Groups MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Groups - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्पष्टीकरण:
प्रश्न अरिक्त समुच्चय A, B, C \(\Rightarrow 4^3\) – (कोई भी समुच्चय जो रिक्त है) के बारे में है
\(A = \phi\) पर विचार करें
सार्वत्रिक समुच्चय \(= \{2,3,5\}\) में 3 अवयव हैं \(\Rightarrow~ B~ has~ 2^3\) संभावित विकल्प हैं, और प्रत्येक संभावित B समुच्चय के लिए, हमें C के संभावित समुच्चयों की गणना करने की आवश्यकता है। चूँकि \(B \subseteq C\) , B में उपस्थित अवयव, C में भी उपस्थित होने चाहिए। सार्वत्रिक समुच्चय के शेष अवयवों के पास दो विकल्प हैं; C में उपस्थित या C में उपस्थित नहीं होना।

\(if ~B = \phi\) (B में अवयवों की संख्या = 0) \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-0} = 2^3\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
\( \textbf{if B = \{1\}}\) (B में अवयवों की संख्या = 1) \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-1} = 2^2\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
\( \textbf{if B = \{2\}}\) (B में अवयवों की संख्या = 1) \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-1} = 2^2\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
\( \textbf{if B = \{3\}}\) (B में अवयवों की संख्या = 1) \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-1} = 2^2\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
\( \textbf{if B = \{1, 2\}}\) (B में अवयवों की संख्या = 2) \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-2} = 2^1\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
\( \textbf{if B = \{1, 3\}}\) (B में अवयवों की संख्या = 2) \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-2} = 2^1\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या

\(\textbf{if } B = \{2, 3\}\) (B में अवयवों की संख्या = 2) \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-2} = 2^1\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
\(​\textbf{if } B = \{1, 2, 3\}\) (B में अवयवों की संख्या = 3)} \(\Rightarrow\) \(C = 2^{n-3} = 2^0\) के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
∴ \( \binom{n}{0} \cdot 2^n + \binom{n}{1} \cdot 2^{n-1} + \cdots + \binom{n}{r} \cdot 2^{n-r} \cdots + \binom{n}{n} \cdot 2^0 = (1 + 2)^n = 3^n = 3^3 = 27 \)
\(∴ \text{when } A = \phi, \text{ possible sets of B and C are 27} \)
अंतिम उत्तर = \(4^3 - 3^3 = 37\)

सही उत्तर  ∗(a, b) = a + b + 2 है।

Explanation:

• समापन: यदि आप किसी भी दो पूर्णांकों, a और b को जोड़ते हैं, फिर 2 जोड़ते हैं, तो भी आपको एक पूर्णांक प्राप्त होता है। इसलिए, यह ऑपरेशन बंद है।
• साहचर्यता: जाँच करें कि क्या * (a, * (b, c)) वही है जो * (* (a, b), c) है:
  • सबसे पहले * (b, c) ज्ञात करें: b + c + 2
  • अब, * (a, (b + c + 2)): a + (b + c + 2) + 2 = a + b + c + 4
  • अब, * (a, b) ज्ञात करें: a + b + 2
  • अब, * ((a + b + 2), c): (a + b + 2) + c + 2 = a + b + c + 4
  • चूँकि a + b + c + 4 बराबर a + b + c + 4 है, अतः यह संक्रिया साहचर्य है।
• पहचान: एक तत्व e ज्ञात कीजिए जिससे कि सभी a के लिए * (a, e) = a हो:
  • a + e + 2 = a
  • e का हल: e + 2 = 0 जो e = -2 देता है
  • पहचान तत्व -2 है।
• व्युत्क्रमणीयता: प्रत्येक a के लिए b ज्ञात कीजिए ताकि * (a, b) = -2:
  • ए + बी + 2 = -2
  • b का हल: b = -4 - a
  • प्रत्येक a के लिए, b = -4 - a एक पूर्णांक है, इसलिए व्युत्क्रमणीयता लागू होती है।

