Exponential Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Exponential Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

चरघातांकी जनक फलन और श्रेणी गुणांक:

• व्यंजक संयोजन ⁿC_r और क्रमगुणित का उपयोग करता है, जो घातीय और द्विपद प्रसार सर्वसमिकाओं की ओर इंगित करता है।
• x² के गुणांक का मूल्यांकन करने के लिए फलन f(x) = 1 + (1 + x)/1! + (1 + x)²/2! + (1 + x)³/3! + ... माना जाता है।
• इस फलन को इस सर्वसमिका का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है: e^1+x / (1 + x)
• इस प्रसार में x² का गुणांक 'a' श्रेणी के RHS से मेल खाता है।
• b का मान इस सर्वसमिका का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है: 1 + 2/1! + 2²/2! + 2³/3! + ... = e²

गणना:

माना कि f(x) = 1 + (1 + x)/1! + (1 + x)²/2! + (1 + x)³/3! + ...

⇒ f(x) = e^(1+x) / (1 + x)

RHS का प्रसार:

= (1 + x + x²/2! + ...) / (1 + x)

⇒ (1 + x + (1 + x)²/2! + (1 + x)³/3! + (1 + x)⁴/4! + ...)

इसलिए, RHS में x² का गुणांक है:

²C₂/3! + ³C₂/4! + ⁴C₂/5! + ... = a - 1

RHS में x² का गुणांक:

e × (1 + x+ x2/2!) × (1 -x+ x2/2!)

e- e+ e/2! =a है,

अब, LHS व्यंजक का प्रसार करें:

e × (1 + x+ x2/2!) × (1 -x+ x2/2!)

⇒ e × (1 - (x4/4!)) = e 

इसलिए, x² का गुणांक = e x e = e²

इस प्रकार, b = 1 + 2/1! + 2²/2! + 2³/3! + ... = e²

a = e/2!

⇒ 8b / a2 = 2 × e2 / (e/2!)2 = 32

∴ 8b / a² = 32

गणना

दोनों पक्षों का आधार 5 पर लघुगणक लेने पर,

\(\left(16\left(\log _{5} x\right)^{3}-68\left(\log _{5} x\right)\right)\left(\log _{5} x\right)=-16\)

मान लीजिए, \(\left(\log _{5} x\right)=t\)

\(16 t^{4}-68 t^{2}+16=0\)

या \(4 t^{4}-16 t^{2}-t^{2}+4=0\)

या \(\left(4 t^{2}-1\right)\left(t^{2}-4\right)=0\)

या \(t= \pm \frac{1}{2}, \pm 2\)

अतः \(\log _{5} x= \pm \frac{1}{2} \mathrm{OR} \pm 2\)

\(\Rightarrow x=5^{\frac{1}{2}}, 5^{\frac{-1}{2}}, 5^{2}, 5^{-2}\)

x के सभी धनात्मक वास्तविक मानों का गुणनफल 1 है। 

\( \Rightarrow \log _{5}\left ( 16-x^{2} \right )-\log _{5}\left ( 2x+5 \right )\leq \log _{5}5 \quad [\because \log_{1/a}b=-\log_ab \quad \text& \quad \log_aa=1] \)

\( \therefore \frac{16-x^{2}}{2x+5}\leq 5\:or\:\left ( 16-x^{2} \right )\leq 10x+25 \quad [\because \log a-\log b=\log\dfrac{a}{b}] \)

\( x^{2}+10x+9\geq 0 \)

\( \left ( x+9 \right )\left ( x+1 \right )\geq 0 \)

\( \therefore x\leq -9 \) या \( x\geq -1 \) ...(1)

अब \( \log \) की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास,

\( 2x+5> 0 \) , अर्थात, \( x> -\dfrac52 \) होना चाहिए। 

और \( 16-x^{2}> 0 \) या \( x^{2}-16< 0 \)

या \( \left ( x+4 \right )\left ( x-4 \right )< 0 \)

\( \therefore -4< x< 4 \) तथा \( x> -\dfrac52 \) ...(2)

अतः (1) और (2) से, \( x\geq -1 \) और \( x< 4 \) है। 

\( \therefore x \in \left [ -1,4 \right ) \) है। 

उत्तर: B

स्पष्टीकरण:

चरघातांकीय वृद्धि का आलेख इस प्रकार है:

अर्थात चरघातांकीय वृद्धि में प्राप्त वक्र J आकार का वक्र होता है।

अतः विकल्प (2) सत्य है।

संकल्पना:

आधार नियम:

यदि xवें घांत तक संवर्धित b, yवें घांत तक संवर्धित b के बराबर है, तो इसका अर्थ है कि x = y है।"

\(\rm b^x = b^y \) ⇒ x = y

गणना:

दिया गया समीकरण 4x - 3(2x + 3) + 128 = 0 है। 

⇒ \(\rm (2^2)^x - 3 (2^x.2^3) + 128 = 0\)

⇒ \(\rm (2^x)^2 - 24 (2^x) + 128 = 0\)

⇒ \(\rm (2^x)^2 - 16 (2^x) - 8(2^x)+ 128 = 0\)

⇒ \(\rm (2^x - 16)(2^x - 8) = 0\)

⇒ \(\rm 2^x = 16 \;\;\text{or}\;\; 2^x = 8\)

⇒ \(\rm 2^x = 2^4 \;\;\text{or}\;\; 2^x = 2^3\)

⇒ x = 4 या x = 3

समीकरण 4x - 3(2x + 3) + 128 = 0 के मूल 4 और 3 हैं। 

इसका योग = 4 + 3 = 7

संकल्पना:

लघुतम पूर्णांक फलन: (सीलिंग फलन)

फलन f (x) = [x] को लघुतम पूर्णांक फलन कहा जाता है और इसका अर्थ है कि लघुतम पूर्णांक x से अधिक या उसके बराबर है अर्थात् [x) ≥ x है। 

यदि f :A → B और g : C → D है

तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन

अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: 

f(x) = ex और g(x) = ⌈x) जहाँ ⌈.⌉ सबसे छोटे पूर्णांक फलन को दर्शाता है

यहाँ, हमें f o g(9/2) का मान ज्ञात करना है। 

⇒ f o g(9/2) = f(g(9/2))

चूँकि g(x) = [x]

⇒ g(9/2) = [4.5) = 5

⇒ f o g(9/2) = f(5)

चूँकि, f(x) = ex 

⇒ f(5) = e5

अतः f o g(9/2) = e5

संकल्पना:

आधार नियम:

यदि xवें घांत तक संवर्धित b, yवें घांत तक संवर्धित b के बराबर है, तो इसका अर्थ है कि x = y है।"

\(\rm b^x = b^y \) ⇒ x = y

गणना:

दिया गया समीकरण 4x - 3(2x + 3) + 128 = 0 है। 

⇒ \(\rm (2^2)^x - 3 (2^x.2^3) + 128 = 0\)

⇒ \(\rm (2^x)^2 - 24 (2^x) + 128 = 0\)

⇒ \(\rm (2^x)^2 - 16 (2^x) - 8(2^x)+ 128 = 0\)

⇒ \(\rm (2^x - 16)(2^x - 8) = 0\)

⇒ \(\rm 2^x = 16 \;\;\text{or}\;\; 2^x = 8\)

⇒ \(\rm 2^x = 2^4 \;\;\text{or}\;\; 2^x = 2^3\)

⇒ x = 4 या x = 3

समीकरण 4x - 3(2x + 3) + 128 = 0 के मूल 4 और 3 हैं। 

इसका योग = 4 + 3 = 7

Mistake Points

कृपया ध्यान दें कि, यहां ⌈⌉ सबसे छोटे पूर्णांक फलन का प्रतिनिधित्व करता है, न कि सबसे बड़े पूर्णांक फलन का।

संकल्पना:

न्यूनतम पूर्णांक फलन (सीलिंग फलन):

यह एक फलन है जो (−∞,∞) सभी मान लेता है और केवल पूर्णांक भाग यानी सबसे

छोटे पूर्णांक की श्रेणी देता है, फलन Z (सभी पूर्णांक) है।

उदाहरण, [5.1] = 6, [- 5.1] = - 5

समग्र फलन:

यदि f :A → B और g : C → D है। तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = ⌈x⌉,

