k के किस मान के लिए, समीकरणों का कोई हल नहीं है?

x - y = 5

kx - 4y = 1

संप्रत्यय:

रैखिक समीकरणों का निकाय:

• रैखिक समीकरणों के एक निकाय में चरों के समान समुच्चय से युक्त दो या अधिक समीकरण होते हैं।
• निकाय का हल वह बिंदु (बिंदु) है जो सभी समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है।
• ऐसे निकायों के लिए तीन संभावनाएँ हैं:
  • एक हल: रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (संगत और स्वतंत्र)।
  • अपरिमित रूप से अनेक हल: रेखाएँ संपाती होती हैं (संगत और आश्रित)।
  • कोई हल नहीं: रेखाएँ समांतर लेकिन भिन्न हैं (असंगत निकाय)।
• दो समीकरणों के लिए: \(a_1x + b_1y = c_1\) और \(a_2x + b_2y = c_2\), कोई हल मौजूद नहीं है यदि:
• \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}\)

गणना:

दिया गया है,

समीकरण (1): x − y = 5 ⇒ 1x − 1y = 5

समीकरण (2): kx − 4y = 1

मानक रूप से दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: \(a_1x + b_1y = c_1\) और \(a_2x + b_2y = c_2\)

⇒ a₁ = 1, b₁ = −1, c₁ = 5

⇒ a₂ = k, b₂ = −4, c₂ = 1

कोई हल नहीं होने की इस प्रतिबंध का प्रयोग करने पर: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}\)

⇒ \(\frac{1}{k} = \frac{−1}{−4} = \frac{1}{4} \)

⇒ k = 4

⇒ अब जाँच करने पर: \(\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{1} = 5 \ne \frac{1}{4}\)

∴ k का मान जिसके लिए निकाय का कोई हल नहीं है, 4 है।