Identities of Complex Number MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Identities of Complex Number - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

सम्मिश्र संख्याएँ: एक सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए निम्नलिखित परिभाषित हैं:

arg(z) = θ = \(\rm\tan^{-1}\left(b\over a\right)\)

तर्क के गुण:

माना कि z, z1 और z2 तीन सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तो

1. \(\arg \left( {\bar z\;} \right) = \; - \arg z\)

2. arg (z1 ⋅ z2) = arg (z1) + arg (z2)

3. \(\arg \left( {{z_1} \cdot \overline {{z_2}} } \right) = \arg {z_1} - \arg {z_2}\)

4. arg (zn) = n ⋅ arg (z)

5. arg (z1 / z2) = arg (z1) – arg(z2)

6. शून्य का तर्क परिभाषित नहीं है

7. यदि arg (z) = 0 ⇒ z वास्तविक है

गणना:

माना,

\(arg (\frac{(1\ + \ √ 3 i)(√ 3\ + \ i)}{1\ +\ i})\ =\ θ \)    ----(1)

∵ arg (z1 / z2) = arg (z1) – arg(z2)

⇒ θ = arg(1 + √3i)(√3 + i) - arg(1 + i) 

∵ arg (z1 ⋅ z2) = arg (z1) + arg (z2)

⇒ θ = arg(1 + √3i) + arg(√3 + i) - arg(1 + i)

\(\Rightarrow\ \theta \ = \ tan^{-1}(\frac{\sqrt 3}{1})\ +\ tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt 3})\ -\ tan^{-1}(1)\)

\(\Rightarrow\ \theta \ = \ (\frac{\pi}{3})\ +\ (\frac{\pi}{6})\ -\ (\frac{\pi}{4})\)

\(\Rightarrow\ \theta \ = \ (\frac{\pi}{4})\)

अत: विकल्प 3 सही है।

संकल्पना:

1. रेखा y = mx + c का ढलान m द्वारा दिया जाता है

2. यदि Z एक सम्मिश्र संख्या इस प्रकार है कि, Z = x + iy,

जहाँ 'x' एक वास्तविक भाग है और 'y' को Z के काल्पनिक भाग के रूप में जाना जाता है

arg(Z) = arg(x + iy) = tan-1(y/x)

इस्तेमाल किया सूत्र:

• arg(Z1) - arg(Z2) = arg(Z1/Z2)
• tan-1(i) = π/2 
• a2 - b2 = (a + b)(a - b)
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

गणना:

माना,

y = px - 3

∵ रेखा y = mx + c का ढलान m है

⇒ रेखा y = px - 3 का ढलान p है

प्रश्न के अनुसार, 

p = arg(1 + i) - arg(1 - i)

\(\Rightarrow p=arg[\frac{1\ + \ i}{1\ -\ i}]\)

\(\Rightarrow p=arg[\frac{(1\ + \ i)(1\ +\ i)}{(1\ -\ i)(1\ +\ i)}]\)

\(\Rightarrow p=arg[\frac{1\ + \ i^2\ +\ 2i}{1^2\ -\ i^2}]\)     

\(\Rightarrow p=arg[\frac{1\ -\ 1\ +\ 2i}{1\ -\ (-1)}]\)

\(\Rightarrow p=arg[\frac{2i}{2}] = arg (i)\)         

\(\Rightarrow p=tan^{-1}(i)\)      (∵ i2 = -1)

⇒ p = π/2 

   [∵ tan-1(i) = π/2]

अत: p का मान π/2 होगा

संकल्पना:

1. रेखा y = mx + c का ढलान m द्वारा दिया जाता है

2. यदि Z एक सम्मिश्र संख्या इस प्रकार है कि, Z = x + iy,

जहाँ 'x' एक वास्तविक भाग है और 'y' को Z के काल्पनिक भाग के रूप में जाना जाता है

arg(Z) = arg(x + iy) = tan-1(y/x)

इस्तेमाल किया सूत्र:

• arg(Z1) - arg(Z2) = arg(Z1/Z2)
• tan-1(i) = π/2 
• a2 - b2 = (a + b)(a - b)
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

गणना:

माना,

y = px - 3

∵ रेखा y = mx + c का ढलान m है

⇒ रेखा y = px - 3 का ढलान p है

प्रश्न के अनुसार, 

p = arg(1 + i) - arg(1 - i)

\(\Rightarrow p=arg[\frac{1\ + \ i}{1\ -\ i}]\)

\(\Rightarrow p=arg[\frac{(1\ + \ i)(1\ +\ i)}{(1\ -\ i)(1\ +\ i)}]\)

\(\Rightarrow p=arg[\frac{1\ + \ i^2\ +\ 2i}{1^2\ -\ i^2}]\)     

\(\Rightarrow p=arg[\frac{1\ -\ 1\ +\ 2i}{1\ -\ (-1)}]\)

\(\Rightarrow p=arg[\frac{2i}{2}] = arg (i)\)         

\(\Rightarrow p=tan^{-1}(i)\)      (∵ i2 = -1)

⇒ p = π/2 

   [∵ tan-1(i) = π/2]

अत: p का मान π/2 होगा

अवधारणा:

