Distance Formula MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Distance Formula - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिए गए बिंदु A(3, −1) और B(1, 1) हैं। मान लीजिए कि AB का मध्य बिंदु P है, और AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित एक बिंदु Q है जो P से √2 इकाई की दूरी पर है।

AB का मध्य बिंदु P की गणना करें:

\(P = \Bigl(\tfrac{3 + 1}{2},\,\tfrac{-1 + 1}{2}\Bigr) = (2,\,0) \)

AB की ढाल की गणना करें:

\(m_{AB} = \frac{\,1 - (-1)\,}{\,1 - 3\,} = \frac{2}{-2} = -1\)

इसलिए, रेखा AB का समीकरण है:

\(y - 1 = -1\,(x - 1)\;\Longrightarrow\;x + y - 2 = 0\)

AB का लंब समद्विभाजक P(2, 0) से गुजरना चाहिए और इसकी ढलान −1 (अर्थात ढलान +1) के लंबवत होनी चाहिए:

\(y - 0 = 1\,(x - 2)\;\Longrightarrow\;y = x - 2\)

इस समद्विभाजक पर कोई भी बिंदु Q, y = x - 2 को संतुष्ट करता है। Q = (x, x − 2) लिखें।

हमें दूरी PQ = √2 की आवश्यकता है। चूँकि P(2, 0),

\(\text{Distance}^2 = (x - 2)^2 + \bigl((\,x - 2\,) - 0\bigr)^2 = 2\)

⇒ \((x - 2)^2 + (x - 2)^2 = 2\;\Longrightarrow\;2\,(x - 2)^2 = 2\;\Longrightarrow\;(x - 2)^2 = 1\)

इस प्रकार,

⇒ \(x - 2 = \pm 1\;\Longrightarrow\;x = 3\text{ or }x = 1\)

यदि x = 3 है, तो y = 3 - 2 = 1 है। इसलिए एक हल Q(3, 1) है।

यदि x = 1 है, तो y = 1 - 2 = -1 है। इसलिए दूसरा हल Q(1, −1) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिए गए बिंदु A(0,0), B(p,1), और C(1,q), एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। हमें बताया गया है (0 < p,q < 1).

भुजाओं की वर्ग लंबाई की गणना करें:

\(AB^{2} = (p - 0)^{2} + (1 - 0)^{2} = p^{2} + 1\)

\(AC^{2} = (1 - 0)^{2} + (q - 0)^{2} = 1 + q^{2}\)

\(BC^{2} = (1 - p)^{2} + (\,q - 1\,)^{2} = (1 - p)^{2} + (q - 1)^{2} = 2\,(1 - p)^{2}\)

क्योंकि त्रिभुज समबाहु है, इसलिए तीनों वर्ग लंबाई समान हैं:

⇒ \(AB^{2} = AC^{2} \)

⇒ \(p^{2} + 1 \;=\; 1 + q^{2} \;\Longrightarrow\; p^{2} = q^{2} \;\Longrightarrow\; p = q \)

p और q दोनों (0,1) में धनात्मक हैं

मान लीजिए, p = q = t तब

⇒ \(AB^{2} = t^{2} + 1 \)

⇒ \(BC^{2} = 2\,(1 - t)^{2} \)

AB² और BC² को बराबर रखने पर:

⇒ \(t^{2} + 1 \;=\; 2\,(1 - t)^{2} \;=\; 2\bigl(1 - 2t + t^{2}\bigr) \;=\; 2 - 4t + 2t^{2}. \)

सरल करने पर:

⇒ \(t^{2} + 1 = 2 - 4t + 2t^{2}\;\Longrightarrow\;0 = 2 - 4t + 2t^{2} - (t^{2} + 1) = t^{2} - 4t + 1. \)

इसलिए t संतुष्ट करता है:

⇒ \(t^{2} - 4t + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{4 \pm √{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm 2√{3}}{2} = 2 \pm √{3}. \)

चूँकि 0 < t < 1, हम t = 2 - √3 लेते हैं (ध्यान दें कि 2 + √3> 1) जो कि अनुमत नहीं है। इसलिए,

⇒ \(p = q = 2 - √{3}.\)

इसलिए:

\(p + q \;=\; (2 - √{3}) + (2 - √{3}) \;=\; 4 - 2√{3}.\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है: L₁ : \( \frac{x-6}{1}=\frac{y-4}{0}=\frac{z-8}{3}\)

L₂ : \( \frac{x-5}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-5}{6} \)

माना रेखा L, A(7, -2, 11) से गुजरती है और L₂ के समानांतर है।

⇒ L : \( \frac{x-7}{2}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-11}{6} \)

