दो बक्से A और B में दोषपूर्ण नट की संभावनाएँ क्रमशः \(\rm \frac 1 5, \frac 1 7\) हैं। एक बॉक्स को यादृच्छिक पर चुना जाता है और यादृच्छिक पर उससे निकले एक नट को ख़राब पाया जाता है। क्या प्रायिकता है कि यह बॉक्स 'B' से आया है?

अवधारणा:

बेय का प्रमेय:

माना कि E1, E2, ….., En यादृच्छिक प्रयोग के साथ संबंधित n परस्पर अपवर्जित और निशेष घटनाएँ हैं और माना कि S प्रतिदर्श समष्‍टि है।

माना कि A कोई घटना है जो E1 या E2 या … या En में से किसी एक के साथ होती है जिससे P(A) ≠ 0 है।

फिर \(\rm P\left( {{E_i}\;|\;A} \right) = \frac{{P\left( {{E_i}} \right)\; \times \;P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}}{{\mathop \sum \nolimits_{i\; = 1}^n P\left( {{E_i}} \right)\; \times\; P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}},\;i = 1,\;2,\; \ldots .\;,\;n\)

गणना :

माना कि E₁ बैग A को चुनने की घटना है, E₂ बैग B को चुनने की घटना है और X दोषपूर्ण नट को निकालने की घटना है।

इसलिए, P (E1) = P (E2) = \(\frac 1 2\)

दिया हुआ:

P (बैग A से दोषपूर्ण नट को निकालना) = P (X | E1) = \(\frac 1 5\)

P (बैग B से दोषपूर्ण नट को निकालना) = P (X | E2) = \(\frac 1 7\)

यहां, हमें बैग B से दोषपूर्ण नट निकालने की प्रायिकता का पता लगाना होगा यानी P (E2 | X)।

जैसा कि हम जानते हैं कि बेय के प्रमेय के अनुसार:

\(\rm P\left( {{E_i}\;|\;A} \right) = \frac{{P\left( {{E_i}} \right)\; \times \;P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}}{{\mathop \sum \nolimits_{i\; = 1}^n P\left( {{E_i}} \right) \;\times\; P\left( {A\;|\;{E_i}} \right)}},\;i = 1,\;2,\; \ldots .\;,\;n\)

∴ \(\rm P{\rm{(}}{E_2}\;{\rm{|}}X) = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{7}}}}{{\left[ {\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} + \;\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{7}}} \right]}} = \frac{{5}}{{12}}\;\)