Blackbody Radiation and Planck's Distribution Law MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Blackbody Radiation and Planck's Distribution Law - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

d-आयामों में एक मुक्त फर्मी गैस के लिए (स्पिन को अनदेखा करते हुए):

T = 0 पर प्रति कण औसत ऊर्जा (अर्थात, प्रति कण आधार ऊर्जा) है:

= (d / (d + 2)) E_F

4D स्थिति के लिए:

d = 4 सेट करें,

इसलिए, = (4 / (4 + 2)) E_F = (4 / 6) E_F = (2 / 3) E_F

व्याख्या:

आइए हम समस्या का विश्लेषण करें और प्रत्येक प्रकार की सांख्यिकी के लिए दो ऊर्जा अवस्थाओं में दो कणों को वितरित करने के तरीकों की संख्या की गणना करें:

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान (MB):

कण प्रभेद्य हैं।

प्रत्येक कण स्वतंत्र रूप से दोनों ऊर्जा अवस्थाओं में से किसी में भी हो सकता है।

संभावित विन्यास हैं: (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)

जहाँ पहली और दूसरी संख्या दो प्रभेद्य कणों की अवस्थाओं को दर्शाती है।

कुल विन्यास: 4

बोस-आइंस्टाइन (BE):

कण अप्रभेद्य हैं, और एक अवस्था की बहु-आदर्शता की अनुमति है।

संभावित विन्यास हैं: (1, 1), (1, 2).

यहाँ, (1, 2) विभिन्न अवस्थाओं में दोनों कणों को दर्शाता है, लेकिन चूँकि वे अप्रभेद्य हैं, इसलिए हम इसे एक विन्यास के रूप में गिनते हैं।

कुल विन्यास: 3

फर्मी-डिराक (FD):

कण अप्रभेद्य हैं, और पाउली अपवर्जन सिद्धांत के कारण, कोई भी दो कण एक ही अवस्था में नहीं हो सकते हैं।

केवल संभावित विन्यास है: (1, 2)

कुल विन्यास: 2

अनुपात \(N_{MB} : N_{BE} : N_{FD}\): 4:3:2 है। 

इस प्रकार, विकल्प '4' सही है।

व्याख्या:

1. वीन का विस्थापन नियम:
अधिकतम तीव्रता के संगत आवृत्ति (\( \nu_{\text{max}} \) ) तापमान के साथ बदलती है।
संबंध:\( \nu_{\text{max}} \propto T\) .
यदि T बढ़कर 4\(T_0\) हो जाता है, तो अधिकतम तीव्रता के संगत आवृत्ति:

\( \nu_{\text{max,new}} = 4 \nu_{\text{max}} \)
विकल्प 1 सही है।

2. अधिकतम बिंदु पर तीव्रता:
स्टीफन-बोल्ट्जमान नियम के अनुसार अधिकतम बिंदु पर तीव्रता T^4 के समानुपाती होती है।
जब T को T₀ से 4T₀ तक बढ़ाया जाता है, तो अधिकतम पर तीव्रता:

\(\left( 4T_0 \right)^4 = 256 \times (I_{\text{initial}}) \)
इसका अर्थ है कि कुल ऊर्जा 256 के गुणक से बढ़ जाती है।
हालाँकि, विकल्प 2 16 गुना के बारे में बात करता है, जो गलत है।

3. कुल उत्सर्जित ऊर्जा:
स्टीफन-बोल्ट्जमान नियम के अनुसार, प्रति इकाई क्षेत्रफल उत्सर्जित कुल ऊर्जा \(T^4\) के समानुपाती होती है।
T को 4\(T_0 \) तक बढ़ाने पर:

\(E_{\text{new}} = (4T_0)^4 = 256 E_0\)

विकल्प 3 सही है।

4. अधिकतम तरंगदैर्ध्य:
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, \(\lambda_{\text{max}} \propto \frac{1}{T}\) .
यदि T बढ़कर 4\(T_0\) हो जाता है, तो:

\( \lambda_{\text{max,new}} = \frac{\lambda_{\text{max}}}{4}\)

विकल्प 4 इसे गलत तरीके से \( \lambda_{\text{max}}/4\) के रूप में अधिकतम तरंगदैर्ध्य के लिए वर्णित करता है।