यह ऑपरेशन एक समूह बनाता है।

2) परिभाषित करें: * (a, b) = 2a + b

• समापन : यदि आप एक पूर्णांक a को 2 से गुणा करते हैं और फिर एक और पूर्णांक b जोड़ते हैं, तो आपको एक पूर्णांक प्राप्त होता है। इसलिए, यह ऑपरेशन बंद है।
• साहचर्यता : जाँच करें कि क्या * (a, * (b, c)) वही है जो * (* (a, b), c) है:
  • सबसे पहले * (b, c) ज्ञात करें: 2b + c
  • अब, * (a, (2b + c)): 2a + (2b + c) = 2a + 2b + c
  • अब, * (a, b) ज्ञात करें: 2a + b
  • अब, * ((2a + b), c): 2(2a + b) + c = 4a + 2b + c
  • चूँकि 2a + 2b + c, 4a + 2b + c के बराबर नहीं है, अतः यह संक्रिया साहचर्य नहीं है।

यह ऑपरेशन कोई समूह नहीं बनाता है।

3) परिभाषित करें: * (a, b) = (a + b) / 2

• समापन : यदि a और b पूर्णांक हैं, तो (a + b) / 2 हमेशा पूर्णांक नहीं होता है (उदाहरण के लिए, यदि a = 1 और b = 2)। इसलिए, यह ऑपरेशन बंद नहीं है।

यह ऑपरेशन कोई समूह नहीं बनाता है.

4) परिभाषित करें: * (a, b) = a² + b

• समापन : यदि a और b पूर्णांक हैं, तो a² + b एक पूर्णांक है। इसलिए, यह ऑपरेशन बंद है।
• साहचर्यता : जाँच करें कि क्या * (a, * (b, c)) वही है जो * (* (a, b), c) है:
  • सबसे पहले * (b, c) ज्ञात करें: b² + c
  • अब, * (a, (b² + c)): a² + (b² + c) = a² + b² + c
  • इसके बाद, * (a, b) ज्ञात करें: a² + b
  • अब, * ((a² + b), c): (a² + b)² + c
  • चूँकि a² + b² + c, (a² + b)² + c के बराबर नहीं है, अतः यह संक्रिया साहचर्य नहीं है।

यह ऑपरेशन कोई समूह नहीं बनाता है।
अतः दी गई संक्रियाओं में से केवल * (a, b) = a + b + 2 पूर्णांक Z के समुच्चय पर एक समूह बनाता है।

संकल्पना:

साइलो प्रमेय: मान लीजिए G कोटि pαm का एक परिमित समूह है, जहाँ अभाज्य संख्या p, m को विभाजित नहीं करती है। तब

(i) G का न्यूनतम एक साइलो p-उपसमूह विद्यमान है।
(ii) यदि P, G का एक साइलो p-उपसमूह है और Q, G का कोई p-उपसमूह है, तो g ∈ G का अस्तित्व इस प्रकार है कि Q, gPg−1 का एक उपसमूह है
(iii) G के साइलो p-उपसमूहों की संख्या np, np ≡ 1 (mod p) है।

स्पष्टीकरण:

G कोटि 57 का एक समूह है और G एक चक्रीय समूह नहीं है।

57 = 3 × 19

माना n19, G के साइलो 19-उपसमूहों की संख्या है।

तब साइलो के प्रमेय द्वारा, n19 ≡ 1(mod19) और n19∣3 है।

इसलिए, n19 = 1

माना g ∈ G, तो g की कोटि 1, 3, या 19 है।

चूँकि G एक चक्रीय समूह नहीं है, इसलिए g की कोटि 57 नहीं हो सकता।

चूँकि ठीक एक साइलो 19-उपसमूह P है, कोई भी अवयव जो P में नहीं है उसकी कोटि 3 होनी चाहिए।

अतः, कोटि 3 के अवयवों की संख्या 57 − 19 = 38 है।

विकल्प (3) सत्य है

दिया गया है:

कोटि 122 का समूह

संकल्पना:

कोटि pq का समूह ठीक दो गैर-समरूपी समूह है, एक चक्रीय है और एक गैर-एबेलियन है।

गणना:

कोटि 122 का समूह

122 = 2 × 61 

यह समूह pq = 122 कोटि का है जहाँ p = 2 और q = 61 है।

इसलिए केवल दो गैर-समरूपी समूह हैं, एक चक्रीय है और एक गैर-एबेलियन है।

अतः विकल्प (1) सही है।

दिया गया है:

G कोटि 45 का एक समूह है

संकल्पना:

एबेलियन समूह के सभी उपसमूह अभिलंब हैं और समूह की कोटि के प्रत्येक भाजक d के लिए भी उस कोटि का एक उपसमूह है

गणना:

G कोटि 45 का एक समूह है

45 = 3²×5

यहाँ \(3\nmid(5-1)and5\nmid(9-1)\)

अतः, G एक एबेलियन समूह है।

एबेलियन समूह के सभी उपसमूह अभिलंब हैं। और समूह की कोटि के प्रत्येक भाजक d के लिए भी उस कोटि का एक उपसमूह है।

5 ∣ 45  और 9 ∣ 45 

इसलिए G में कोटि 5 और 9 का अभिलंब उपसमूह है।

संकल्पना

उपसमूहों के लैगरेंज प्रमेय के अनुसार समूह के क्रम को विभाजित करना चाहिए।

समूह का गुण बताता है कि यदि किसी समूह के पास मुख्य क्रम है तो वह चक्रीय है।

स्पष्टीकरण:

चूंकि G का क्रम 6 है। इसलिए इसके उपसमूह का क्रम 1,2,3,6 हो सकता है

H स्थिति 1< |H| <6 के साथ इसके उपसमूहों में से एक है  इसलिए H क्रम 2 या 3 का हो सकता है जो कि मुख्य है

इसलिए H को चक्रीय होना चाहिए

G का क्रम 6 है जो अभाज्य नहीं है और इसलिए यह चक्रीय हो भी सकता है और नहीं भी

इसलिए विकल्प 2 सही है

एक समूह को एबेलियन कहा जाता है, यदि (a*b) = (b*a) ∀a, b ∈ G

चूँकि (G, ⋅) एक समूह है,

∴ (ab)-1 = (b-1a-1)             (1)

दिया गया है: (ab)–1 = a–1b–1       (2)

समीकरण (1) एवं समीकरण (2) से,

b-1a-1 = a–1b–1 

चरण 4: दोनों पक्षों को 𝑎 और 𝑏 से गुणा करने पर, 

व्युत्क्रमों को हटाना और यह दर्शाना कि 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎

दाईं ओर दोनों पक्षों को 𝑏 से गुणा करने पर:

𝑏 ^{− 1} 𝑎 ^{− 1} ⋅ 𝑏 = 𝑎 ^{− 1} 𝑏 ^{− 1} ⋅ 𝑏

चूँकि 𝑏 ^{− 1} 𝑏 = 𝑒 ( तत्समक अवयव),

यह इस प्रकार सरल हो जाता है:  𝑏 − 1 𝑎 − 1 𝑏 = 𝑎 − 1 𝑒 = 𝑎 − 1 

इसलिए, हमें प्राप्त होता है: b-1a-1b = a-1 

इसके बाद, दाईं ओर समीकरण (1) के दोनों पक्षों को 𝑎 से गुणा करने पर:

𝑏 ^{− 1} 𝑎 ^{− 1} 𝑏 𝑎 = 𝑎 − 1 𝑎

चूँकि 𝑎 ^{− 1} 𝑎 = 𝑒

यह सरल है: 𝑏 ^{− 1} 𝑎 ^{− 1} 𝑏 𝑎 = 𝑒

तो हमें मिलता है: 𝑏 ^{− 1} ( 𝑎 ^{− 1} 𝑏 ) 𝑎 = 𝑒

चूँकि किसी समूह में, व्युत्क्रम लागू करने पर असमिका प्राप्त होती है,

हमें मिलता है: (𝑎 ^{− 1}𝑏) 𝑎 = 𝑏

अब, बाईं ओर के दोनों पक्षों को a से गुणा करने पर:

𝑎 (𝑎⁻¹𝑏) 𝑎 = 𝑎 𝑏

इसे सरल किया जा सकता है: eba = ab,

इसलिए हमें प्राप्त होता है: ba = ab

इस प्रकार, हमने दर्शाया है कि 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎

इसलिए यह अबेलियन है

गणना:

एक तत्व a द्वारा उत्पन्न क्रम 8 के चक्रीय समूह G को मान लें, तब

⇒ o(a) = o(G) = 8

G के जनरेटर की संख्या ज्ञात करने के लिए,

स्पष्टतः, G = {a, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 = e}

एक तत्व a ^m ∈ G भी G का जनरेटर है, m का HCF है और 8, 1 है।

1 और 8 का HCF 1 है, 3 और 8 का HCF 1 है, 5 और 8 का HCF 1 है, 7 और 8 का HCF 1 है।

अत: a, a3, a5, a7  G के जनरेटर हैं।

इसलिए, G के चार जनरेटर हैं।

संकल्पना:

मान लीजिए G एक तत्व a द्वारा उत्पन्न क्रम 10 का चक्रीय समूह है, तो o(a) = o(G) = 10

स्पष्टतः G = {a, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 = e }

यदि m और n का HCF d है, तो हम (m, n) = d लिखते हैं।

एक तत्व am ∈ G भी G का जनरेटर है यदि (m, 10) = 1 है।

इस प्रकार G के चार जनरेटर हैं, अर्थात् a, a3, a7, a9

अवधारणा:

• कोटि 3 का कोई भी समूह चक्रीय है।
• या तीन तत्वों का कोई भी समूह एक अबेलियन समूह है।

Additional Information

• मुख्य कोटि का हर समूह चक्रीय है।
• यदि कोटि 6 के एक अबेलियन समूह में कोटि 3 का एक तत्व शामिल है, तो यह एक चक्रीय समूह होना चाहिए।
• चक्रीय समूह का प्रत्येक उपसमूह स्वयं एक चक्रीय समूह है।
• अनंत चक्रीय समूह का प्रत्येक उचित उपसमूह अनंत है।

अवधारणा:

अबेलियन समूह: माना {G = e, a, b} है, जहाँ e सर्वसमिका है। संक्रिया 'o' को निम्नलिखित संरचना तालिका द्वारा परिभाषित किया गया है। तब (G, o) को अबेलियन कहा जाता है, यदि वह निम्नलिखित गुणविधियों का अनुसरण करता है-

1. संवरक गुणविधि
2. संबद्धता
3. सर्वसमिका का अस्तित्व
4. व्युत्क्रम का अस्तित्व
5. संचयी

चक्रीय समूह - एक समूह a को चक्रीय समूह कहा जाता है यदि उसमें एक पद 'a' इस प्रकार होता है कि G के प्रत्येक पद को 'a' के किसी समाकल घात द्वारा निरूपित किया जा सकता है, तब पद 'a' को G का एक उत्पादक कहा जाता है और G को  (या [a]) से दर्शाया जाता है। 

धारणा:

यदि G एक समूह है, तो G सहित जो उपसमूह है वही G का अनुचित उपसमूह हुआ अन्य सभी उपसमूह उचित उपसमूह हैं।

किसी समूह में, अनुचित उपसमूह की संख्या 2 होती है।

अवधारणा:

एक समूह (G, ∗) का गैर-रिक्त सबसेट G का एक समूह है यदि,

⇒ a, b ∈ H ⇒ a ∗ b^-1 ∈ H

संकल्पना: 

उपसमूह​:- समूह G के एक अरिक्त उपसमुच्चय H को G का उपसमूह कहा जाता है यदि H स्वयं उसी संक्रिया के संबंध में एक समूह है जिसे G के लिए परिभाषित किया गया है।

सम्मिलन:- दो या दो से अधिक समुच्चयों का सम्मिलन वह समुच्चय होता है जिसमें दिए गए समुच्चयों के सभी अवयव होते हैं।

गणना:

माना G = (Z, +) एक समूह हो। 

⇒ H₁ = {0, ±2, ±4, ±6, ....}

⇒ H₂ = {0, ±3, ±6, ±9, ....}

⇒ H₁ U H₂ = {0, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±9,....}

⇒ 2, 3 ∈ H₁ U H₂

⇒ लेकिन, 2 + 3 = 5 ∉ H₁ U H₂

⇒ संवरक गुणधर्म H1 U H2 में होल्ड नहीं होती है।

∴ (H1 ∪ H2, +),  (Z, +) का उपसमूह नहीं है। 

दिया गया:

G = {1, -1, i, -i} कोटि 4 का एक चक्रीय समूह है।

⇒ o(a) = o(G)

स्पष्ट रूप से;

⇒ i = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1

यहाँ G का सर्वसमिका तत्व e, 1 है।

इस प्रकार किसी भी r < 1 के लिए i4 = 1 अर्थात ir ≠ 1

यह → o(i) = 4 = o(G)

⇒ i, G का जनक है।