Locus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Locus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

\(\mathrm{h}=\frac{3 β+α}{3}\)

\(\mathrm{k}=\frac{-4+α+2}{3}\)

α = 3k + 2

2β = 3h - a = 3h - 3k - 2

इसलिए, AB = 8

\((α-β)^{2}+(α+4)^{2}=64\)

⇒ \(\left(3 \mathrm{k}+2-\left(\frac{3 \mathrm{~h}-3 \mathrm{k}-2}{2}\right)\right)^{2}+(3 \mathrm{k}+2+4)^{2}=64\)

⇒ \(\frac{(9 \mathrm{k}-3 \mathrm{~h}+6)^{2}}{4}+(3 \mathrm{k}+6)^{2}=64\)

⇒ 9[(3k - h + 2)² + 4(k + 2)²] = 64 x 4

⇒ 9(x² + 13y² - 6xy - 4x + 28y) = 76

α - β - γ = 13 + 6 + 4 = 23

अतः विकल्प 2 सही है। 

दिया गया है:

रेखाएँ: \(x - 2y + 3 = 0\) और \(2x - y - 1 = 0\)

चर रेखा उनके प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरती है।

X-अक्ष को A और Y-अक्ष को B पर प्रतिच्छेद करती है।

बिंदु P, AB को अनुपात -2:3 में विभाजित करता है।

गणना

1) \(x - 2y + 3 = 0\) और \(2x - y - 1 = 0\) का प्रतिच्छेदन:

पहले समीकरण को 2 से गुणा करें: \(2x - 4y + 6 = 0\)

दूसरे समीकरण को घटाएँ: \(3y - 7 = 0\) ⇒ \(y = \frac{7}{3}\)

\(x - 2y + 3 = 0\) में प्रतिस्थापित करें:

\(x - 2(\frac{7}{3}) + 3 = 0\) ⇒ \(x - \frac{14}{3} + \frac{9}{3} = 0\) ⇒ \(x = \frac{5}{3}\)

प्रतिच्छेद बिंदु: \((\frac{5}{3}, \frac{7}{3})\)

2) चर रेखा का समीकरण:

\(y - \frac{7}{3} = m(x - \frac{5}{3})\)

\(3y - 7 = m(3x - 5)\)

3) A और B के निर्देशांक:

A (x-अंतःखंड, y=0): \(-7 = m(3x - 5)\) ⇒ \(x = \frac{5m - 7}{3m}\) ⇒ \(A(\frac{5m - 7}{3m}, 0)\)

B (y-अंतःखंड, x=0): \(3y - 7 = -5m\) ⇒ \(y = \frac{7 - 5m}{3}\) ⇒ \(B(0, \frac{7 - 5m}{3})\)

4) P (h, k) के निर्देशांक:

विभाजन सूत्र: \(h = \frac{3(\frac{5m - 7}{3m}) - 2(0)}{3 - 2} = \frac{5m - 7}{m}\)

\(hm = 5m - 7\) ⇒ \(m(h - 5) = -7\) ⇒ \(m = \frac{-7}{h - 5}\)

\(k = \frac{3(0) - 2(\frac{7 - 5m}{3})}{3 - 2} = \frac{-2(7 - 5m)}{3}\)

\(3k = -14 + 10m\) ⇒ \(m = \frac{3k + 14}{10}\)

5) m के व्यंजकों को समान करें:

\(\frac{-7}{h - 5} = \frac{3k + 14}{10}\) ⇒ \(-70 = (h - 5)(3k + 14)\)

\(-70 = 3hk + 14h - 15k - 70\) ⇒ \(3hk + 14h - 15k = 0\)

6) P (h, k) का बिंदुपथ:

\(3xy + 14x - 15y = 0\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

संप्रत्यय:

रेखाओं का प्रतिच्छेदन और मध्यबिंदु:

• इस समस्या में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन और प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को समद्विभाजित करने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करना शामिल है।
• हमें दो रेखाएँ दी गई हैं: 3x - 2y - 1 = 0 और x + 2y + 1 = 0, और हमें रेखा L का समीकरण ज्ञात करने की आवश्यकता है, जो इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बने खंड AB को समद्विभाजित करती है।
• हमें बिंदु (1, 2) भी दिया गया है, जो रेखाखंड AB का मध्यबिंदु है, और हमें a + 2b + 1 का मान ज्ञात करने के लिए कहा गया है, जहाँ रेखा का समीकरण (a/b)x + (b/a)y = 1 के रूप में दिया गया है।

गणना:

दिया गया है,

दो रेखाएँ हैं:

3x - 2y - 1 = 0 (समीकरण 1)

x + 2y + 1 = 0 (समीकरण 2)

चरण 1: प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम समीकरणों को एक साथ हल करते हैं।

समीकरण 2 से, y के लिए हल करना:

y = -(x + 1)/2

इसे समीकरण 1 में प्रतिस्थापित करें:

3x - 2(-(x + 1)/2) - 1 = 0

3x + (x + 1) - 1 = 0

4x = 0

x = 0

y ज्ञात करने के लिए समीकरण 2 में x = 0 प्रतिस्थापित करें:

0 + 2y + 1 = 0

2y = -1

y = -1/2

इस प्रकार, प्रतिच्छेदन बिंदु A (0, -1/2) है।

चरण 2: मध्यबिंदु ज्ञात करना

हमें दिया गया है कि बिंदु (1, 2) रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है। मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करके, हम जानते हैं:

AB का मध्यबिंदु = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

मान लीजिए बिंदु B के निर्देशांक (x2, y2) हैं। फिर:

(1, 2) = ((0 + x2)/2, (-1/2 + y2)/2)

x और y निर्देशांकों की तुलना करना:

1 = (0 + x2)/2 => x2 = 2

2 = (-1/2 + y2)/2 => 4 = -1/2 + y2 => y2 = 9/2

इस प्रकार, बिंदु B (2, 9/2) है।

चरण 3: रेखा L का समीकरण ज्ञात करना

रेखा L बिंदु A (0, -1/2) और B (2, 9/2) से होकर गुजरती है। रेखा L की ढलान है:

ढलान = (9/2 - (-1/2)) / (2 - 0) = 10/4 = 5/2

रेखा L का समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

y - (-1/2) = (5/2)(x - 0)

y + 1/2 = (5/2)x

भिन्न को समाप्त करने के लिए दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें:

2y + 1 = 5x

इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है:

5x - 2y = 1

इस प्रकार, रेखा L का समीकरण 5x - 2y = 1 है।

चरण 4: a + 2b + 1 ज्ञात करना

हमें दिया गया है कि रेखा L का समीकरण (a/b)x + (b/a)y = 1 के रूप का है।

इसे समीकरण 5x - 2y = 1 से तुलना करने पर, हम लिख सकते हैं:

a/b = 5 और b/a = -2।

इससे, हम पाते हैं:

a = 5 और b = -2।

अब, हम a + 2b + 1 की गणना करते हैं:

a + 2b + 1 = 5 + 2(-2) + 1 = 5 - 4 + 1 = 2।

इसलिए, a + 2b + 1 का मान 2 है।

संकल्पना:

1) बिंदुओं (x1, y1)और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा को m:n के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं

\(\rm\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\).

2) cos² θ + sin² θ = 1

3) एक वृत्त का सामान्य समीकरण निम्न है \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\),

जहां (a, b) केंद्र के निर्देशांक हैं और r त्रिज्या है।

गणना:

दिया गया है A = (0, 4) और  B = (2 cos θ, 2 sin θ) कुछ 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\) के लिए

P, AB को आंतरिक रूप से 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

माना P के निर्देशांक (h, k) है।

अनुभाग सूत्र द्वारा ( (h, k) = \(\rm\left(\frac{2\times2\cosθ+3\times0}{2+3},\,\frac{2\times2\sinθ+3\times4}{2+3}\right)\)

⇒ (h, k) = \(\rm\left(\frac{4\cosθ}{5},\frac{4\sinθ+12}{5}\right)\)

⇒ h = \(\rm\frac{4\cosθ}{5}\) , k = \(\frac{4\sinθ+12}{5}\)

⇒ 5h = 4 cos θ  ....(1)

और 5k - 12 = 4sin θ    ....(2)

समी (1) और समी(2) का वर्ग करने और जोड़ने पर 

⇒ \(\rm(5h)^2+(5k-12)^2=4^2(\cos^2 θ +\sin^2 θ)\)

हम जानते हैं कि cos² θ + sin² θ  = 1

⇒ \(\rm(5h)^2+(5k-12)^2=16\)

⇒ h² + (k - \(\frac{12}{5}\))² = \(\frac{16}{25}\)

समीकरण (x - a)2 + (y - b)2 = r2 के रूप में है।

अतः बिन्दु P का बिन्दुपथ एक वृत्त है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

अवधारणा:

• K संख्याओं का अंकगणितीय माध्य k द्वारा विभाजित संख्याओं का योग है।
• k संख्याओं का ज्यामितीय माध्य, संख्याओं के गुणनफल का kवां मूल।
• पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग है: \(\frac{n(n+1)}{2}\)