B रेखा L पर स्थित है।

\(\mathrm{B}=(2 λ+7,-3 λ-2,6 λ+11)\)

बिंदु B, \(\frac{x-6}{1}=\frac{y-4}{0}=\frac{z-8}{3}\) पर स्थित है।

⇒ \(\frac{2 λ+7-6}{1}=\frac{-3 λ-2-4}{0}=\frac{6 λ+11-8}{3}\)

⇒ -3λ - 6 = 0

⇒ λ = -2

B ⇒ (3, 4, -1)

\(\mathrm{AB} =\sqrt{(7-3)^2+(4+2)^2+(11+1)^2}\)

\(⇒\sqrt{16+36+144}\)

\(⇒\sqrt{196}=14 \)

अतः विकल्प 2 सही है।

संप्रत्यय:

विषम रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी:

• दो विषम रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है:
  • d = |(b - a) × v| / |v|
• यहाँ, d न्यूनतम दूरी है, a और b संबंधित रेखाओं पर बिंदु हैं, और v दो दिशा सदिशों के सदिश गुणनफल द्वारा निर्मित रेखा का दिशा सदिश है।
• सूत्र दो रेखाओं के दिशा सदिशों के सदिश गुणनफल का उपयोग करके उनके बीच लंबवत दूरी निर्धारित करता है।
• यदि दो रेखाओं के दिशा सदिश v₁ = (a₁, b₁, c₁) और v₂ = (a₂, b₂, c₂) हैं, तो सदिश गुणनफल v₁ × v₂ = (b₁c₂ - b₂c₁, a₂c₁ - a₁c₂, a₁b₂ - a₂b₁) है।
• फिर, उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके न्यूनतम दूरी की गणना की जाती है।

गणना:

दिया गया है,

पहली रेखा दी गई है:

x - 3 / -1 = y - 5 / 1 = z / 1

इसलिए, पहली रेखा का दिशा सदिश v₁ = (-1, 1, 1) है, और रेखा पर एक बिंदु a = (3, 5, 0) है।

दूसरी रेखा दी गई है:

1 - x / 1 = 2y - 10 / 2 = z + 1 / 1

इसलिए, दूसरी रेखा का दिशा सदिश v₂ = (1, 2, 1) है, और रेखा पर एक बिंदु b = (1, 5, -1) है।

अब, हम सदिश b - a = (1 - 3, 5 - 5, -1 - 0) = (-2, 0, -1) की गणना करते हैं।

v₁ × v₂ का सदिश गुणनफल है:

v₁ × v₂ = (1×1 - 2×1, 1×(-1) - (-1)×1, (-1)×2 - 1×1)

v₁ × v₂ = (-1, 0, -3)

सदिश गुणनफल का परिमाण है:

|v₁ × v₂| = √((-1)² + 0² + (-3)²) = √(1 + 9) = √10

दिशा सदिश v₁ का परिमाण है:

|v₁| = √((-1)² + 1² + 1²) = √3

रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी है:

d = |(-2, 0, -1) × (-1, 0, -3)| / √3 = √10 / √3 = √(10/3)

इसलिए, रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी √(14/3) है।

सही उत्तर विकल्प (4) √(14/3) है।

संकल्पना:

समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी:

• रेखा y = mx + c₁ और y = mx + c₂  के बीच की दूरी \(\frac{{\left| {{{\rm{c}}_1} - {{\rm{c}}_2}} \right|}}{{\sqrt {1{\rm{\;}} + {\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}} }}\) है। 
• रेखा ax + by + c₁ = 0 और ax + by + c₂ = 0 के बीच की दूरी \(\frac{{\left| {{{\rm{c}}_1} - {{\rm{c}}_2}} \right|}}{{\sqrt {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2}} }}\)है। 

गणना:

दी गयी रेखाएं 6x + 8y + 15 = 0 और 3x + 4y + 9 = 0 है। 

⇒ 6x + 8y + 15 = 0

उपरोक्त समीकरण से 2 उभयनिष्ठ लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 3x + 4y + 15/2 = 0       ---(1)

और 3x + 4y + 9 = 0       ---(2)

समीकरण 1 और 2 एक-दूसरे के समानांतर हैं। 

∴ रेखाओं के बीच की दूरी = \(\frac{{\left| {\frac{{15}}{2}{\rm{\;}} - {\rm{\;}}9} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}}{5} = \frac{3}{{10}}\)

Additional Information 

समानांतर रेखाओं में एक ही ढलान होता है और वे कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करेंगे।