सम्मिश्र संख्याएँ: एक सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए निम्नलिखित परिभाषित हैं:

arg(z) = θ = \(\rm\tan^{-1}\left(b\over a\right)\)

तर्क के गुण:

माना कि z, z1 और z2 तीन सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तो

1. \(\arg \left( {\bar z\;} \right) = \; - \arg z\)

2. arg (z1 ⋅ z2) = arg (z1) + arg (z2)

3. \(\arg \left( {{z_1} \cdot \overline {{z_2}} } \right) = \arg {z_1} - \arg {z_2}\)

4. arg (zn) = n ⋅ arg (z)

5. arg (z1 / z2) = arg (z1) – arg(z2)

6. शून्य का तर्क परिभाषित नहीं है

7. यदि arg (z) = 0 ⇒ z वास्तविक है

गणना:

माना,

\(arg (\frac{(1\ + \ √ 3 i)(√ 3\ + \ i)}{1\ +\ i})\ =\ θ \)    ----(1)

∵ arg (z1 / z2) = arg (z1) – arg(z2)

⇒ θ = arg(1 + √3i)(√3 + i) - arg(1 + i) 

∵ arg (z1 ⋅ z2) = arg (z1) + arg (z2)

⇒ θ = arg(1 + √3i) + arg(√3 + i) - arg(1 + i)

\(\Rightarrow\ \theta \ = \ tan^{-1}(\frac{\sqrt 3}{1})\ +\ tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt 3})\ -\ tan^{-1}(1)\)

\(\Rightarrow\ \theta \ = \ (\frac{\pi}{3})\ +\ (\frac{\pi}{6})\ -\ (\frac{\pi}{4})\)

\(\Rightarrow\ \theta \ = \ (\frac{\pi}{4})\)

अत: विकल्प 3 सही है।

संकल्पना:

1. रेखा y = mx + c का ढलान m द्वारा दिया जाता है

2. यदि Z एक सम्मिश्र संख्या इस प्रकार है कि, Z = x + iy,

जहाँ 'x' एक वास्तविक भाग है और 'y' को Z के काल्पनिक भाग के रूप में जाना जाता है

arg(Z) = arg(x + iy) = tan-1(y/x)

इस्तेमाल किया सूत्र:

• arg(Z1) - arg(Z2) = arg(Z1/Z2)
• tan-1(i) = π/2 
• a2 - b2 = (a + b)(a - b)
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

गणना:

माना,

y = px - 3

∵ रेखा y = mx + c का ढलान m है

⇒ रेखा y = px - 3 का ढलान p है

प्रश्न के अनुसार, 

p = arg(1 + i) - arg(1 - i)

\(\Rightarrow p=arg[\frac{1\ + \ i}{1\ -\ i}]\)

\(\Rightarrow p=arg[\frac{(1\ + \ i)(1\ +\ i)}{(1\ -\ i)(1\ +\ i)}]\)

\(\Rightarrow p=arg[\frac{1\ + \ i^2\ +\ 2i}{1^2\ -\ i^2}]\)     

\(\Rightarrow p=arg[\frac{1\ -\ 1\ +\ 2i}{1\ -\ (-1)}]\)

\(\Rightarrow p=arg[\frac{2i}{2}] = arg (i)\)         

\(\Rightarrow p=tan^{-1}(i)\)      (∵ i2 = -1)

⇒ p = π/2 

   [∵ tan-1(i) = π/2]

अत: p का मान π/2 होगा

अवधारणा:

सम्मिश्र संख्याएँ: एक सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए निम्नलिखित परिभाषित हैं:

arg(z) = θ = \(\rm\tan^{-1}\left(b\over a\right)\)

तर्क के गुण:

माना कि z, z1 और z2 तीन सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तो

1. \(\arg \left( {\bar z\;} \right) = \; - \arg z\)

2. arg (z1 ⋅ z2) = arg (z1) + arg (z2)

3. \(\arg \left( {{z_1} \cdot \overline {{z_2}} } \right) = \arg {z_1} - \arg {z_2}\)

4. arg (zn) = n ⋅ arg (z)

5. arg (z1 / z2) = arg (z1) – arg(z2)

6. शून्य का तर्क परिभाषित नहीं है

7. यदि arg (z) = 0 ⇒ z वास्तविक है

गणना:

माना,

\(arg (\frac{(1\ + \ √ 3 i)(√ 3\ + \ i)}{1\ +\ i})\ =\ θ \)    ----(1)

∵ arg (z1 / z2) = arg (z1) – arg(z2)

⇒ θ = arg(1 + √3i)(√3 + i) - arg(1 + i) 

∵ arg (z1 ⋅ z2) = arg (z1) + arg (z2)

⇒ θ = arg(1 + √3i) + arg(√3 + i) - arg(1 + i)

\(\Rightarrow\ \theta \ = \ tan^{-1}(\frac{\sqrt 3}{1})\ +\ tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt 3})\ -\ tan^{-1}(1)\)

\(\Rightarrow\ \theta \ = \ (\frac{\pi}{3})\ +\ (\frac{\pi}{6})\ -\ (\frac{\pi}{4})\)

\(\Rightarrow\ \theta \ = \ (\frac{\pi}{4})\)

अत: विकल्प 3 सही है।