x = \(\frac{2 \sin \theta}{(1+\cos \theta+\sin \theta)}\) எனில், \(\frac{1-\cos \theta+\sin \theta}{(1+\sin \theta)}\) இன் மதிப்பு என்ன?

கொடுக்கப்பட்டது:

\(x=\frac{2 \sin \theta}{(1+\cos \theta+\sin \theta)}\)

கணக்கீடு:

நமக்கு, \(x=\frac{2 \sin \theta}{(1+\cos \theta+\sin \theta)}\) உள்ளது.

θ = 45° என்க

⇒ x = \(\frac{2 \times \frac{1}{\sqrt2}}{1 + \frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}}\)

⇒ x = \(\frac{\sqrt2}{1 + \frac{2}{\sqrt2}}\) = \(\frac{\sqrt2}{1 + \sqrt2}\)

இப்போது, \(\frac{1-\cos \theta+\sin \theta}{(1+\sin \theta)}\) க்கு

மேற்கண்ட கூற்றுவில் θ இன் மதிப்பைப் பிரதியிட்டால்,

\(\frac{1-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}}{1+\frac{1}{\sqrt2}}\)

⇒ \(\frac{1}{\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2}}\)

⇒ \(\frac{\sqrt2}{1+\sqrt2}\) = x

∴ விடை x.

Alternate Method  \( ⇒ {\rm{\;}}\frac{{1 - {\rm{cos\;\theta \;}} + \sin {\rm{\theta }}}}{{1 + {\rm{\;}}\sin {\rm{\theta }}}} = \;\frac{{1 - cos\;\theta \; + \sin \theta }}{{1 + \;\sin \theta }} \times \frac{{1 + {\rm{cos\;\theta \;}} + \sin {\rm{\theta }}}}{{1 + {\rm{cos\;\theta \;}} + \sin {\rm{\theta }}}}\)

\( = \frac{{{{\left( {1 + \sin {\rm{\theta }}} \right)}^2} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^{2{\rm{\;}}}}{\rm{\theta }}}}{{(1 + \sin {\rm{\theta }})(1 + \cos {\rm{\theta }} + \sin {\rm{\;\theta }})}}\)

\( = \frac{{(1 + \sin {\rm{\theta }})(1 + \sin {\rm{\theta }}) - (1 + \sin {\rm{\theta }})(1 - \sin {\rm{\theta }})}}{{(1 + \sin {\rm{\theta }})(1 + \cos {\rm{\theta }} + \sin {\rm{\;\theta }})}}\)

\(= \frac{{(1 + \sin {\rm{\theta }})[(1 + \sin {\rm{\theta }}) - {\rm{\;}}(1 - \sin {\rm{\theta }})]}}{{(1 + \sin {\rm{\theta }})(1 + \cos {\rm{\theta }} + \sin {\rm{\;\theta }})}} = \frac{{2\sin {\rm{\theta }}}}{{(1 + \cos {\rm{\theta }} + \sin {\rm{\theta }}}} = x\)