गणना:

दिया गया है, Ak = कार्तीय तल में (ka, ak), k = 1, 2, ..... n

यहाँ, α x-निर्देशांकों के अंकगणितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करता है।

⇒ α = \(\rm\frac{a+2a+3a+...na}{n}\)

⇒ α = \(\rm\frac{n(n+1)a}{2n}\)

⇒ α = \(\rm\frac{(n+1)a}{2}\)

⇒ a = \(\rm \frac{2\alpha}{n+1}\)         ...(1)

अब β 

⇒ β = \(\rm \left(a\cdot a^2\cdot a^3\cdot ....a^n\right)^{\frac{1}{n}}\)

⇒ β = \(\rm a^{\frac{n(n+1)}{2n}} \)

⇒ β = \(\rm a^{\frac{n+1}{2}}\)

a का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

β = \(\rm \left(\frac{2\alpha}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{2}}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

β² = \(\rm \left(\frac{2\alpha}{n+1}\right)^{n+1}\)

बिंदु का अभीष्ट बिंदुपथ y2 = \(\rm\left( {\frac{{2x}}{n+1}} \right)^{n+1}\) है। 

संकल्पना:

द्वि-आयामी तल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी \(\displaystyle d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) द्वारा दी जाती है

गणना​:

दिया गया:

रेखा का समीकरण x + y = p है।

मान लीजिए कि रेखा निर्देशांक अक्षों को A और B पर काटती है और यदि C(h, k) AB का मध्यबिंदु है, तो

अब निर्देशांक अक्षों पर रेखा द्वारा बनाया गया अंत: खंड p है।

बिंदु C(h, k) बिंदु A(p, 0) और B(0, p) से समान दूरी पर है

चूँकि C मध्यबिंदु है, AC = BC

⇒ \(\displaystyle \sqrt{(h-p)^2+(k-0)^2}=\sqrt{(h-0)^2+(k-p)^2}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

⇒ (h - p)2 + k2 = h2 + (k - p)2

⇒ h2 + p2 - 2hp + k2 = h2 + k2 + p2 - 2pk

⇒ - 2hp = - 2pk

⇒ h = k

अब, मध्य-बिंदु का बिंदुपथ प्राप्त करने के लिए (h, k) को (x, y) से बदलें ,

⇒ x = y

∴ x - y = 0 सही है।

व्याख्या:

यदि एक तल में गति करने वाले बिन्दुओं का बिंदु पथ इस प्रकार है कि बिंदु A से इनकी दूरी नियत हो, तो अनुरेखित वक्र एक वृत्त कहलाता है।

• स्थिर बिंदु A वृत्त का केंद्र बन जाएगा।
• स्थिर दूरी वृत्त की त्रिज्या बन जाएगी।

विभिन्न अभियांत्रिकी वृत्त दिए गए हैं:

संकल्पना:

द्वि-आयामी तल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी \(\displaystyle d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) द्वारा दी जाती है

गणना​:

दिया गया:

रेखा का समीकरण x + y = p है।

मान लीजिए कि रेखा निर्देशांक अक्षों को A और B पर काटती है और यदि C(h, k) AB का मध्यबिंदु है, तो

अब निर्देशांक अक्षों पर रेखा द्वारा बनाया गया अंत: खंड p है।

बिंदु C(h, k) बिंदु A(p, 0) और B(0, p) से समान दूरी पर है

चूँकि C मध्यबिंदु है, AC = BC

⇒ \(\displaystyle \sqrt{(h-p)^2+(k-0)^2}=\sqrt{(h-0)^2+(k-p)^2}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

⇒ (h - p)2 + k2 = h2 + (k - p)2

⇒ h2 + p2 - 2hp + k2 = h2 + k2 + p2 - 2pk

⇒ - 2hp = - 2pk

⇒ h = k

अब, मध्य-बिंदु का बिंदुपथ प्राप्त करने के लिए (h, k) को (x, y) से बदलें ,

⇒ x = y

∴ x - y = 0 सही है।

संकल्पना:

1) बिंदुओं (x1, y1)और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा को m:n के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं

\(\rm\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\).

