Cauchy's Equation MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Cauchy's Equation - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Jul 2, 2025
Latest Cauchy's Equation MCQ Objective Questions
Cauchy's Equation Question 1:
কাউচি-অয়েলার সমীকরণ \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}-7x\dfrac{dy}{dx}+16y=0\)-এর সাধারণ সমাধান হল
Answer (Detailed Solution Below)
Cauchy's Equation Question 1 Detailed Solution
ধারণা:
সহায়ক সমীকরণের বিভিন্ন মূলগুলির জন্য, অবকলন সমীকরণের সমাধান (পরিপূরক অপেক্ষক) নীচে দেখানো হয়েছে।
|
সহায়ক সমীকরণের মূল |
পরিপূরক অপেক্ষক |
|
m1, m2, m3, … (বাস্তব এবং ভিন্ন মূল) |
\({C_1}{e^{{m_1}x}} + {C_2}{e^{{m_2}x}} + {C_3}{e^{{m_3}x}} + \ldots\) |
|
m1, m1, m3, … (দুটি বাস্তব এবং সমান মূল) |
\(\left( {{C_1} + {C_2}x} \right){e^{{m_1}x}} + {C_3}{e^{{m_3}x}} + \ldots\) |
|
m1, m1, m1, m4… (তিনটি বাস্তব এবং সমান মূল) |
\(\left( {{C_1} + {C_2}x + {C_3}{x^2}} \right){e^{{m_1}x}} + {C_4}{e^{{m_4}x}} + \ldots\) |
|
α + i β, α - i β, m3, … (একজোড়া কাল্পনিক মূল) |
\({e^{\alpha x}}\left( {{C_1}\cos \beta x + {C_2}\sin \beta x} \right) + {C_3}{e^{{m_3}x}} + \ldots\) |
|
α ± i β, α ± i β, m5, … (দু'জোড়া সমান কাল্পনিক মূল) |
\({e^{\alpha x}}\left( {\left( {{C_1} + {C_2}x} \right)\cos \beta x + \left( {{C_3} + {C_4}x} \right)\sin \beta x} \right) + {C_5}{e^{{m_5}x}} + \ldots\) |
গণনা:
প্রদত্ত:
\({x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} - 7x\frac{{dy}}{{dx}} + 16y = 0\)
ধরা যাক x = et
⇒ t = ln x
\(\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}}.\frac{{dt}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}}.\frac{1}{x} \Rightarrow x\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} = Dy\\ {x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = D(D - 1)y;\,{x^3}\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}} = D(D - 1)(D - 2)y \end{array}\)
এখন, উপরের অবকলন সমীকরণটি হয়ে যায়
D(D - 1)y - 7Dy + 16y = 0
⇒ D2y - Dy - 7Dy + 16y = 0
⇒ (D2 - 8D + 16)y = 0
সহায়ক সমীকরণ:
(D2 - 8 D + 16) = 0
⇒ D = 4
সহায়ক সমীকরণের উপরের মূলগুলির সমাধান হল:
y(t) = (c1 + c2 t) e4t
⇒ y(x) = (c1 + c2 ln x) x4Top Cauchy's Equation MCQ Objective Questions
কাউচি-অয়েলার সমীকরণ \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}-7x\dfrac{dy}{dx}+16y=0\)-এর সাধারণ সমাধান হল
Answer (Detailed Solution Below)
Cauchy's Equation Question 2 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা:
সহায়ক সমীকরণের বিভিন্ন মূলগুলির জন্য, অবকলন সমীকরণের সমাধান (পরিপূরক অপেক্ষক) নীচে দেখানো হয়েছে।
|
সহায়ক সমীকরণের মূল |
পরিপূরক অপেক্ষক |
|
m1, m2, m3, … (বাস্তব এবং ভিন্ন মূল) |
\({C_1}{e^{{m_1}x}} + {C_2}{e^{{m_2}x}} + {C_3}{e^{{m_3}x}} + \ldots\) |
|
m1, m1, m3, … (দুটি বাস্তব এবং সমান মূল) |
\(\left( {{C_1} + {C_2}x} \right){e^{{m_1}x}} + {C_3}{e^{{m_3}x}} + \ldots\) |
|
m1, m1, m1, m4… (তিনটি বাস্তব এবং সমান মূল) |
\(\left( {{C_1} + {C_2}x + {C_3}{x^2}} \right){e^{{m_1}x}} + {C_4}{e^{{m_4}x}} + \ldots\) |
|
α + i β, α - i β, m3, … (একজোড়া কাল্পনিক মূল) |
