Congruence and Similarity MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Congruence and Similarity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

BC = 6 सेमी 

प्रयुक्त अवधारणा:

दो त्रिभुजों को सर्वांगसम कहा जाता है यदि तीनों संगत भुजाएँ समान होती हैं और तीनों संगत कोण माप में समान होते हैं।

गणना:

यदि त्रिभुज ABC और PQR सर्वांगसम हैं, तो

∠A = ∠Q और ∠B = ∠R

Δ PQR की भुजा QR, Δ ABC की भुजा BC के बराबर होनी चाहिए ताकि दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हो जाएँ। 

अतः, सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया:

∆ABC में, DE || BC तथा 5AE = 3EC. AB = 6.4 इकाई.

प्रयुक्त सूत्र:

मूल आनुपातिकता प्रमेय (BPT)

गणना:

5AE = 3EC

⇒ AE/EC = 3/5

BPT द्वारा,

AE/EC = AD/DB

⇒ AD/DB = 3/5

⇒ DB/AD = 5/3

⇒ (DB + AD)/AD = (5 + 3)/3

⇒ AB/AD = 8/3

⇒ 6.4/AD = 8/3

⇒ AD = 6.4 × 3/8 = 2.4 इकाई

⇒ DB = AB - AD = 6.4 - 2.4 = 4 इकाई

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

△DEF में, DE = 12 सेमी, EF = 15 सेमी, और ∠DEF = 90° है।

△DEF, △XYZ के सर्वांगसम है।

YZ = 15 सेमी है।

प्रयुक्त सूत्र:

समकोण त्रिभुज में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

गणना:

△DEF में:

DE² + EF² = DF²

⇒ 12² + 15² = DF²

⇒ 144 + 225 = DF²

⇒ DF² = 369

⇒ DF =

⇒ DF =

चूँकि △DEF, △XYZ के सर्वांगसम है, इसलिए संगत भुजाएँ बराबर हैं।

इसलिए, XZ की लंबाई सेमी है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

दिया गया है:

△ABC और △PQR सर्वांगसम हैं।

AB = 8 = PQ

BC = 10 = QR

∠B = 35°

प्रयुक्त सूत्र:

किसी त्रिभुज के कोणों का योग = 180°

यदि दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं, तो संगत कोण बराबर होते हैं।

गणना:

चूँकि △ABC और △PQR सर्वांगसम हैं:

∠B = ∠Q = 35°

△ABC में:

∠A + ∠B + ∠C = 180°

माना, ∠A = a और ∠C = c

⇒ a + 35° + c = 180°

⇒ a + c = 145°

चूँकि △PQR, △ABC के सर्वांगसम है:

∠P = ∠A

इसलिए, ∠P = a

∠P + ∠C ज्ञात करने के लिए:

∠P + ∠C = a + c

ऊपर की गणना से:

⇒ a + c = 145°

∠P + ∠C = 145°

∠P + ∠C का मान 145° है।

दिया गया है:

ΔABC और ΔDEF दो त्रिभुज इस प्रकार हैं कि ΔABC ≅ ΔFDE

AB = 17 cm

∠B = 52º

∠A = 95º

प्रयुक्त सूत्र:

सर्वांगसम त्रिभुजों में, संगत भुजाएँ और कोण समान होते हैं।

किसी त्रिभुज के कोणों का योगफल = 180º

गणना:

ΔABC में:

∠C = 180º - ∠A - ∠B

∠C = 180º - 95º - 52º

∠C = 33º

सर्वांगसम त्रिभुजों ΔABC और ΔFDE में:

∠A = ∠F, ∠B = ∠D, ∠C = ∠E

इसलिए, ∠E = ∠C = 33º

और AB = DF

⇒ DF = 17 cm

सही उत्तर विकल्प 2 है: DF = 17 cm, ∠E = 33º

दिया गया है:

BC = 16 cm, BD = 11 cm और ∠ADC = ∠BAC

संकल्पना:

यदि दो त्रिभुजों के दो कोण और एक भुजा बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होंगे।

गणना:

ΔABC और ΔADC में

⇒ ∠ADC = ∠BAC

⇒ ∠C = दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ कोण

⇒ AC = उभयनिष्ठ भुजा

इसलिए, ΔABC और ΔADC समरूप त्रिभुज हैं।

⇒ 

⇒ AC² = BC × DC

⇒ AC² = 16 × 5 = 80

⇒ AC = 4√5

∴ अभीष्ट परिणाम 4√5 होगा।

दिया गया है:

AB = DB और AC = DC,

∠ABD = 58° और ∠DBC = (2x - 4)°, 

∠ACB = (y + 15)° और ∠DCB = 63°

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की संगत तीन भुजाओं के बराबर हों, तो SSS (भुजा-भुजा-भुजा) नियम के अनुसार दोनों त्रिभुज सर्वांगसम कहलाते हैं।

गणना:

चूँकि AB = DB, AC = DC है और BC दोनों त्रिभुजों के लिए उभयनिष्ठ है।

इसलिए, ΔABC ≅ ΔDBC

इसलिए, ∠ABC = ∠DBC = ∠ABD/2

⇒ 58°/2 = 29°

इसलिए,

(2x - 4)° = 29°

⇒ 2x = 33°

पुनः,

∠ACB = ∠DCB = 63°

इसलिए,

(y + 15)° = 63°

⇒ y = 48°

इसलिए,

2x + 5y = 33° + 5 × 48°

⇒ 33° + 240°

⇒ 273°

∴ अभीष्ट उत्तर 273° है।

दिया गया है:

समरूप त्रिभुजों ΔABC और ΔDEF का क्षेत्रफल क्रमशः x2 सेमी2 तथा y2 सेमी2 है।

EF = a सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि दो त्रिभुज समरूप हों, तो दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के समानुपाती होता है।

गणना:

चूँकि ΔABC ∼ ΔDEF

इसलिए, (BC/EF)2 = ΔABC का क्षेत्रफल/ΔDEF का का क्षेत्रफल

⇒ BC2/a2 = x2/y2

⇒ BC/a = x/y

⇒ BC = ax/y

∴ BC का मान (सेमी में)  है।

दिया गया:

AD : DB = 7 : 9

DE ∥ BC

गणना:

AD : DB = 7 : 9

अतः, AD : AB = 7 : (7 + 9) = 7 : 16

ΔADE और ΔABC में

∠ ADE = ∠ ABC    --- ( संगत कोण )

∠ AED = ∠ ACB   --- ( संगत कोण )

∠ A = ∠ A      --- (उभयनिष्ठ कोण)

अतः, ΔADE ∼ ΔABC

AD : AB = DE : BC = 7 : 16

अब,

ΔDEF और ΔBCF में

∠ DEF = ∠ FBC        ---(एकांतर कोण)

∠ EDF = ∠ FCB         ---(एकांतर कोण)

∠ DFE = ∠ BFC        --- ( विपरीत कोण)

अतः, ΔDEF ∼ ΔBCF में

इस प्रकार, ΔDEF और ΔCBF के क्षेत्र

⇒ DE2 : BC2

⇒ 72 : 162

⇒ 49 : 256

∴ सही विकल्प 3 है

प्रयुक्त अवधारणा:

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं और माध्यिकाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

गणना

चूँकि DE, ΔABC के क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।

अर्थात ar(ΔADE) = ar(DEBC)

⇒ ar(ΔADE) = ar(ΔABC)/2

⇒ ar(ΔABC)/ar(ΔADE) = 2

अब,

ΔABC ∼ ΔADE (AAA समरूपता के द्वारा)

So,

 ar(ΔABC)/ar(ΔADE) = (AB/AD)2

⇒ 2 = AB2/AD2

⇒ AB2/AD2 = 2

⇒ AB = √2AD 

⇒ AB = √2(AB - DB)

⇒ √2AB - AB = √2DB

⇒ AB(√2 - 1) = √2DB

∴ DB/AB = (√2 - 1)/√2

सही उत्तर (√2 - 1) :√2 है। 

गणना:

सर्वांगसम त्रिभुजों ΔABC और ΔXYZ में, यदि m∠C = m∠Z और AC = XZ है, तो,

भुजा-कोण-भुजा स्वयं सिद्ध प्रमाण के अनुसार, सर्वांगसमता के लिए दोनों त्रिभुजों के दोनों भुजाएँ और सम्मिलित कोण बराबर होनी चाहिए,

⇒ ∠ABC = ∠XYZ और AB = XY

और,

⇒ ∠ACB = ∠YZX

तो, BC = YZ

∴ सही कथन BC = YZ है।

Mistake Points

कृपया ध्यान दें कि भुजा-कोण-भुजा अभिधारणा के अनुसार, सर्वांगसमता के लिए दोनों त्रिभुजों के दोनों भुजाएँ और सम्मिलित कोण बराबर होनी चाहिए।

दिया गया है:

KI = IT; EK = ET 

∠KET = 150° 

गणना:

△KEI और △TEI में,

⇒ KI = IT (दिया गया है)

⇒ EK = ET (दिया गया है)

⇒ EI = EI (उभयनिष्ठ)

△KEI ≅ △TEI (भुजा-भुजा-भुजा)

⇒ ∠ KEI = ∠ TEI (C.P.C.T. द्वारा)

अब,

⇒ ∠KET + ∠KEI + ∠TEI = 360° 

⇒ 150° + 2 × ∠TEI = 360°

⇒ 2 × ∠TEI = 360° - 150°

⇒ ∠TEI = 210/2 = 105°

∴ सही उत्तर 105° है।

दिया गया है

दिया गया है:

एक 7-मंजिला इमारत की परछाई 28 मीटर लंबी है।

गणना:

माना कि इमारत की मंजिलों की संख्या x है।

प्रश्नानुसार,

7/28 = x /48

⇒ x = 12

∴ सही विकल्प 4 है।

दिया गया है:

AB = AD = 7 सेमी और AC = AE और BC = 11 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

समरूपता की अवधारणा के अनुसार, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ, दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समान अनुपात में हों और दोनों त्रिभुजों में दोनों भुजाओं द्वारा बनाया गया कोण बराबर हो, तो दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं।

गणना:

चूँकि AB = AD, और AC = AE, अवधारणा के अनुसार,

ΔABC ∼ ΔADE

अतः, AB/AD = BC/ED = AC/AE

अब, AB/AD = BC/ED

⇒ 1 = 11/ED (∵ AB = AD)

⇒ ED = 11

∴ ED की लंबाई 11 सेमी है।