Higher Order Linear Differential Equations with Constant Coefficients MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Higher Order Linear Differential Equations with Constant Coefficients - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

গাণিতিক বিশ্লেষণে, ক্লেরাউটের সমীকরণ (বা ক্লেরাউট সমীকরণ) হল \({\displaystyle y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)} \) আকারের একটি অবকল সমীকরণ, যেখানে f অবিচ্ছিন্নভাবে অবকলনযোগ্য। এটি ল্যাগ্রাঞ্জের অবকল সমীকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্র।

ক্লেরাউটের সমীকরণ সমাধানের জন্য, x-এর সাপেক্ষে অবকলন করতে হয়

\({\displaystyle \left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0.}\)

অতএব, হয় \({\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}\) অথবা \({\displaystyle x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0.}\)

ব্যাখ্যা:

y = px + p³.......(1)

x-এর সাপেক্ষে উভয় পাশে অবকলন করে পাই

p = x \(\frac{dp}{dx}\)+p+3p²\(\frac{dp}{dx}\)

(x+3p²)\(\frac{dp}{dx}\)=0

⇒ হয় \(\frac{dp}{dx}\)=0 অথবা x+3p²=0

এখন, যেমন x+3p2=0 ⇒ p²=\(\frac{-x}{3}\)

(1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই

⇒y=p(x+\((\frac{-x}{3})\))

⇒y=\(\frac{2x}{3}p\)

এখন, উভয় পাশে বর্গ করে পাই

⇒y²=(\(\frac{2x}{3}p\))²

⇒ 9y²=4x²\((\frac{-x}{3})\)

⇒ 27y²=-4x³

⇒27y²+4x³=0

অতএব, (2) বিকল্পটি সঠিক

ধারণা:

গাণিতিক বিশ্লেষণে, ক্লেরাউটের সমীকরণ (বা ক্লেরাউট সমীকরণ) হল \({\displaystyle y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)} \) আকারের একটি অবকল সমীকরণ, যেখানে f অবিচ্ছিন্নভাবে অবকলনযোগ্য। এটি ল্যাগ্রাঞ্জের অবকল সমীকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্র।

ক্লেরাউটের সমীকরণ সমাধানের জন্য, x-এর সাপেক্ষে অবকলন করতে হয়

\({\displaystyle \left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0.}\)

অতএব, হয় \({\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}\) অথবা \({\displaystyle x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0.}\)

ব্যাখ্যা:

y = px + p³.......(1)

x-এর সাপেক্ষে উভয় পাশে অবকলন করে পাই

p = x \(\frac{dp}{dx}\)+p+3p²\(\frac{dp}{dx}\)

(x+3p²)\(\frac{dp}{dx}\)=0

⇒ হয় \(\frac{dp}{dx}\)=0 অথবা x+3p²=0

এখন, যেমন x+3p2=0 ⇒ p²=\(\frac{-x}{3}\)

(1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই

⇒y=p(x+\((\frac{-x}{3})\))

⇒y=\(\frac{2x}{3}p\)

এখন, উভয় পাশে বর্গ করে পাই

⇒y²=(\(\frac{2x}{3}p\))²

⇒ 9y²=4x²\((\frac{-x}{3})\)

⇒ 27y²=-4x³

⇒27y²+4x³=0

অতএব, (2) বিকল্পটি সঠিক