The principle of superposition of waves MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for The principle of superposition of waves - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

समान आयाम और आवृत्ति वाली दो सरल आवर्त गतियों के लिए परिणामी आयाम \(A_{\text{res}}\) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

\(A_{\text{res}} = \sqrt{2A^2(1 + \cos \delta)}\)

जहाँ:

• A प्रत्येक व्यक्तिगत गति का आयाम है। 
• \(A_{\text{res}}\) परिणामी आयाम है। 
• \(\delta\) दो गतियों के बीच कलांतर है। 

गणना:

हमें दिया गया है कि परिणामी आयाम व्यक्तिगत गति के आयाम के बराबर है, अर्थात् \(A_{\text{res}} = A\) है।

समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

\(A = \sqrt{2A^2(1 + \cos \delta)}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

\(A^2 = 2A^2(1 + \cos \delta)\)

\(A^2\) से दोनों पक्षों को विभाजित करने पर:

\(1 = 2(1 + \cos \delta)\)

अब, सरलीकरण करने पर:

\(1 = 2 + 2 \cos \delta\)

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

\(2 \cos \delta = -1\)

\(\cos \delta = -\frac{1}{2}\)

इस समीकरण का हल है:

\(\delta = \frac{2\pi}{3} \)

निष्कर्ष:

दो गतियों के बीच कलांतर \( \delta = \frac{2\pi}{3} \) है।

इसलिए, सही उत्तर: विकल्प 2: \( \delta = \frac{2\pi}{3}\) है। 

गणना:

A = |10 cos (πx}|

\(A t x=\frac{4}{3}\)

\(A=\left|10 \cos \left(\pi \times \frac{4}{3}\right)\right|\)

= |– 5 cm|

⇒ Amp = 5 cm

∴ x = 4/3 सेमी पर कण का आयाम 5 cm है।

संकल्पना:

तरंगों का परावर्तन:

• जब एक तरंग दो माध्यमों के बीच की सीमा पर आपतित होती है और वापस प्रारंभिक माध्यम में लौट आती है तो इसे तरंगों का परावर्तन कहा जाता है।
  • प्रतिध्वनि की घटना एक दृढ सीमा द्वारा परावर्तन का एक उदाहरण है।
• यदि सीमा पूरी तरह से दृढ नहीं है या वह दो अलग-अलग प्रत्यास्थ माध्यमों के बीच एक अंतराफलक है तो स्थिति कुछ जटिल है।
• आपतित तरंग का एक भाग परावर्तित होता है और एक भाग दूसरे माध्यम में संचारित होता है।
  • संचरित तरंग को अपवर्तित तरंग कहते हैं।
• आपतित और अपवर्तित तरंगें स्नेल के अपवर्तन के नियम का पालन करती हैं और आपतित और परावर्तित तरंगें परावर्तन के सामान्य नियमों का पालन करती हैं।

एक दृढ सीमा द्वारा परावर्तन:

• यदि कोई स्पंद एक तनी हुई डोरी के अनुदिश गमन करता है और दृढ सीमा से परावर्तित होता है।
  • यह मानते हुए कि सीमा द्वारा ऊर्जा का अवशोषण नहीं होता है, परावर्तित तरंग की आवृत्ति और आयाम आपतित स्पंद के समान होता है, लेकिन यह परावर्तन पर π या 180° के फेज परिवर्तन से गुजरता है।
  • ऐसा इसलिए है क्योंकि सीमा दृढ है और विक्षोभ में सीमा पर हर समय शून्य विस्थापन होने चाहिए।
• अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार यह तभी संभव है जब परावर्तित और आपतित तरंगें के फेज π से भिन्न हों ताकि परिणामी विस्थापन शून्य हो।

एक गैर-दृढ सीमा द्वारा परावर्तन:

• यदि सीमा बिंदु दृढ नहीं है लेकिन गति करने के लिए पूरी तरह से स्वतंत्र है (जैसे कि एक छड़ पर एक स्वतंत्र रूप से चलने वाले वलय से बंधे स्ट्रिंग के मामले में), (कोई ऊर्जा अपव्यय नहीं मानते हुए) परावर्तित स्पंद में आपतित स्पंद के समान फेज, आयाम और आवृत्ति होती हैं।
• सीमा पर शुद्ध अधिकतम विस्थापन तब प्रत्येक स्पंद के आयाम का दोगुना होता है। एक गैर-दृढ सीमा का एक उदाहरण एक ऑर्गन पाइप का खुला सिरा है।

व्याख्या:

• एक स्पंद एक तनित स्ट्रिंग के साथ यात्रा करता है और एक सीमा से परावर्तित होता है।
• यदि सीमा बिंदु दृढ नहीं है लेकिन गति करने के लिए पूरी तरह से स्वतंत्र है (जैसे कि एक छड़ पर एक स्वतंत्र रूप से चलने वाले वलय से बंधे स्ट्रिंग के मामले में), (कोई ऊर्जा अपव्यय नहीं मानते हुए) परावर्तित स्पंद में आपतित स्पंद के समान फेज, आयाम और आवृत्ति होती हैं।
• सीमा पर शुद्ध अधिकतम विस्थापन तब प्रत्येक स्पंद के आयाम का दुगुना होता है। अत: विकल्प 2 सही है।

संकल्पना:

तरंगों का परावर्तन:

