Lagrange and Charpit Methods MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Lagrange and Charpit Methods - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

Pp + qq = R के रूप में PDE के लिए लैग्रेंज सहायक समीकरण है

व्याख्या:

दिया गया PDE है

z(px - qy) = y2 - x2

⇒ xzp - yzq = y2 - x2

समाकलन करने पर हमें मिलता है

इसके अलावा,

⇒

⇒ (x + y) d(x + y) + zdz = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें मिलता है

....(iii)

(i) और (iii) लेने पर हमें हल मिलता है

x2 + y2 + z2 =

(3) सही है।

(ii) और (ii) लेने पर हमें हल मिलता है

(4) सही है।

व्याख्या:

लग्रांज के रैखिक आंशिक अवकल समीकरण Pp + Qq = R का ज्यामितीय अर्थ है कि किसी भी पृष्ठ f(x, y, z) = 0 के बिंदु (x, y, z) पर अभिलंब, उस रेखा के लंबवत होता है जिसके दिक् अनुपात P, Q, R हैं।

अतः (1) सत्य है।

व्याख्या:

दिया गया है z² = kxy, k ∈ ℝ ← निकाय पृष्ठ

⇒ ........(i)

अब, हम इसे लग्रांज समीकरण का उपयोग करके हल करेंगे -

(स्मरण करें: Pp + Qq = R)

इसलिए, (p = zx, q = zy)

⇒

⇒

⇒

⇒ (zy)p + (xz)q = -2xy (LCM लेने पर) (ii)

(zy)p → P

(xz)q → Q

-2xy → R

इसलिए, लग्रांज समीकरण से -

अब,

⇒ x dx = y dy

समाकलन करने पर

⇒ x² - y² = c₁

⇒ 2x dx = -z dz

समाकलन करने पर

⇒ 2x² + z² = c₂

इसलिए, सामान्य हल होगा ϕ (c₁, c₂) = 0

⇒ ϕ (x² - y², 2x² + z²) = 0 ⇒ विकल्प (3) सही है।

हल का अन्य संभावित रूप और जब c₁ और c₂ की गणना की जाती है।

ϕ(c1, c2), c₁ = ϕ(c2), c₂ = ϕ(c2), ...

अवधारणा:

मान लीजिए Pp + Qq = R एक आंशिक अवकल समीकरण है जहाँ P, Q, R, x, y, z के फलन हैं, तो लैग्रेंज की विधि से

= =

व्याख्या:

दिया गया है

uux + uy = 0, x ∈ ℝ, y > 0,

u(x, 0) = x, x ∈ ℝ

लैग्रेंज की विधि का उपयोग करके

= =

⇒ = =

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है

u = c₁...(i)

और u = c1 रखने पर हमें पहले दो पदों से प्राप्त होता है

=

dx = c₁dy
⇒ x - c₁y = c₂

⇒ x - uy = c₂...(ii)

(i) और (ii) से हमें सामान्य हल प्राप्त होता है

u = ϕ(x - uy)

u(x, 0) = x का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

x = ϕ(x) इसलिए ϕ(x - uy) = x - uy

इसलिए हल निम्न है

u = x - uy ⇒ u(1 + y) = x ⇒ u =

इसलिए u(2, 3) =

विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है: अर्थात xp + yq = 0

Pp + Qq = R से तुलना करने पर, हमारे पास है-

P = x, Q = y और R = 0

इसलिए, लग्रांज सहायक समीकरण द्वारा

अब dz = 0

⇒ z = c₁

पहले और दूसरे पद का उपयोग करके

समाकलन करने पर,

log |x| = log |y| + log c₂

इसलिए, सामान्य हल है -

c₁ ϕ(c₂) या c₂ = ϕ(c₁) या ϕ(c₁ c₂) = 0

⇒ z = ϕ

⇒ विकल्प (1) सही है

व्याख्या:

दिया गया है z² = kxy, k ∈ ℝ ← निकाय पृष्ठ

⇒ ........(i)

अब, हम इसे लग्रांज समीकरण का उपयोग करके हल करेंगे -

(स्मरण करें: Pp + Qq = R)

इसलिए, (p = zx, q = zy)

⇒

⇒

⇒

⇒ (zy)p + (xz)q = -2xy (LCM लेने पर) (ii)

(zy)p → P

(xz)q → Q

-2xy → R

इसलिए, लग्रांज समीकरण से -

अब,

⇒ x dx = y dy

समाकलन करने पर

⇒ x² - y² = c₁

⇒ 2x dx = -z dz

समाकलन करने पर

⇒ 2x² + z² = c₂

इसलिए, सामान्य हल होगा ϕ (c₁, c₂) = 0

⇒ ϕ (x² - y², 2x² + z²) = 0 ⇒ विकल्प (3) सही है।

हल का अन्य संभावित रूप और जब c₁ और c₂ की गणना की जाती है।

ϕ(c1, c2), c₁ = ϕ(c2), c₂ = ϕ(c2), ...

