित करता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Algebra Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
(a) मान लीजिए V एक सदिश समष्टि है। एक फलन β : V x V → ℝ, जिसे आमतौर पर β(x, y) =
(i)
व्याख्या:
x = (x1, …, xn) और y = (y1, …, yn) ∈ ℝn
n = 2 के लिए
(1) 〈x, y〉 = \(\rm\displaystyle\sum_{i, j=1}^2\) xiyj = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2
इसलिए, A = \(\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}\)
यहाँ a > 0, d > 0 लेकिन ad - bc = 1 - 1 = 0
इसलिए यह आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित नहीं करता है।
विकल्प (1) असत्य है
(4) 〈x, y〉 =\(\rm\displaystyle\sum_{j=1}^n\) xj yn−j+1= x1y2 + x2y1इसलिए, A = \(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)
यहाँ a = 0, d = 0 लेकिन ad - bc = 0 - 1 = -1 < 0
इसलिए यह आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित नहीं करता है।
विकल्प (4) असत्य है
(2)
〈x, y〉 = \(\rm\displaystyle\sum_{i, j=1}^n\left(x_i^2+y_j^2\right)\)
= \((x_1^2 + y_1^2)+(x_1^2+y_2^2) + (x_2^2+y_1^2) + (x_2^2+y_2^2) \)
= \(2x_1^2 + 2y_1^2+2x_2^2+2y_2^2\)
x = (1,1) और y = (1,1) पर विचार करें
तब <2x,y> = 2(2)2 + 2 (2)2 + 2 (1)2 + 2(1)2 = 20
लेकिन 2
इस प्रकार <2x,y> ≠ 2
विकल्प (2) असत्य है।
इसलिए विकल्प (3) सत्य है।
मानें कि ℝ3 पर T रैखिक संकारक (linear operator) है। मानें कि f(X) ∈ ℝ[X] इसका अभिलक्षणिक बहुपद है। निम्न वक्तव्यों पर विचार करें।
(a). माने कि T शून्येतर है तथा T का एक अभिलक्षणिक मान (eigen value) 0 है। यदि हम ℝ[X] में f(X) = X g(X) लिखें, तो रैखिक संकारक g(T) शून्य है।
(b). मानें कि T का एक अभिलक्षणिक मान 0 है, जिसके कम से कम दो रैखितः स्वतंत्र (linearly independent) अभिलक्षणिक सदिश हैं। यदि हम ℝ[X] में f(X) = Xg(X) लिखें तो रैखिक संकारक g(T) शून्य है।
निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Algebra Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
ℝ3 पर एक रैखिक संकारक T हो। तो T एक 3 × 3 आव्यूह है।
(a): T शून्येतर है और 0 T का एक आइगेन मान है। मान लीजिए अन्य दो आइगेन मान α, β हैं, तो f(x) = x(x - α)(x - β)
चूँकि f(X) = X g(X) इसलिए g(x) = (x - α)(x - β)
यदि α = 2, β = -2 तो g(x) = (x - 2)(x + 2) = x2 - 4
इसलिए g(T) = T2 - 4I
अब, T के आइगेन मान 0, 2, -2 हैं तो g(T) के आइगेन मान 4, 0, 0 हैं
इसलिए g(T) ≠ 0
(a) असत्य है।
(b): 0, T का एक आइगेन मान है जिसमें कम से कम दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेन वेक्टर हैं।
इसलिए 0 के लिए GM = 2
हम जानते हैं कि AM ≥ GM
इसलिए AM ≥ 2 ⇒ AM = 2 या AM = 3 आइगेन मान 0 के लिए
मामले के लिए AM = 2
मान लीजिए T = \(\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&λ\end{bmatrix}\) λ ≠ 0
इसलिए अभिलक्षणिक बहुपद f(x) = x2(x - λ)
इसलिए g(x) = x(x - λ) = x2 - λx
इसलिए g(T) = T2 - λT
अब, T का आइगेन मान 0, 0, λ है
T2 - λT का आइगेन मान 0 - 0λ, 0 - 0λ, λ2 - λ2 = 0, 0, 0 है
इसलिए g(T) = 0
यदि λ = 0 तो f(x) = x3 इसलिए g(x) = x2 इसलिए g(T) = 0
(b) सही है।
विकल्प (4) सही है।
निम्न में से कौन-सा वास्तविक द्विघाती रूप \(\mathbb{R}\)2 पर धनात्मक निश्चित है?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Algebra Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
(i) Q ∶ R 2 → R को धनात्मक निश्चित कहा जाता है यदि Q(x, y) > 0 ∀ (x, y) ≠ (0, 0)
(ii) एक सममित आव्यूह धनात्मक निश्चित है ⇔ इसके सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक हैं।
स्पष्टीकरण:
(1) Q(1, -1) = -1 \(\ngtr\) 0, इसलिए कोई धनात्मक निश्चितता नहीं है।
(3) Q(x, -x) = x 2 - 2x 2 + x 2 = 0 \(\ngtr\) 0, इसलिए कोई धनात्मक निश्चितता नहीं है।
(4) Q(x, -x) = x 2 - x 2 = 0 \(\ngtr\) 0, इसलिए कोई धनात्मक निश्चितता नहीं है।
इसलिए, विकल्प (1), (3), (4) गलत हैं और विकल्प (2) सत्य है।
Alternate Method
(1). Q(x, y) = xy के लिए मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है,
\(A=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 \end{array}\right]\) तो det (A) = -¼ < 0
इसलिए, यह सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक नहीं हो सकते हैं।
∵ det (A) = λ 1 λ 2 )
विकल्प (1) गलत है।
(2) \(A=\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 / 2 \\ -1 / 2 & 1 \end{array}\right]\) तब chA(x) = x 2 - 2x + \(\frac{3}{4}\)
इसलिए, A के अभिलक्षणिक मान, x 2 - 2x + \(\frac{3}{4}\) = 0 हैं।
\(\Rightarrow x =\frac{2 \pm \sqrt{4-4 \times 3 / 4}}{2}=\frac{2 \pm 1}{2}\)
\(=\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\)
⇒ A के सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक हैं।
⇒ द्विघात रूप धनात्मक निश्चित है.