जहाँ [ ] सबसे छोटे पूर्णांक फलन को दर्शाता है और g(x) = 5x है। 

यहाँ, हमें g o f(1/2) का मान ज्ञात करना है। 

⇒ g o f(1/2) = g( f(1/2))

चूँकि, f(x) = ⌈x]

⇒ f(1/2) = ⌈1/2⌉ =⌈0.5⌉

⇒ f(1/2) = 1

⇒ g o f(1/2) = g(1)

अतः, g o f(1/2) = 5

Confusion Pointsउच्चतम पूर्णांक फलन (फ़्लोर फलन):

उच्चतम पूर्णांक फलन वह फलन है जो दी गई संख्या से छोटा या बराबर उच्चतम पूर्णांक देता है। ​दी गई संख्या x से छोटा या उसके बराबर उच्चतम पूर्णांक को ⌊x⌋ के रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण [5.1] = 5 और [-5.1] = - 6 

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: (फ्लोर फलन)

फलन f (x) = [x] को सबसे बड़ा पूर्णांक फलन कहा जाता है और जिसका अर्थ है कि सबसे बड़ा पूर्णांक x से कम या उसके बराबर है अर्थात् [x] ≤ x है। 

[x] का डोमेन R है और सीमा I है। 

यदि f :A → B और g : C → D है। तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = ex और g(x) = [x] जहाँ [.] सबसे बड़े पूर्णांक फलन को दर्शाता है। 

यहाँ, हमें f o g(- 5/2) का मान ज्ञात करना है। 

⇒ f o g(- 5/2) = f( g(-5/2))

∵ g(x) = [x] इसलिए, g(-5/2) = - 3

⇒ f o g(- 5/2) = f(- 3)

∵ f(x) = ex इसलिए, f(- 3) = e^{- 3}

अतः f o g(- 5/2) = e^{- 3}

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: (फ्लोर फलन)

फलन f (x) = [x] को सबसे बड़ा पूर्णांक फलन कहा जाता है और जिसका अर्थ है कि सबसे बड़ा पूर्णांक x से कम या उसके बराबर है अर्थात् [x] ≤ x है। 

[x] का डोमेन R है और सीमा I है। 

यदि f :A → B और g : C → D है। तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = [x] जहाँ [.] सबसे बड़े पूर्णांक फलन को दर्शाता है और g(x) = 2x है। 

यहाँ, हमें g o f(- 3/2) का मान ज्ञात करना है। 

⇒ g o f(- 3/2) = g( f(- 3/2))

∵ f(x) = [x], इसलिए f(- 3/2) = [- 3/2] = - 2

⇒ g o f(- 3/2) = g(- 2)

∵ g(x) = 2^x इसलिए, g(- 2) = 1/4

अतः g o f(- 3/2) = 1/4

संकल्पना:

घातांकीय फलन एक निर्दिष्ट आधार b के लिए रूप f(x) = b^x का फलन हैं जो कोई भी धनात्मक वातविक संख्या है। 

एक घातांकीय फलन का व्युत्क्रम लघुगणकीय फलन है। 

गणना:

दिया गया घातांकीय फलन y = q^x है, साथ ही x = 4 और y = 1296

∴ 1296 = q⁴

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: (फ्लोर फलन)

फलन f (x) = [x] को सबसे बड़ा पूर्णांक फलन कहा जाता है और जिसका अर्थ है कि सबसे बड़ा पूर्णांक x से कम या उसके बराबर है अर्थात् [x] ≤ x है। 

[x] का डोमेन R है और सीमा I है। 

यदि f :A → B और g : C → D है। तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = [x] जहाँ [.] सबसे बड़े पूर्णांक फलन को दर्शाता है और g(x) = 2x है। 

यहाँ, हमें g o f(- 3/2) + g o f(5/2) का मान ज्ञात करना है। 

सर्वप्रथम हम g o f(- 3/2) का मान ज्ञात करते हैं

⇒ g o f(- 3/2) = g( f(- 3/2))

∵ f(x) = [x], इसलिए f(- 3/2) = [- 3/2] = - 2

⇒ g o f(- 3/2) = g(- 2)

∵ g(x) = 2x इसलिए, g(- 2) = 1/4

⇒ g o f(- 3/2) = 1/4----------(1)

