Wide Sense Stationary MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Wide Sense Stationary - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 13, 2025
Latest Wide Sense Stationary MCQ Objective Questions
Wide Sense Stationary Question 1:
एक LTI प्रणाली में शून्य माध्य के साथ एक वाइड-सेंस स्टेशनरी (WSS) इनपुट सिग्नल होता है। इसका आउटपुट ____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Wide Sense Stationary Question 1 Detailed Solution
विश्लेषण:
फ़िल्टर का आउटपुट Y(t) = h(t) * X(t) है, जहाँ h(t) फ़िल्टर की आवेग प्रतिक्रिया है। मान लीजिए कि निर्गत माध्य μy है।
μy = E[Y(t)] = E[h(t) * X(t)]
\( {{\rm{μ }}_{\rm{Y}}} = {\rm{E}}\left[ {\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right){\rm{X}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{\tau }}} \right){\rm{d\tau }}} \right]\)
\({{\rm{μ }}_{\rm{Y}}} = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right) \cdot {\rm{E}}\left[ {{\rm{X}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{\tau }}} \right)} \right]{\rm{d\tau }} \)
अब, यदि X(t) WSS है, तो समय में बदलाव इसके माध्य को प्रभावित नहीं करता है, अर्थात
\({\rm{E}}\left[ {{\rm{X}}\left( {\rm{t}} \right)} \right] = {\rm{E}}\left[ {{\rm{X}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{\tau }}} \right)} \right] = {{\rm{μ }}_{\rm{X}}}\)
\({\rm{E}}\left[ {{\rm{Y}}\left( {\rm{t}} \right)} \right] = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right){{\rm{μ }}_{\rm{X}}}{\rm{d\tau }} \)
\(= {{\rm{μ }}_{\rm{X}}}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right){\rm{d\tau }}\)
\(\because {\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right){\rm{d\tau }} = {\rm{H}}\left( 0 \right)}\)
\({{\rm{μ }}_{\rm{Y}}} = {{\rm{μ }}_{\rm{X}}} \cdot {\rm{H}}\left( 0 \right)\)
चूँकि H(0) कुछ स्थिरांक होगा, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि आउटपुट की प्रकृति भी इनपुट सिग्नल के समान ही होगी, अर्थात WSS और शून्य माध्य।
Top Wide Sense Stationary MCQ Objective Questions
एक LTI प्रणाली में शून्य माध्य के साथ एक वाइड-सेंस स्टेशनरी (WSS) इनपुट सिग्नल होता है। इसका आउटपुट ____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Wide Sense Stationary Question 2 Detailed Solution
Download Solution PDFविश्लेषण:
फ़िल्टर का आउटपुट Y(t) = h(t) * X(t) है, जहाँ h(t) फ़िल्टर की आवेग प्रतिक्रिया है। मान लीजिए कि निर्गत माध्य μy है।
μy = E[Y(t)] = E[h(t) * X(t)]
\( {{\rm{μ }}_{\rm{Y}}} = {\rm{E}}\left[ {\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right){\rm{X}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{\tau }}} \right){\rm{d\tau }}} \right]\)
\({{\rm{μ }}_{\rm{Y}}} = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right) \cdot {\rm{E}}\left[ {{\rm{X}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{\tau }}} \right)} \right]{\rm{d\tau }} \)
अब, यदि X(t) WSS है, तो समय में बदलाव इसके माध्य को प्रभावित नहीं करता है, अर्थात
\({\rm{E}}\left[ {{\rm{X}}\left( {\rm{t}} \right)} \right] = {\rm{E}}\left[ {{\rm{X}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{\tau }}} \right)} \right] = {{\rm{μ }}_{\rm{X}}}\)
\({\rm{E}}\left[ {{\rm{Y}}\left( {\rm{t}} \right)} \right] = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right){{\rm{μ }}_{\rm{X}}}{\rm{d\tau }} \)
\(= {{\rm{μ }}_{\rm{X}}}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right){\rm{d\tau }}\)
\(\because {\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right){\rm{d\tau }} = {\rm{H}}\left( 0 \right)}\)
\({{\rm{μ }}_{\rm{Y}}} = {{\rm{μ }}_{\rm{X}}} \cdot {\rm{H}}\left( 0 \right)\)
चूँकि H(0) कुछ स्थिरांक होगा, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि आउटपुट की प्रकृति भी इनपुट सिग्नल के समान ही होगी, अर्थात WSS और शून्य माध्य।
Wide Sense Stationary Question 3:
एक LTI प्रणाली में शून्य माध्य के साथ एक वाइड-सेंस स्टेशनरी (WSS) इनपुट सिग्नल होता है। इसका आउटपुट ____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Wide Sense Stationary Question 3 Detailed Solution
विश्लेषण:
फ़िल्टर का आउटपुट Y(t) = h(t) * X(t) है, जहाँ h(t) फ़िल्टर की आवेग प्रतिक्रिया है। मान लीजिए कि निर्गत माध्य μy है।
μy = E[Y(t)] = E[h(t) * X(t)]
\( {{\rm{μ }}_{\rm{Y}}} = {\rm{E}}\left[ {\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right){\rm{X}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{\tau }}} \right){\rm{d\tau }}} \right]\)
\({{\rm{μ }}_{\rm{Y}}} = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right) \cdot {\rm{E}}\left[ {{\rm{X}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{\tau }}} \right)} \right]{\rm{d\tau }} \)
अब, यदि X(t) WSS है, तो समय में बदलाव इसके माध्य को प्रभावित नहीं करता है, अर्थात
\({\rm{E}}\left[ {{\rm{X}}\left( {\rm{t}} \right)} \right] = {\rm{E}}\left[ {{\rm{X}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{\tau }}} \right)} \right] = {{\rm{μ }}_{\rm{X}}}\)
\({\rm{E}}\left[ {{\rm{Y}}\left( {\rm{t}} \right)} \right] = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right){{\rm{μ }}_{\rm{X}}}{\rm{d\tau }} \)
\(= {{\rm{μ }}_{\rm{X}}}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right){\rm{d\tau }}\)
\(\because {\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {\rm{h}}\left( {\rm{\tau }} \right){\rm{d\tau }} = {\rm{H}}\left( 0 \right)}\)
\({{\rm{μ }}_{\rm{Y}}} = {{\rm{μ }}_{\rm{X}}} \cdot {\rm{H}}\left( 0 \right)\)
चूँकि H(0) कुछ स्थिरांक होगा, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि आउटपुट की प्रकृति भी इनपुट सिग्नल के समान ही होगी, अर्थात WSS और शून्य माध्य।