xy-समतल पर मूलबिंदु पर केंद्र वाले एकसमान वृत्ताकार डिस्क का x-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण I₀ है। यदि डिस्क को मूलबिंदु के परितः कोणीय वेग ω = ω₀(ĵ + k̂) से घुमाया जाता है, तो इसके कोणीय संवेग की दिशा किसके अनुदिश होगी?

अवधारणा:

हम कोणीय संवेग सूत्र का उपयोग कर रहे हैं जो \(\overrightarrow{L}=I\overrightarrow{\omega}\) है और फिर \(x,y,z,\) समतलों के लिए इस सूत्र का उपयोग कर रहे हैं।

\(L,\omega\) और \(I\) के मानों के लिए आव्यूह का उपयोग करके हमें कोणीय संवेग के परिमाण और दिशा का मान प्राप्त होता है।

व्याख्या:

एक वृत्ताकार डिस्क \(xy\) समतल में केंद्र के रूप में मूलबिंदु के साथ घूम रही है।

दिया गया है,

• \(\omega=\omega_0(\hat j+\hat k)\) जहाँ \(\omega\) कोणीय वेग है
• \(I_0\) जड़त्व आघूर्ण है

हम कोणीय संवेग के लिए सूत्र का उपयोग कर रहे हैं

• \(\overrightarrow{L}=I\overrightarrow{\omega}\)
• \(I_{xx}=I_{yy}=I_0\)

कोणीय संवेग को \(x,y,z,\) समतलों में दर्शाने के लिए हम कोणीय संवेग \(L\) के लिए सदिश संकेतन का उपयोग करेंगे,

• \(\begin{bmatrix}L_x\\[0.3em]L_y\\[0.3em]L_z\end{bmatrix}\)\(=\begin{bmatrix}I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} &I_{yy} & I_{yz} \\[0.3em] I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}\omega_x\\[0.3em]\omega_y\\[0.3em]\omega_z\end{bmatrix}\)
• \(I_{xx}=I_{yy}=I_0\)

लम्बवत अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,

• \(I_{xx}+I_{yy}=I_{zz}=I_0+I_0=2I_0\)
• \(\omega=\omega_0(\hat j+\hat k)\)

आव्यूह समीकरण में \(I\) और \(\omega\) के मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है

• \(\begin{bmatrix}L_x\\[0.3em]L_y\\[0.3em]L_z\end{bmatrix}\)\(=\begin{bmatrix}I_0 & 0 & 0 \\ 0 &I_0 & 0 \\[0.3em] 0 & 0 & 2I_0\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}0\\[0.3em]\omega_0\\[0.3em]\omega_0\end{bmatrix}\)

ऊपर दिए गए आव्यूहों के गुणन से, हमें प्राप्त होता है

• \(\begin{bmatrix}L_x\\[0.3em]L_y\\[0.3em]L_z\end{bmatrix}\)\(=\)\(\begin{bmatrix}0\\[0.3em]I_0\omega_0\\[0.3em]2I_0\omega_0\end{bmatrix}\)
• \(\overrightarrow{L}=\overrightarrow{L_0}\hat j+2\overrightarrow{L_0}\hat k\)

यह कोणीय संवेग का परिमाण है। कोणीय संवेग की दिशा \((\hat j +\hat 2k)\) है।