उसीप्रकार, g o f(5/2) का मान ज्ञात करते हैं

⇒ g o f(5/2) = g( f(5/2))

∵ f(x) = [x], इसलिए f(5/2) = [5/2] = 2

⇒ g o f(5/2) = g(2)

∵ g(x) = 2x इसलिए, g(2) = 4

⇒ g o f(5/2) = 4---------(2)

अब, (1) और (2) से हमें निम्न प्राप्त होता है,

⇒ g o f(- 3/2) + g o f(5/2) = 4 + 1/4 = 17/4

संकल्पना:

सबसे छोटा पूर्णांक फलन: (सीलिंग फलन)

फलन f (x) = [x] को सबसे छोटे पूर्णांक फलन कहा जाता है और इसका अर्थ है कि सबसे छोटा पूर्णांक x से अधिक या उसके बराबर है अर्थात् [x] ≥ x है। 

यदि f :A → B और g : C → D है। तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = [x], जहाँ [.] सबसे छोटे पूर्णांक फलन को दर्शाता है और g(x) = 5x  है। 

यहाँ, हमें g o f(1/2) + g o f(- 3/2) का मान ज्ञात करना है। 

सर्वप्रथम हम g o f(1/2) का मान ज्ञात करते हैं

⇒ g o f(1/2) = g( f(1/2))

∵ f(x) = [x] इसलिए, f(1/2) = [1/2] = 1

⇒ g o f(1/2) = g(1)

∵ g(x) = 5x इसलिए, g(1) = 5

इसलिए, g o f(1/2) = 5-----------(1)

उसीप्रकार, g o f(- 3/2) का मान ज्ञात करते हैं

⇒ g o f(- 3/2) = g( f(- 3/2))

∵ f(x) = [x] इसलिए, f(- 3/2) = [- 3/2] = - 1

⇒ g o f(- 3/2) = g(- 1)

∵ g(x) = 5x इसलिए, g(- 1) = 1/5

इसलिए, g o f(1/2) = 1/5-----------(2)

अब, (1) और (2) से हमें निम्न प्राप्त होता है, 

⇒ g o f(1/2) + g o f(- 3/2) = 5 + 1/5 = 26/5

संकल्पना:

लघुतम पूर्णांक फलन: (सीलिंग फलन)

फलन f (x) = [x] को लघुतम पूर्णांक फलन कहा जाता है और इसका अर्थ है कि लघुतम पूर्णांक x से अधिक या उसके बराबर है अर्थात् [x) ≥ x है। 

यदि f :A → B और g : C → D है

तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन

अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: 

f(x) = ex और g(x) = ⌈x) जहाँ ⌈.⌉ सबसे छोटे पूर्णांक फलन को दर्शाता है

यहाँ, हमें f o g(9/2) का मान ज्ञात करना है। 

⇒ f o g(9/2) = f(g(9/2))

चूँकि g(x) = [x]

⇒ g(9/2) = [4.5) = 5

⇒ f o g(9/2) = f(5)

चूँकि, f(x) = ex 

⇒ f(5) = e5

अतः f o g(9/2) = e5

संकल्पना:

आधार नियम:

यदि xवें घांत तक संवर्धित b, yवें घांत तक संवर्धित b के बराबर है, तो इसका अर्थ है कि x = y है।"

\(\rm b^x = b^y \) ⇒ x = y

गणना:

दिया गया समीकरण 4x - 3(2x + 3) + 128 = 0 है। 

⇒ \(\rm (2^2)^x - 3 (2^x.2^3) + 128 = 0\)

⇒ \(\rm (2^x)^2 - 24 (2^x) + 128 = 0\)

⇒ \(\rm (2^x)^2 - 16 (2^x) - 8(2^x)+ 128 = 0\)

⇒ \(\rm (2^x - 16)(2^x - 8) = 0\)

⇒ \(\rm 2^x = 16 \;\;\text{or}\;\; 2^x = 8\)

⇒ \(\rm 2^x = 2^4 \;\;\text{or}\;\; 2^x = 2^3\)

⇒ x = 4 या x = 3

समीकरण 4x - 3(2x + 3) + 128 = 0 के मूल 4 और 3 हैं। 

इसका योग = 4 + 3 = 7