एक CT सिग्नल x(t) = [P + Qe^-bt ] u(t) के रूप में दिया जाता है जहां P और Q स्थिर होते हैं। x(t) के लाप्लास परिवर्तन का ROC ______ है। 

पारंपरिक विधि:

फलन x(t) के लाप्लास रूपान्तरण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(X\left( s \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - st}}dt\)

दिया गया है कि:

x(t) = (P + Qe-bt) u(t)

x(t) = Pu(t) + Qe-bt u(t)

उपरोक्त के लाप्लास रूपांतरण को लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

\(X\left( s \right) = \mathop \smallint \limits_0^\infty P{e^{ - st}}dt + \mathop \smallint \limits_0^\infty Q{e^{ - bt}} \cdot {e^{ - st}}dt\)

\(X\left( s \right) = \underbrace {P\mathop \smallint \limits_0^\infty {e^{ - st}}dt}_I + \underbrace {Q\mathop \smallint \limits_0^\infty {e^{ - \left( {b + s} \right)t}}dt}_{II}\)

समाकल I, s > 0 के लिए अभिसरण करता है, और समाकल II, b + s > 0, या Re(s) > -b के लिए अभिसरण करता है।

∴ ROC, Re(s) > 0 और Re(s) > - b का प्रतिच्छेदन है, अर्थात परिणामी ROC होगा:

ROC: Re(s) >  अधिकतम (-b, 0)

वैचारिक दृष्टिकोण :

चूँकि u(t) एक दायाँ पक्ष संकेत है, इसका ROC भी दायीं ओर होगा, अर्थात

\(u\left( t \right)\mathop \leftrightarrow \limits^{LT} \frac{1}{s};Re\left( s \right) > 0\)

इसी तरह,

\({e^{ - bt}}u\left( t \right)\mathop \leftrightarrow \limits^{L.T.} \frac{1}{{s + b}};Re\left( s \right) > - b\)

दोनों के योग का ROC दोनों का प्रतिच्छेदन होगा, अर्थात

ROC; Re(s) > अधिकतम (-b, 0)