दो रेखाएं y = m1x + c1

और y = m2x + c2

समानांतर कहा जाता है यदि:

m1 = m2

उदाहरण: 

रेखा 1: 3x + 4y = 1

रेखा 2: 3x + 4y = 5

अनुप्रयोग:

हमारे पास है,

रेखा 1: 6x + 8y + 15 = 0

और, रेखा 2: 3x + 4y + 9 = 0

रेखा 2 निम्न रूप में भी लिखा जा सकता है,

6x + 8y + 18 = 0

चूँकि, दोनों रेखाएँ समानांतर हैं, इसलिए इसका ग्राफ निम्न समान होगा

हमारे पास है,

c2 - c1 = 18 - 15 = 3

a² + b² = 62 + 82 = 100

सीधी रेखाओं के बीच दूरी के सूत्र का उपयोग करना,

D = \(\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3|}{\sqrt{100}}=\frac{3}{10}\) इकाई

संकल्पना:

दो लंबवत रेखाओं का अदिश गुणनफल शून्य होता है।

दो बिंदुओं (x1, y1, z1) और (x2, y2, z2) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है, \(\rm \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)

गणना:

मान लीजिए M बिंदु P(2, 3, 4) से खींचे गए लंब का पाद है।

माना, \(\rm \dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-0}{0}=\dfrac{z-0}{0} =k\)

x = k, y  = 0, z = 0

इसलिए M = (k, 0, 0)

अब PM के दिक् अनुपात = (2 - k, 3 - 0, 4 - 0) = (2- k, 3, 4) और दी गई रेखा के दिक् अनुपात 1, 0, 0 हैं। 

PM दी गई रेखा के लंबवत है इसलिए,

(2 - k) (1) + 3(0) + 4 (0) = 0

∴ k = 2

M = (2, 0, 0)

लंबवत दूरी PM =

 \(\rm \sqrt {(2-2)^2+(0-3)^2+(0-4)^2}\\ =\sqrt{9+16}\\ =5\)

अत: विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

माना कि A (x₁, y₁) और B (x2, y2) रेखा AB के अंतिम बिंदु है। C रेखा AB की मध्य बिंदु है। 

C का निर्देशांक = \(\rm (\dfrac {x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})\)

दूरी सूत्र AB से = \(\rm\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)

गणना:

दिया गया है, बिंदु A(10, 5), B(8, 4) और C(6, 6) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं,

माना कि D रेखा BC पर मध्य बिंदु है। 

इसके निर्देशांक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

D = \(\rm (\dfrac {8+6}{2}, \dfrac{4+6}{2})\)

D = \(\rm (7 ,5)\)

यहाँ, A से माध्यक की लम्बाई = AD = \(\rm \sqrt {(10-7)^2+ (5-5)^2}\)

⇒AD = \(\rm \sqrt {9+0}\)

⇒AD = 3

बिंदु A(10, 5), B(8, 4) और C(6, 6) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो A से माध्यक की लम्बाई 3 है।

संकल्पना:

रेखा ax + by + c = 0 से बिंदु (x₁, y₁) की दूरी

D = \(\rm \left|ax_1+by_1+c\over\sqrt{a^2+b^2}\right|\)

गणना:

दी गयी रेखा 3y = 4x + 5 है। 

⇒ 4x - 3y + 5 = 0

(x1, y1) = (2, 1)

∴ D = \(\rm \left|ax_1+by_1+c\over\sqrt{a^2+b^2}\right|\)

⇒ D = \(\rm \left|4\times 2 + (-3)\times 1+5\over\sqrt{4^2+(-3)^2}\right|\)

⇒ D = \(\rm \left|10\over5\right|\) = 2

दिया गया है:

दिए गए निर्देशांक हैं (-1, 1) और (3, -2)

अवधारणा:

सूत्र, जब दो बिंदु समदूरस्थ होते हैं-

\(\sqrt {(x-x_{1})^2 + (y-y_{1})^2} = \sqrt {(x-x_{2})^2 + (y-y_{2})^2} \)

गणना:

माना कि बिन्दुपथ बिंदु (x, y) है,

दो बिंदुओं (-1, 1) और (3, -2) से समदूरस्थ बिंदुओं के बिन्दुपथ के रूप में, इसलिए समीकरण होगा-

 \(⇒ \sqrt {(x+1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt {(x-3)^2 + (y+2)^2} \)

⇒ (x + 1)2 + (y - 1)2 = (x - 3)2 + (y + 2)2

∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 & 

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 

⇒ x2 + 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = x2 - 6x + 9 + y2 + 4y + 4