सही विकल्प
विकल्प 1: सत्य है।
विकल्प 3: सत्य है।

व्याख्या:

कॉम्पटन प्रकीर्णन सूत्र
कॉम्पटन प्रकीर्णन के कारण तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन ( \(\Delta \lambda \) ) इस प्रकार दिया गया है:

\(\Delta \lambda = \frac{h}{m_e c} (1 - \cos\theta) \)

जहाँ:
\(\frac{h}{m_e c} = 0.0243 \, \text{Å} \) इलेक्ट्रॉन की कॉम्पटन तरंगदैर्ध्य है।
\(\theta\) प्रकीर्णन कोण है।

1. \(\theta = 180^\circ \) पर X-किरणों के लिए:
\( \theta = 180^\circ ,\) पर \( (\Delta \lambda)_{\text{max}} \) अधिकतम है:

\( \Delta \lambda_{\text{max}} = 2 \times 0.0243 = 0.0486 \, \text{Å}\)

कथन 1: सही है।

2. \( \theta = 90^\circ\) पर गामा किरणों के लिए:
\(At \theta = 90^\circ :\)

\(\Delta \lambda = 0.0243 \, \text{Å} \times (1 - \cos 90^\circ) = 0.0243 \, \text{Å}\)

प्रकीर्णित तरंगदैर्ध्य (\( \lambda' \) ) लगभग है:

\(\lambda' = 0.030 + 0.0243 = 0.0543 \, \text{Å}\)

कथन 2: गलत है, \(\lambda'\) लगभग 0.035 Å नहीं है।

3. \(\theta = 90^\circ : - \Delta \lambda = 0.0243 \, \text{Å}\) पर X-किरणों के लिए:
प्रकीर्णित तरंगदैर्ध्य ( \(\lambda'\) ):

\( \lambda' = 1.000 + 0.0243 = 1.0243 \, \text{Å}\)

मान 1.098 Å नहीं है।
कथन 3: गलत है।

4. गामा किरणों के लिए, अधिकतम \(\Delta \lambda\) :
\( \theta = 180^\circ\) पर गामा किरणों के लिए अधिकतम \(\Delta \lambda_{\text{max}} \) :

\( \Delta \lambda_{\text{max}} = 0.0486 \, \text{Å} \)
गामा किरणों के लिए, \(\Delta \lambda_{\text{max}} \) 0.005 Å के करीब होना चाहिए, जैसा कि कहा गया है।
कथन 4: सही है।

सही कथन
विकल्प 1: सही है।
विकल्प 4: सही है।

व्याख्या:

फर्मी गैस में,

\(PV = NkT \left[ 1 + \frac{\pi^{3/2}}{2} \frac{\rho \hbar^3}{(mkT)^{3/2}} \right] \\ \)

बोस गैस में,

\(PV = NkT \left[ 1 - \frac{\pi^{3/2}}{2} \frac{\rho \hbar^3}{(mkT)^{3/2}} \right] \\\)

MB गैस में,

\(PV = NkT\)

इस प्रकार, V और N स्थिर हैं, तुलना करने पर हम देख सकते हैं कि PFD > PMB > PBE है। 

इस प्रकार सही विकल्प (1): PFD > PMB > PBE है। 

व्याख्या:

फर्मी गैस में,

\(PV = NkT \left[ 1 + \frac{\pi^{3/2}}{2} \frac{\rho \hbar^3}{(mkT)^{3/2}} \right] \\ \)

बोस गैस में,

\(PV = NkT \left[ 1 - \frac{\pi^{3/2}}{2} \frac{\rho \hbar^3}{(mkT)^{3/2}} \right] \\\)

MB गैस में,

\(PV = NkT\)

इस प्रकार, V और N स्थिर हैं, तुलना करने पर हम देख सकते हैं कि PFD > PMB > PBE है। 

इस प्रकार सही विकल्प (1): PFD > PMB > PBE है। 

व्याख्या:

फर्मी गैस में,

\(PV = NkT \left[ 1 + \frac{\pi^{3/2}}{2} \frac{\rho \hbar^3}{(mkT)^{3/2}} \right] \\ \)

बोस गैस में,

\(PV = NkT \left[ 1 - \frac{\pi^{3/2}}{2} \frac{\rho \hbar^3}{(mkT)^{3/2}} \right] \\\)