2) cos² θ + sin² θ = 1

3) एक वृत्त का सामान्य समीकरण निम्न है \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\),

जहां (a, b) केंद्र के निर्देशांक हैं और r त्रिज्या है।

गणना:

दिया गया है A = (0, 4) और  B = (2 cos θ, 2 sin θ) कुछ 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\) के लिए

P, AB को आंतरिक रूप से 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

माना P के निर्देशांक (h, k) है।

अनुभाग सूत्र द्वारा ( (h, k) = \(\rm\left(\frac{2\times2\cosθ+3\times0}{2+3},\,\frac{2\times2\sinθ+3\times4}{2+3}\right)\)

⇒ (h, k) = \(\rm\left(\frac{4\cosθ}{5},\frac{4\sinθ+12}{5}\right)\)

⇒ h = \(\rm\frac{4\cosθ}{5}\) , k = \(\frac{4\sinθ+12}{5}\)

⇒ 5h = 4 cos θ  ....(1)

और 5k - 12 = 4sin θ    ....(2)

समी (1) और समी(2) का वर्ग करने और जोड़ने पर 

⇒ \(\rm(5h)^2+(5k-12)^2=4^2(\cos^2 θ +\sin^2 θ)\)

हम जानते हैं कि cos² θ + sin² θ  = 1

⇒ \(\rm(5h)^2+(5k-12)^2=16\)

⇒ h² + (k - \(\frac{12}{5}\))² = \(\frac{16}{25}\)

समीकरण (x - a)2 + (y - b)2 = r2 के रूप में है।

अतः बिन्दु P का बिन्दुपथ एक वृत्त है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

अवधारणा:

• K संख्याओं का अंकगणितीय माध्य k द्वारा विभाजित संख्याओं का योग है।
• k संख्याओं का ज्यामितीय माध्य, संख्याओं के गुणनफल का kवां मूल।
• पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग है: \(\frac{n(n+1)}{2}\)

गणना:

दिया गया है, Ak = कार्तीय तल में (ka, ak), k = 1, 2, ..... n

यहाँ, α x-निर्देशांकों के अंकगणितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करता है।

⇒ α = \(\rm\frac{a+2a+3a+...na}{n}\)

⇒ α = \(\rm\frac{n(n+1)a}{2n}\)

⇒ α = \(\rm\frac{(n+1)a}{2}\)

⇒ a = \(\rm \frac{2\alpha}{n+1}\)         ...(1)

अब β 

⇒ β = \(\rm \left(a\cdot a^2\cdot a^3\cdot ....a^n\right)^{\frac{1}{n}}\)

⇒ β = \(\rm a^{\frac{n(n+1)}{2n}} \)

⇒ β = \(\rm a^{\frac{n+1}{2}}\)

a का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

β = \(\rm \left(\frac{2\alpha}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{2}}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

β² = \(\rm \left(\frac{2\alpha}{n+1}\right)^{n+1}\)

बिंदु का अभीष्ट बिंदुपथ y2 = \(\rm\left( {\frac{{2x}}{n+1}} \right)^{n+1}\) है। 

संकल्पना:

बिंदुओं का बिंदुपथ, बिंदुओं का समूह है, जो दी गई शर्तों को पूरा करता है।

(x1, y1) और (x2, y2) के बीच की दूरी का सूत्र = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 

गणना:

मान लीजिए (x, y) उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो बिंदु (m + n, n - m) और बिंदु (m - n, n + m) से समान दूरी पर हैं।

दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,

⇒ √[x - (m + n)]2 + [y - (n - m)]2 = √[x - (m - n)]2 + [y - (n + m)]2

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

⇒ [x - (m + n)]2 + [y - (n - m)]2 = [x - (m - n)]2 + [y - (n + m)]2

⇒ x2 - 2x(m + n) + (m + n)2 + y2 - 2y(n - m) + (n - m)2 = x2 - 2x(m - n) + (m - n)2 + y2 - 2y(n + m) + (n + m)2 

व्याख्या:

यदि एक तल में गति करने वाले बिन्दुओं का बिंदु पथ इस प्रकार है कि बिंदु A से इनकी दूरी नियत हो, तो अनुरेखित वक्र एक वृत्त कहलाता है।

• स्थिर बिंदु A वृत्त का केंद्र बन जाएगा।
• स्थिर दूरी वृत्त की त्रिज्या बन जाएगी।

विभिन्न अभियांत्रिकी वृत्त दिए गए हैं:

संकल्पना:

दो बिंदुओं (a, b) और (c, d) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है:

दूरी \(=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\)

व्याख्या:

मान लीजिए, कि बिंदु P(h, k) दिए गए बिंदु A(2, 3) और B(4, 5) से समान दूरी पर स्थित है।

⇒ PA = PB

\(⇒ \sqrt{(h-2)^2+(k-3)^2}=\sqrt{(h-4)^2+(k-5)^2}\)

