Definite Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Definite Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

फलन \( f(x) = \lfloor x^2 \rfloor \) है। 

हमें \( \int_{\sqrt{2}}^{2} f(x) dx \) का मान ज्ञात करना है।

हम समाकल को दो भागों में इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:

\( \int_{\sqrt{2}}^{2} f(x) dx = \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} 3 dx \)

परिसर \( \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{3} \) के लिए, \( \lfloor x^2 \rfloor = 2 \) है। 

इसलिए, समाकल का पहला भाग है:

\( \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx = 2 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \)

परिसर \( \sqrt{3} \leq x \leq 2 \) के लिए, \( \lfloor x^2 \rfloor = 3 \) है। 

इसलिए, समाकल का दूसरा भाग है:

\( \int_{\sqrt{3}}^{2} 3 dx = 3 \times (2 - \sqrt{3}) \)

अब, हम मानों की गणना करते हैं:

\( 2 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \)

\( 3 \times (2 - \sqrt{3}) = 6 - 3\sqrt{3} \)

दोनों भागों को मिलाने पर:

\( 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3} = 6 - 2\sqrt{2} - \sqrt{3} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन \( f(x) = \left\lfloor x^2 \right\rfloor \) है, जहाँ \( \left\lfloor x^2 \right\rfloor \) महत्तम पूर्णांक फलन है।

हमें ज्ञात करना है:

\( \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\sqrt{3}} \left\lfloor x^2 \right\rfloor \, dx \)

फलन के आधार पर समाकल को वियोजित करने पर:

\(\frac{\sqrt{3}}{2} \leq x < 1 \) के लिए, x², \(\frac{3}{4} \) और 1 के बीच है, इसलिए \(\left\lfloor x^2 \right\rfloor = 0 \) है। इसलिए,

\( \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 0 \, dx = 0 \)

\( 1 \leq x < \sqrt{2} \) के लिए, x²,1 और 2 के बीच है, इसलिए \(\left\lfloor x^2 \right\rfloor = 1 .\) है। इसलिए,

\( \int_1^{\sqrt{2}} 1 \, dx = \sqrt{2} - 1 \)

\(\sqrt{2} \leq x < \sqrt{3} \) के लिए, x², 2 और 3 के बीच है, इसलिए \(\left\lfloor x^2 \right\rfloor = 2\) है। इसलिए,

\( \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 \, dx = 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \)

सभी परिणामों को जोड़ने पर:

\( \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\sqrt{3}} \left\lfloor x^2 \right\rfloor \, dx = 0 + (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \)

= \( 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

\(\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {e^{\left| x \right|}}dx.\)

\(= \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 {e^{ - x}}dx + \mathop \smallint \limits_0^1 {e^x}dx\)

\(= \left[ { - {e^{ - x}}} \right]_1^0 + \left[ {{e^x}} \right]_0^1\)

= [-e^-0 + e¹] + [e¹ - e⁰]

= -1 + e¹ + e - 1

संकल्पना:

निश्चित समाकल गुण:

\(\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;dx}} = \mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{x}}} \right){\rm{\;dx}}\)
गणना:

माना कि f(x) = x(1 – x)⁹

अब गुण का प्रयोग करने पर, \(\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;dx}} = \mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{x}}} \right){\rm{\;dx}}\)

\(\mathop \smallint \nolimits_0^1 {\rm{x}}{(1 - {\rm{x}})^9}{\rm{dx}} = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {1 - {\rm{x}}} \right){\left\{ {1 - \left( {1 - {\rm{x}}} \right)} \right\}^9}{\rm{dx}}\)

\(= \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {1 - {\rm{x}}} \right){{\rm{x}}^9}{\rm{dx}}\)

\(= \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {{{\rm{x}}^9} - {{\rm{x}}^{10}}} \right){\rm{dx}}\)

\(= \left[ {\frac{{{{\rm{x}}^{10}}}}{{10}} - \frac{{{{\rm{x}}^{11}}}}{{11}}} \right]_0^1\)

= 1/10 – 1/11

= 1/110

∴ समाकलन \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 {\rm{x}}{(1 - {\rm{x}})^9}{\rm{dx}}\) का मान 1/110 है।

संकल्पना:

\(\rm \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\; \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c\)

गणना:

माना कि I = \(\displaystyle\int_0^2 \rm \dfrac{dx}{x^2+4}\) है। 

= \(\displaystyle\int_0^2 \rm \dfrac{dx}{x^2+2^2}\)

\(= \rm [\frac{1}{2}\; \tan^{-1}(\frac{x}{2})] _{0}^{2}\)

\(= \rm [\frac{1}{2}\; \tan^{-1}1 -\frac{1}{2}\; \tan^{-1}0 ]\)

\(= \rm \frac{1}{2}\times \frac{\pi}{4} - 0\)

= \(\rm \dfrac{\pi}{8}\)

संकल्पना:

\(\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{x}}} \right){\rm{dx}}\)

गणना:

माना कि I = \(\rm \int _{0}^{2π} \frac{\sin 2x}{a -b\cos x}dx\)  है।        ----(1)

गुण f(a + b – x) का प्रयोग करने पर,

I = \(\rm \int _{0}^{2π} \frac{\sin 2(2π -x)}{a -b\cos (2π -x) }dx\)   