⇒ 2x - 2y + 2 = - 6x + 4y + 13

⇒ 8x - 6y - 11 = 0

अत:, समीकरण 8x - 6y - 11 = 0 है

संकल्पना:

माना कि A (x₁, y₁) और B (x₂, y₂), XY - तल में दो बिंदु हैं, तो A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

 \(\left| {AB} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \)

गणना:

दिया गया है: बिंदु (3, 4) और (a, 2) के बीच की दूरी 8 इकाई है। 

यहाँ, हमें a का मान ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, दो बिंदु A (x1, y1) और B (x2, y2) के बीच की दूरी को\(\left| {AB} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \) द्वारा ज्ञात किया गया है।

⇒ \(\sqrt {{{\left( {{a} - {3}} \right)}^2} + {{\left( {{2} - {4}} \right)}^2}} = 8\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ (a - 3)² + 4 = 64

⇒ a² + 9 - 6a - 60 = 0

⇒ a² - 6a - 51 = 0

⇒ \(a = \frac{{6 \pm \sqrt {240} }}{2} = 3 \pm 2\sqrt {15} \)

अतः विकल्प A सही उत्तर है। 

संकल्पना:

माना कि A (x₁, y₁) और B (x₂, y₂), XY - तल में कोई दो बिंदु हैं, तो A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(\left| {AB} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \)

गणना:

दिया  गया है: बिंदु (5, - 2) और (1, a) के बीच की दूरी 5 है। 

माना कि A = (5, - 2) और B = (1, a) है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, बिंदु A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(\left| {AB} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \)

यहाँ, x₁ = 5, y₁ = - 2, x₂ = 1 और y₂ = a

संकल्पना:

यदि दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत होती हैं, तो उनके ढलान का गुणनफल -1 होता है। 

अलग-अलग बिंदु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से होकर गुजरने वाली एक रेखा का ढलान \(\rm \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) है। 

गणना:

बिंदु (0, k) और (3, 1) से होकर गुजरने वाली रेखा का ढलान 

 \(=\rm \frac{1-k}{3-0} \\=\frac{1-k}{3}\)

3x - 4y - 5 = 0 

⇒4y = 3x - 5

⇒ y = \(\frac{3}{4}\rm x-\frac{5}{4}\) 

इसलिए, रेखा 3x - 4y - 5 = 0 का ढलान 3/4 है। 

अब चूँकि रेखा OP और 3x - 4y - 5 = 0 एक-दूसरे के लंबवत हैं। 

\(\rm \frac{1-k}{3}\times \frac{3}{4}=-1.....(\text {Product of slopes of perpendicular lines} )\\ \Rightarrow 1-k=-4\\ \Rightarrow k =5 \)

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

समानांतर रेखा ax + by + c₁ और ax + by + c₂ के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

D = \(\rm \left|c_1-c_2\over\sqrt{a^2+b^2}\right|\)

गणना:

दी गयी 2 रेखाएं निम्न हैं:

3y + 4x - 12 = 0

3y + 4x - 7 = 0

a = 4, b = 3, c₁ = -12 और c₂ = -7

∴ रेखाओं के बीच की दूरी

D = \(\rm \left|c_1-c_2\over\sqrt{a^2+b^2}\right|\)

⇒ D = \(\rm \left|-12-(-7)\over\sqrt{4^2+3^2}\right|\)

⇒ D = \(\rm \left|-5\over5\right|\) = 1

संकल्पना:

माना कि A(x1, y1) और B(x2, y2), X-Y तल पर कोई दो बिंदु है। मान लीजिए बिंदु C रेखाखंड AB का मध्यबिंदु है, तो बिंदु C का निर्देशांक निम्न है:

 \(\left( {\frac{{{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}}}{2},\frac{{{{\rm{y}}_1} + {{\rm{y}}_2}}}{2}} \right)\).

गणना:

(10, -6) और (k, 4) का मध्य-बिंदु:

\(\left( {{\rm{a}},2{\rm{b}}} \right) = \left( {\frac{{10 + {\rm{k}}}}{2},\frac{{ - 6 + 4}}{2}} \right) = \left( {5 + \frac{{\rm{k}}}{2},-1} \right)\)

अतः

\({\rm{a}} = \frac{{\rm{k}}}{2} + 5\)

2b = - 1

दिया हुआ, a – 2b = 7

\(\left( {\frac{{\rm{k}}}{2} + 5{\rm{\;}}} \right) + 1 = 7\)

\(\frac{{\rm{k}}}{2} + 6 = 7\)

\(\frac{{\rm{k}}}{2} = 1\)

k = 2