विकल्प (2) सत्य है
(3) \(A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right]\) तो det (A) = 0
⇒ A का एक अभिलक्षणिक मान शून्य है और दूसरा 2 है ।
⇒ सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक नहीं हैं।
⇒ Q(x, y) धनात्मक निश्चित नहीं है।
विकल्प (3) गलत है।
(4) \(A=\left[\begin{array}{cc} 1 & +1 / 2 \\ +1 / 2 & 0 \end{array}\right] \) तो det (A) = -1 / 4
⇒सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक नहीं हो सकते हैं।
⇒ Q(x, y) धनात्मक निश्चित नहीं है।
विकल्प (4) गलत है।
माना A एक 10 x 10 वास्तविक आव्यूह है। मान लीजिए कि A का कोटि 7 है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन आवश्यक रूप से सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Algebra Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
आव्यूह का कोटि:
किसी आव्यूह का कोटि आव्यूह के प्रतिबिम्ब की विमा होती है, जो रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की संख्या को दर्शाता है। इस मामले में, आव्यूह A का कोटि 7 है, जिसका अर्थ है कि 7 रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियाँ और स्तंभ हैं, जबकि स्थान के 3 आयाम शून्य समष्टि में हैं।
शून्य समष्टि:
चूँकि आव्यूह A \(10 \times 10\) है और इसका कोटि 7 है, इसलिए A की शून्य समष्टि (कर्ण) की विमा 10 - 7 = 3 है। इसका अर्थ है कि ऐसे 3 रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश v मौजूद हैं जिनके लिए Av = 0।
निलपोटेंट आव्यूह पर विचार:
एक निलपोटेंट आव्यूह वह होता है जहाँ \( A^k = 0\) किसी धनात्मक पूर्णांक k के लिए। इस मामले में, स्पष्ट रूप से कुछ भी संकेत नहीं करता है कि A निलपोटेंट है, लेकिन सदिश समष्टि परिवर्तनों का विश्लेषण करते समय हमें A की घातों पर विचार करने की आवश्यकता है।
व्याख्या:
विकल्प 1:
यह सुझाव देता है कि आव्यूह A इस तरह से कार्य कर सकता है जहाँ v को A द्वारा एक शून्येतर मान पर मैप किया जाता है, लेकिन A को फिर से लागू करने पर शून्य हो जाता है। यह एक गैर-तुच्छ शून्य समष्टि वाले आव्यूह के मामले में संभव है।
यह कथन कुछ गुणों वाले आव्यूह के लिए सत्य हो सकता है, लेकिन यह हर मामले में आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।
प्रति उदाहरण:
निम्नलिखित \( 2 \times 2\) आव्यूह पर विचार करें, जिसे आसानी से बड़ी विमाओं में विस्तारित किया जा सकता है:
\(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
यह एक साधारण आव्यूह है जो सदिशों के लिए दी गई शर्त को पूरा नहीं करता है। अब, आइए देखें कि क्या हम एक सदिश v पा सकते हैं जो शर्तों \(Av \neq 0\) और \(A^2v = 0\) को पूरा करता है।
\(A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
इस प्रकार, \(A^2 = 0\), जिसका अर्थ है \( A^2v = 0\) सभी सदिशों v के लिए।
\(v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
तब \(Av = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
विकल्प 2:
चूँकि आव्यूह का कोटि 7 है, यह दर्शाता है कि A कुछ सदिशों को शून्येतर मानों पर मैप करता है। यदि v, A की शून्य समष्टि में नहीं है, तो v पर A को दो बार लागू करने से शून्य परिणाम नहीं हो सकता है।
यह कथन आवश्यक रूप से सत्य है, क्योंकि \(\mathbb{R}^{10}\) में ऐसे सदिश हैं (जो शून्य समष्टि में नहीं हैं) जिनके लिए \(A^2v \neq 0 \)।
विकल्प 3:
जबकि आव्यूह का कोटि 7 है, यह गारंटी नहीं देता है कि आव्यूह में शून्येतर आइगेनमान हैं।
गैर-तुच्छ शून्य समष्टि वाले आव्यूह में अभी भी शून्य आइगेनमान हो सकते हैं। यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।
विकल्प 4: " \(A^7 = 0\)."
इसका अर्थ होगा कि A निलपोटेंट है और इसे 7 बार लागू करने के बाद शून्य हो जाता है।
समस्या में कोई जानकारी नहीं है जो यह सुझाव देती है कि A निलपोटेंट है। यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
सही उत्तर विकल्प 2) है।
मानें कि A एक n × n आव्यूह है जिसके सभी शून्येतर अभिलक्षणिक मानों के समुच्चय में r अवयव हैं। तब निम्न में से कौन-सा सत्य है?