चूँकि हम जानते हैं, sin (2π - x) = - sin x और cos (2π - x) = cos x

I = \(\rm \int _{0}^{2π} \frac{-\sin 2x}{a -b\cos x}dx\)         ----(2)       

I = -I

2I = 0

∴ I = 0

संकल्पना:

\(\rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)

गणना:

I = \(\rm \int_{1}^{\infty} \frac{4}{x^4}dx\)

= \(\rm \int_{1}^{\infty}4{x^{-4}}dx\)

= \(\rm \left[\frac{4x^{-3}}{-3} \right ]_1^{\infty}\)

= \(\rm \frac{-4}{3}\left[\frac{1}{x^3} \right ]_1^{\infty}\)

= \(\rm \frac{-4}{3}\left[\frac{1}{\infty} - \frac{1}{1}\right ]\)

= \(\rm \frac{-4}{3}[0-1]\)

= \(\frac 4 3\)

अवधारणा:

\(\rm \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx = \displaystyle\int_{a}^{b} f(a+b-x) dx\)

गणना:

मान लीजिए कि, I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+ \sqrt{\cos x}}dx\)             ....(1)

I = \(\rm \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)}+ \sqrt{\cos (\dfrac{\pi}{2}-x)}}dx\)

I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+ \sqrt{\sin x}}dx\)                           ....(2)

(1) और (2) जोड़कर हमारे पास है

2I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\cos x}+ \sqrt{sinx}}{\sqrt{\cos x}+ \sqrt{\sin x}}dx\)

2I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2}dx\)

2I = \(\rm[x]^\frac{\pi}{2}_0\)

I = \(\dfrac{\pi}{4}\)

संकल्पना:

\(\rm \dfrac{d(\ln x)}{dx} = \dfrac{1}{x}\)

गणना:

माना कि I = \(\rm \int_{1}^{e}\frac{dx}{x\sqrt{2+\ln x}}\) है। 

माना कि (2 + ln x) = t²  है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ (0 + \(\rm \frac 1 x\))dx = 2tdt

⇒ \(\rm \frac 1 x\)dx = 2tdt

अब, 

\(\rm I=\rm \int_{\sqrt 2}^{\sqrt 3}\frac{2tdt}{\sqrt{t^2}}\\=2\int_{\sqrt 2}^{\sqrt 3}\frac{tdt}{t}\\=2\int_{\sqrt 2}^{\sqrt 3}dt\\=2[t]_{\sqrt 2}^{\sqrt 3}\\=2(\sqrt 3- \sqrt 2)\)

संकल्पना:

\(\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{x}}} \right){\rm{dx}}\)

गणना:

माना कि I = \(\rm \int _0^{\pi} \sin^6 x \cos^5 x\;dx\) है।            .... (1)

गुण f(a + b – x) का प्रयोग करने पर,

I = \(\rm \int _0^{\pi} \sin^6 (\pi -x) \cos^5 (\pi -x)\;dx\)

चूँकि हम जानते हैं, sin (π - x) = sin x और cos (π - x) = -cos x

I = -\(\rm \int _0^{\pi} \sin^6 x \cos^5 x\;dx\)                .... (2)

I = -I

2I = 0

∴ I = 0

संकल्पना:

f(x) = |x| निम्न के बराबर होगा

• x, यदि x > 0
• -x, यदि x < 0
• 0, यदि x = 0

∫ dx = x + C  (C स्थिरांक है।)

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/n+1 + C

गणना:

माना कि \(I = \int^{-1}_{-2}\frac{x}{|x|}dx\)  है।

उपरोक्त संकल्पना का प्रयोग करने पर, x ∈ (-2, -1) के रूप में

⇒ \(I=∫^{-1}_{-2}\frac{x}{-x}dx\)

⇒ \(I=-1∫^{-1}_{-2}(1)dx\)

⇒ \(I=-[x]^{-1}_{-2}\)  

⇒ I = -[-1 - (-2)] 

∴  \(\int^{-1}_{-2}\frac{x}{|x|}dx\) = -1

संकल्पना:

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\)+ C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ ex dx = ex+ C

गणना:

I = \(\rm\int {2x+1\over\left({x^2+x+1}\right)^2}dx\)

माना कि x2 + x + 1 = t है। 

⇒ (2x + 1) dx = dt

I = \(\rm \int {dt\over t^2}\)

I = \(\rm {t^{-1}\over{-1}}\)

I = \(\rm -1\over t\)

I = \(\rm -1\over x^2+x+1\)

सीमाओं को रखने पर

I = \(\rm \left[-1\over x^2+x+1\right]_{-1}^1\)

I = \(\rm {-1\over 1^2+1+1} - \left({-1\over (-1)^2+(-1)+1}\right)\)

I = \(\rm 1-{1\over3}\) = \(\boldsymbol{2\over3}\)

धारणा:

• \(\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 0\)

गणना:

हम जानते हैं, \(\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 0\)

यहां, समाकलन की सीमा समान है (यानी., π/4)

\(\therefore \mathop \smallint \nolimits_{\frac{{\rm{\pi }}}{4}}^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \frac{{\cos \left( {{{\rm{e}}^{3{\rm{x}}}}} \right)}}{{{{\rm{x}}^4} + {{\rm{x}}^3} + 1}} = 0\)

इसलिए, विकल्प (3) सही है।