\({e^{\alpha x}}\left( {{C_1}\cos \beta x + {C_2}\sin \beta x} \right) + {C_3}{e^{{m_3}x}} + \ldots\) |
|
α ± i β, α ± i β, m5, … (দু'জোড়া সমান কাল্পনিক মূল) |
\({e^{\alpha x}}\left( {\left( {{C_1} + {C_2}x} \right)\cos \beta x + \left( {{C_3} + {C_4}x} \right)\sin \beta x} \right) + {C_5}{e^{{m_5}x}} + \ldots\) |
গণনা:
প্রদত্ত:
\({x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} - 7x\frac{{dy}}{{dx}} + 16y = 0\)
ধরা যাক x = et
⇒ t = ln x
\(\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}}.\frac{{dt}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}}.\frac{1}{x} \Rightarrow x\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} = Dy\\ {x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = D(D - 1)y;\,{x^3}\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}} = D(D - 1)(D - 2)y \end{array}\)
এখন, উপরের অবকলন সমীকরণটি হয়ে যায়
D(D - 1)y - 7Dy + 16y = 0
⇒ D2y - Dy - 7Dy + 16y = 0
⇒ (D2 - 8D + 16)y = 0
সহায়ক সমীকরণ:
(D2 - 8 D + 16) = 0
⇒ D = 4
সহায়ক সমীকরণের উপরের মূলগুলির সমাধান হল:
y(t) = (c1 + c2 t) e4t
⇒ y(x) = (c1 + c2 ln x) x4Cauchy's Equation Question 3:
কাউচি-অয়েলার সমীকরণ \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}-7x\dfrac{dy}{dx}+16y=0\)-এর সাধারণ সমাধান হল
Answer (Detailed Solution Below)
Cauchy's Equation Question 3 Detailed Solution
ধারণা:
সহায়ক সমীকরণের বিভিন্ন মূলগুলির জন্য, অবকলন সমীকরণের সমাধান (পরিপূরক অপেক্ষক) নীচে দেখানো হয়েছে।
|
সহায়ক সমীকরণের মূল |
পরিপূরক অপেক্ষক |
|
m1, m2, m3, … (বাস্তব এবং ভিন্ন মূল) |
\({C_1}{e^{{m_1}x}} + {C_2}{e^{{m_2}x}} + {C_3}{e^{{m_3}x}} + \ldots\) |
|
m1, m1, m3, … (দুটি বাস্তব এবং সমান মূল) |
\(\left( {{C_1} + {C_2}x} \right){e^{{m_1}x}} + {C_3}{e^{{m_3}x}} + \ldots\) |
|
m1, m1, m1, m4… (তিনটি বাস্তব এবং সমান মূল) |
\(\left( {{C_1} + {C_2}x + {C_3}{x^2}} \right){e^{{m_1}x}} + {C_4}{e^{{m_4}x}} + \ldots\) |
|
α + i β, α - i β, m3, … (একজোড়া কাল্পনিক মূল) |
\({e^{\alpha x}}\left( {{C_1}\cos \beta x + {C_2}\sin \beta x} \right) + {C_3}{e^{{m_3}x}} + \ldots\) |
|
α ± i β, α ± i β, m5, … (দু'জোড়া সমান কাল্পনিক মূল) |
\({e^{\alpha x}}\left( {\left( {{C_1} + {C_2}x} \right)\cos \beta x + \left( {{C_3} + {C_4}x} \right)\sin \beta x} \right) + {C_5}{e^{{m_5}x}} + \ldots\) |
গণনা:
প্রদত্ত:
\({x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} - 7x\frac{{dy}}{{dx}} + 16y = 0\)
ধরা যাক x = et
⇒ t = ln x
\(\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}}.\frac{{dt}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}}.\frac{1}{x} \Rightarrow x\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} = Dy\\ {x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = D(D - 1)y;\,{x^3}\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}} = D(D - 1)(D - 2)y \end{array}\)
এখন, উপরের অবকলন সমীকরণটি হয়ে যায়
D(D - 1)y - 7Dy + 16y = 0
⇒ D2y - Dy - 7Dy + 16y = 0
⇒ (D2 - 8D + 16)y = 0
সহায়ক সমীকরণ:
(D2 - 8 D + 16) = 0
⇒ D = 4
সহায়ক সমীকরণের উপরের মূলগুলির সমাধান হল:
y(t) = (c1 + c2 t) e4t
⇒ y(x) = (c1 + c2 ln x) x4