MB गैस में,

\(PV = NkT\)

इस प्रकार, V और N स्थिर हैं, तुलना करने पर हम देख सकते हैं कि PFD > PMB > PBE  है।   

इस प्रकार सही विकल्प (1): PFD > PMB > PBE  है।   

गणना:

d-आयामों में एक मुक्त फर्मी गैस के लिए (स्पिन को अनदेखा करते हुए):

T = 0 पर प्रति कण औसत ऊर्जा (अर्थात, प्रति कण आधार ऊर्जा) है:

= (d / (d + 2)) E_F

4D स्थिति के लिए:

d = 4 सेट करें,

इसलिए, = (4 / (4 + 2)) E_F = (4 / 6) E_F = (2 / 3) E_F

व्याख्या:

आइए हम समस्या का विश्लेषण करें और प्रत्येक प्रकार की सांख्यिकी के लिए दो ऊर्जा अवस्थाओं में दो कणों को वितरित करने के तरीकों की संख्या की गणना करें:

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान (MB):

कण प्रभेद्य हैं।

प्रत्येक कण स्वतंत्र रूप से दोनों ऊर्जा अवस्थाओं में से किसी में भी हो सकता है।

संभावित विन्यास हैं: (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)

जहाँ पहली और दूसरी संख्या दो प्रभेद्य कणों की अवस्थाओं को दर्शाती है।

कुल विन्यास: 4

बोस-आइंस्टाइन (BE):

कण अप्रभेद्य हैं, और एक अवस्था की बहु-आदर्शता की अनुमति है।

संभावित विन्यास हैं: (1, 1), (1, 2).

यहाँ, (1, 2) विभिन्न अवस्थाओं में दोनों कणों को दर्शाता है, लेकिन चूँकि वे अप्रभेद्य हैं, इसलिए हम इसे एक विन्यास के रूप में गिनते हैं।

कुल विन्यास: 3

फर्मी-डिराक (FD):

कण अप्रभेद्य हैं, और पाउली अपवर्जन सिद्धांत के कारण, कोई भी दो कण एक ही अवस्था में नहीं हो सकते हैं।

केवल संभावित विन्यास है: (1, 2)

कुल विन्यास: 2

अनुपात \(N_{MB} : N_{BE} : N_{FD}\): 4:3:2 है। 

इस प्रकार, विकल्प '4' सही है।

व्याख्या:

1. वीन का विस्थापन नियम:
अधिकतम तीव्रता के संगत आवृत्ति (\( \nu_{\text{max}} \) ) तापमान के साथ बदलती है।
संबंध:\( \nu_{\text{max}} \propto T\) .
यदि T बढ़कर 4\(T_0\) हो जाता है, तो अधिकतम तीव्रता के संगत आवृत्ति:

\( \nu_{\text{max,new}} = 4 \nu_{\text{max}} \)
विकल्प 1 सही है।

2. अधिकतम बिंदु पर तीव्रता:
स्टीफन-बोल्ट्जमान नियम के अनुसार अधिकतम बिंदु पर तीव्रता T^4 के समानुपाती होती है।
जब T को T₀ से 4T₀ तक बढ़ाया जाता है, तो अधिकतम पर तीव्रता:

\(\left( 4T_0 \right)^4 = 256 \times (I_{\text{initial}}) \)
इसका अर्थ है कि कुल ऊर्जा 256 के गुणक से बढ़ जाती है।
हालाँकि, विकल्प 2 16 गुना के बारे में बात करता है, जो गलत है।

3. कुल उत्सर्जित ऊर्जा:
स्टीफन-बोल्ट्जमान नियम के अनुसार, प्रति इकाई क्षेत्रफल उत्सर्जित कुल ऊर्जा \(T^4\) के समानुपाती होती है।
T को 4\(T_0 \) तक बढ़ाने पर:

\(E_{\text{new}} = (4T_0)^4 = 256 E_0\)

विकल्प 3 सही है।

4. अधिकतम तरंगदैर्ध्य:
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, \(\lambda_{\text{max}} \propto \frac{1}{T}\) .
यदि T बढ़कर 4\(T_0\) हो जाता है, तो:

\( \lambda_{\text{max,new}} = \frac{\lambda_{\text{max}}}{4}\)

विकल्प 4 इसे गलत तरीके से \( \lambda_{\text{max}}/4\) के रूप में अधिकतम तरंगदैर्ध्य के लिए वर्णित करता है।

सही विकल्प
विकल्प 1: सत्य है।
विकल्प 3: सत्य है।

व्याख्या:

कॉम्पटन प्रकीर्णन सूत्र
कॉम्पटन प्रकीर्णन के कारण तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन ( \(\Delta \lambda \) ) इस प्रकार दिया गया है:

\(\Delta \lambda = \frac{h}{m_e c} (1 - \cos\theta) \)

जहाँ:
\(\frac{h}{m_e c} = 0.0243 \, \text{Å} \) इलेक्ट्रॉन की कॉम्पटन तरंगदैर्ध्य है।
\(\theta\) प्रकीर्णन कोण है।

1. \(\theta = 180^\circ \) पर X-किरणों के लिए:
\( \theta = 180^\circ ,\) पर \( (\Delta \lambda)_{\text{max}} \) अधिकतम है:

\( \Delta \lambda_{\text{max}} = 2 \times 0.0243 = 0.0486 \, \text{Å}\)

कथन 1: सही है।

2. \( \theta = 90^\circ\) पर गामा किरणों के लिए:
\(At \theta = 90^\circ :\)

\(\Delta \lambda = 0.0243 \, \text{Å} \times (1 - \cos 90^\circ) = 0.0243 \, \text{Å}\)

प्रकीर्णित तरंगदैर्ध्य (\( \lambda' \) ) लगभग है:

\(\lambda' = 0.030 + 0.0243 = 0.0543 \, \text{Å}\)

कथन 2: गलत है, \(\lambda'\) लगभग 0.035 Å नहीं है।

3. \(\theta = 90^\circ : - \Delta \lambda = 0.0243 \, \text{Å}\) पर X-किरणों के लिए:
प्रकीर्णित तरंगदैर्ध्य ( \(\lambda'\) ):

\( \lambda' = 1.000 + 0.0243 = 1.0243 \, \text{Å}\)

मान 1.098 Å नहीं है।
कथन 3: गलत है।

4. गामा किरणों के लिए, अधिकतम \(\Delta \lambda\) :
\( \theta = 180^\circ\) पर गामा किरणों के लिए अधिकतम \(\Delta \lambda_{\text{max}} \) :

\( \Delta \lambda_{\text{max}} = 0.0486 \, \text{Å} \)
गामा किरणों के लिए, \(\Delta \lambda_{\text{max}} \) 0.005 Å के करीब होना चाहिए, जैसा कि कहा गया है।
कथन 4: सही है।

सही कथन
विकल्प 1: सही है।
विकल्प 4: सही है।

व्याख्या:

पराबैंगनी आपदा उच्च आवृत्तियों (पराबैंगनी क्षेत्र और उससे आगे) पर कृष्णिका विकिरण के ऊर्जा घनत्व के शास्त्रीय पूर्वानुमान को संदर्भित करता है जो अनंत की ओर जाता है, जो प्रायोगिक अवलोकनों का खंडन करता है।

रेले-जीन धारणा
रेले-जीन नियम मानता है कि गुहा में सभी अनुमत आवृत्तियों की स्थायी तरंगों की औसत ऊर्जा समान होती है। यह धारणा उच्च आवृत्तियों पर एक समस्या की ओर ले जाती है, जहाँ अनुमानित ऊर्जा असामान्य रूप से बड़ी हो जाती है, जिससे "पराबैंगनी आपदा" होती है।

कृष्णिका विकिरण के लिए सही व्याख्या बाद में प्लैंक के नियम द्वारा प्रदान की गई थी, जो क्वांटित ऊर्जा स्तरों की अवधारणा का परिचय देता है, उच्च आवृत्तियों पर ऊर्जा में अनंत वृद्धि को रोकता है।

सही उत्तर
विकल्प 1: "गुहा में सभी अनुमत आवृत्तियों की स्थायी तरंगों की औसत ऊर्जा समान होती है" सही है।

यह रेले-जीन सिद्धांत में धारणा है जो पराबैंगनी आपदा की ओर ले जाती है।