⇒ (h - 2)² + (k - 3)² = (h - 4)² + (k - 5)²

इसलिए, (a - b)² = a² + 2ab + b²

⇒ [h² - (2 × 2 × h) + 2² ] + [k2 - (2 × 3 × k) + 32 ] =

[h2 - (2 × 4 × ) + 42] + [k2 - (2 × 5 × h) + 5²]

⇒ (h2 - 4h + 4) + (k2 - 6k + 9) = (h2 - 8h + 16) + (k2 - 10k + 25)

⇒  - 4h + 4  - 6k + 9  =  - 8h + 16 - 10k + 25 

⇒ - 4h + 8h - 6k + 10k = 16 + 25 - 4 - 9

⇒ 4h + 4k = 28

⇒ h + k = 7

h = x और k = y को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं,

x + y = 7

∴ अभीष्ट बिंदुपथ x + y = 7 होगा।

गणना

\(\mathrm{h}=\frac{3 β+α}{3}\)

\(\mathrm{k}=\frac{-4+α+2}{3}\)

α = 3k + 2

2β = 3h - a = 3h - 3k - 2

इसलिए, AB = 8

\((α-β)^{2}+(α+4)^{2}=64\)

⇒ \(\left(3 \mathrm{k}+2-\left(\frac{3 \mathrm{~h}-3 \mathrm{k}-2}{2}\right)\right)^{2}+(3 \mathrm{k}+2+4)^{2}=64\)

⇒ \(\frac{(9 \mathrm{k}-3 \mathrm{~h}+6)^{2}}{4}+(3 \mathrm{k}+6)^{2}=64\)

⇒ 9[(3k - h + 2)² + 4(k + 2)²] = 64 x 4

⇒ 9(x² + 13y² - 6xy - 4x + 28y) = 76

α - β - γ = 13 + 6 + 4 = 23

अतः विकल्प 2 सही है। 

दिया गया है:

रेखाएँ: \(x - 2y + 3 = 0\) और \(2x - y - 1 = 0\)

चर रेखा उनके प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरती है।

X-अक्ष को A और Y-अक्ष को B पर प्रतिच्छेद करती है।

बिंदु P, AB को अनुपात -2:3 में विभाजित करता है।

गणना

1) \(x - 2y + 3 = 0\) और \(2x - y - 1 = 0\) का प्रतिच्छेदन:

पहले समीकरण को 2 से गुणा करें: \(2x - 4y + 6 = 0\)

दूसरे समीकरण को घटाएँ: \(3y - 7 = 0\) ⇒ \(y = \frac{7}{3}\)

\(x - 2y + 3 = 0\) में प्रतिस्थापित करें:

\(x - 2(\frac{7}{3}) + 3 = 0\) ⇒ \(x - \frac{14}{3} + \frac{9}{3} = 0\) ⇒ \(x = \frac{5}{3}\)

प्रतिच्छेद बिंदु: \((\frac{5}{3}, \frac{7}{3})\)

2) चर रेखा का समीकरण:

\(y - \frac{7}{3} = m(x - \frac{5}{3})\)

\(3y - 7 = m(3x - 5)\)

3) A और B के निर्देशांक:

A (x-अंतःखंड, y=0): \(-7 = m(3x - 5)\) ⇒ \(x = \frac{5m - 7}{3m}\) ⇒ \(A(\frac{5m - 7}{3m}, 0)\)

B (y-अंतःखंड, x=0): \(3y - 7 = -5m\) ⇒ \(y = \frac{7 - 5m}{3}\) ⇒ \(B(0, \frac{7 - 5m}{3})\)

4) P (h, k) के निर्देशांक:

विभाजन सूत्र: \(h = \frac{3(\frac{5m - 7}{3m}) - 2(0)}{3 - 2} = \frac{5m - 7}{m}\)

\(hm = 5m - 7\) ⇒ \(m(h - 5) = -7\) ⇒ \(m = \frac{-7}{h - 5}\)

\(k = \frac{3(0) - 2(\frac{7 - 5m}{3})}{3 - 2} = \frac{-2(7 - 5m)}{3}\)

\(3k = -14 + 10m\) ⇒ \(m = \frac{3k + 14}{10}\)

5) m के व्यंजकों को समान करें:

\(\frac{-7}{h - 5} = \frac{3k + 14}{10}\) ⇒ \(-70 = (h - 5)(3k + 14)\)

\(-70 = 3hk + 14h - 15k - 70\) ⇒ \(3hk + 14h - 15k = 0\)

6) P (h, k) का बिंदुपथ:

\(3xy + 14x - 15y = 0\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है।