अवधारणा:

मान लीजिए Pp + Qq = R एक आंशिक अवकल समीकरण है जहाँ P, Q, R, x, y, z के फलन हैं, तो लैग्रेंज की विधि से

= =

व्याख्या:

दिया गया है

uux + uy = 0, x ∈ ℝ, y > 0,

u(x, 0) = x, x ∈ ℝ

लैग्रेंज की विधि का उपयोग करके

= =

⇒ = =

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है

u = c₁...(i)

और u = c1 रखने पर हमें पहले दो पदों से प्राप्त होता है

=

dx = c₁dy
⇒ x - c₁y = c₂

⇒ x - uy = c₂...(ii)

(i) और (ii) से हमें सामान्य हल प्राप्त होता है

u = ϕ(x - uy)

u(x, 0) = x का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

x = ϕ(x) इसलिए ϕ(x - uy) = x - uy

इसलिए हल निम्न है

u = x - uy ⇒ u(1 + y) = x ⇒ u =

इसलिए u(2, 3) =

विकल्प (3) सही है।

अवधारणा:

मान लीजिए Pp + Qq = R एक आंशिक अवकल समीकरण है जहाँ P, Q, R, x, y, z के फलन हैं, तो लैग्रेंज की विधि से

= =

व्याख्या:

दिया गया है

ux + uy = eu, u(x, 0) = 1

लैग्रेंज की विधि का उपयोग करके

= =

⇒ = =

पहले दो पदों को हल करना

=

dy = dx

y - x = c1...(i)

पहले और तीसरे पद का उपयोग करके

=

dx = e-udu

समाकलन करने पर

x + e-u = c2...(ii)

(i) और (ii) से हमें सामान्य हल प्राप्त होता है

x + e-u = ϕ(y - x)

u(x, 0) = 1 का उपयोग करके हमें प्राप्त होता है

x + e-1= ϕ(- x) इसलिए ϕ(x) = - x + e-1 इसलिए ϕ(y - x) = -y + x + e-1

इसलिए हल है

x + e-u = -y + x + e-1 ⇒ e-u = -y + e-1 ⇒ u = - ln(-y + e-1)

इसलिए ux = 0, uy =

इसलिए, = - ln() = -ln() = ln(2e)

विकल्प (1) गलत है

= 0

विकल्प (2) सही है
= =

विकल्प (3) गलत है

= =

विकल्प (4) सही है

व्याख्या:

∵ Z_z = p, Z_y = q

इसलिए z =

⇒ z = px + qy + pq ....(i) जो क्लेराउट समीकरण में है

इसलिए इसका पूर्ण समाकल है

z = ax + by + ab .... (ii)

विकल्प (1) सही है और विकल्प (2) गलत है।

अब (3) और (4) के लिए: दिया गया है x = 0 और z = y²

माना y = t ⇒ z = t²

∴ (ii) से, z = ax + by + ab ⇒ t² = a(0) + b(t) + ab

⇒ t² - bt - ab = 0 ....(iii)

अब हमें t का मान ज्ञात करना है,

इसलिए (iii) को t के सापेक्ष अवकलित करने पर, हमें प्राप्त होता है

2t - b = 0 ⇒ t = b/2

अब समीकरण (iii) में t = b/2 रखने पर हमें प्राप्त होता है

ab = 0

⇒ a = - b/4

अब समीकरण (ii) में a का मान रखने पर

....(iv)

अब b को हटाने के लिए, (iv) को b के सापेक्ष अवकलित करें और x और y के पदों में मान ज्ञात करें।

⇒ b = 2y - x/2

अब समीकरण (iv) में यह b रखने और सरलीकरण करने पर हमें प्राप्त होता है

z = - (2y - x/2)x + (2y - x/2)y - (2y - x/2)²

z = (2y - x/2)(y - x/4) -(2y - x/2)2

z = 2(y - x/4)² - (y - x/4)2

z = (y - x/4)2

z =

x = 0 और z = y2 से गुजरने वाला विशेष हल है

विकल्प (3) सही है और विकल्प (4) गलत है