Question
Download Solution PDFचतुर्भुज ABCD की भुजाओं के क्रमागत मध्य बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति एक समचतुर्भुज होगी, यदि और केवल यदि ABCD एक ____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFदिया है:
निर्मित आकृति एक समचतुर्भुज है।
प्रयुक्त अवधारणा:
1. मध्यबिंदु प्रमेय कहता है कि "त्रिभुज में किन्हीं दो भुजाओं के मध्यबिंदु को मिलाने वाला रेखाखंड उसकी तीसरी भुजा के समानांतर होता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा भी होता है।"
2. समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
गणना:
मान लीजिए M, N, P और Q क्रमशः चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB, BC, CD और AD के मध्यबिंदु हैं।
त्रिभुज ABD और BAC में:
⇒ चूँकि M और N मध्यबिंदु हैं, मध्यबिंदु प्रमेय के अनुसार,
MN को AC, के समानांतर होना चाहिए और MN = 1/2 AC.
त्रिभुज ABC और ADC में:
⇒ चूँकि N और P मध्यबिंदु हैं, मध्यबिंदु प्रमेय के अनुसार,
NP, BD के समानांतर होनी चाहिए, और NP = 1/2 BD;
⇒ MN, AC के समानांतर है और NP, BD के समानांतर है।
लेकिन ध्यान देने वाली एक प्रमुख बात यह है कि विपरीत भुजाओं (MN और NP) के ये दोनों युग्म क्रमशः विकर्ण AC और AD के आधे के बराबर हैं।
⇒ एक चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ समान और समानांतर हों, एक समचतुर्भुज होता है।
तो, MNPQ एक समचतुर्भुज है।
हालाँकि, MNPQ को चतुर्भुज की प्रत्येक भुजा के मध्य बिंदुओं को जोड़ने के माध्यम से ही एक समचतुर्भुज बनाया जा सकता है,
⇒ वास्तविक चतुर्भुज ABCD, एक आयत होना चाहिए।
यह इस तथ्य के कारण है कि एक आयत में,
⇒ विकर्ण (AC = BD) बराबर हैं।
इसलिए, यदि किसी चतुर्भुज के मध्य बिंदुओं को मिलाकर एक समचतुर्भुज बनाया जाता है, तो वास्तविक चतुर्भुज एक आयत होता है।
Last updated on May 28, 2025
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