• जब एक तरंग दो माध्यमों के बीच की सीमा पर आपतित होती है और वापस प्रारंभिक माध्यम में लौट आती है तो इसे तरंगों का परावर्तन कहा जाता है।
  • प्रतिध्वनि की घटना एक दृढ सीमा द्वारा परावर्तन का एक उदाहरण है।
• यदि सीमा पूरी तरह से दृढ नहीं है या वह दो अलग-अलग प्रत्यास्थ माध्यमों के बीच एक अंतराफलक है तो स्थिति कुछ जटिल है।
• आपतित तरंग का एक भाग परावर्तित होता है और एक भाग दूसरे माध्यम में संचारित होता है।
  • संचरित तरंग को अपवर्तित तरंग कहते हैं।
• आपतित और अपवर्तित तरंगें स्नेल के अपवर्तन के नियम का पालन करती हैं और आपतित और परावर्तित तरंगें परावर्तन के सामान्य नियमों का पालन करती हैं।

एक दृढ सीमा द्वारा परावर्तन:

• यदि कोई स्पंद एक तनी हुई डोरी के अनुदिश गमन करता है और दृढ सीमा से परावर्तित होता है।
  • यह मानते हुए कि सीमा द्वारा ऊर्जा का अवशोषण नहीं होता है, परावर्तित तरंग की आवृत्ति और आयाम आपतित स्पंद के समान होता है, लेकिन यह परावर्तन पर π या 180° के फेज परिवर्तन से गुजरता है।
  • ऐसा इसलिए है क्योंकि सीमा दृढ है और विक्षोभ में सीमा पर हर समय शून्य विस्थापन होने चाहिए।
• अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार यह तभी संभव है जब परावर्तित और आपतित तरंगें के फेज π से भिन्न हों ताकि परिणामी विस्थापन शून्य हो।

एक गैर-दृढ सीमा द्वारा परावर्तन:

• यदि सीमा बिंदु दृढ नहीं है लेकिन गति करने के लिए पूरी तरह से स्वतंत्र है (जैसे कि एक छड़ पर एक स्वतंत्र रूप से चलने वाले वलय से बंधे स्ट्रिंग के मामले में), (कोई ऊर्जा अपव्यय नहीं मानते हुए) परावर्तित स्पंद में आपतित स्पंद के समान फेज, आयाम और आवृत्ति होती हैं।
• सीमा पर शुद्ध अधिकतम विस्थापन तब प्रत्येक स्पंद के आयाम का दोगुना होता है। एक गैर-दृढ सीमा का एक उदाहरण एक ऑर्गन पाइप का खुला सिरा है।

व्याख्या:

• जब एक तरंग दो माध्यमों के बीच की सीमा पर आपतित होती है और वापस प्रारंभिक माध्यम में लौट आती है तो इसे तरंगों का परावर्तन कहा जाता है।
  • प्रतिध्वनि की घटना एक दृढ सीमा द्वारा परावर्तन का एक उदाहरण है। अतः विकल्प 1 सही है।

संकल्पना:

तरंगों का परावर्तन:

• जब एक तरंग दो माध्यमों के बीच की सीमा पर आपतित होती है और वापस प्रारंभिक माध्यम में लौट आती है तो इसे तरंगों का परावर्तन कहा जाता है।
  • प्रतिध्वनि की घटना एक दृढ सीमा द्वारा परावर्तन का एक उदाहरण है।
• यदि सीमा पूरी तरह से दृढ नहीं है या वह दो अलग-अलग प्रत्यास्थ माध्यमों के बीच एक अंतराफलक है तो स्थिति कुछ जटिल है।
• आपतित तरंग का एक भाग परावर्तित होता है और एक भाग दूसरे माध्यम में संचारित होता है।
  • संचरित तरंग को अपवर्तित तरंग कहते हैं।
• आपतित और अपवर्तित तरंगें स्नेल के अपवर्तन के नियम का पालन करती हैं और आपतित और परावर्तित तरंगें परावर्तन के सामान्य नियमों का पालन करती हैं।

एक दृढ सीमा द्वारा परावर्तन:

• यदि कोई स्पंद एक तनी हुई डोरी के अनुदिश गमन करता है और दृढ सीमा से परावर्तित होता है।
  • यह मानते हुए कि सीमा द्वारा ऊर्जा का अवशोषण नहीं होता है, परावर्तित तरंग की आवृत्ति और आयाम आपतित स्पंद के समान होता है, लेकिन यह परावर्तन पर π या 180° के फेज परिवर्तन से गुजरता है।
  • ऐसा इसलिए है क्योंकि सीमा दृढ है और विक्षोभ में सीमा पर हर समय शून्य विस्थापन होने चाहिए।
• अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार यह तभी संभव है जब परावर्तित और आपतित तरंगें के फेज π से भिन्न हों ताकि परिणामी विस्थापन शून्य हो।

एक गैर-दृढ सीमा द्वारा परावर्तन:

• यदि सीमा बिंदु दृढ नहीं है लेकिन गति करने के लिए पूरी तरह से स्वतंत्र है (जैसे कि एक छड़ पर एक स्वतंत्र रूप से चलने वाले वलय से बंधे स्ट्रिंग के मामले में), (कोई ऊर्जा अपव्यय नहीं मानते हुए) परावर्तित स्पंद में आपतित स्पंद के समान फेज, आयाम और आवृत्ति होती हैं।
• सीमा पर शुद्ध अधिकतम विस्थापन तब प्रत्येक स्पंद के आयाम का दोगुना होता है। एक गैर-दृढ सीमा का एक उदाहरण एक ऑर्गन पाइप का खुला सिरा है।

व्याख्या:

• यदि कोई स्पंद एक तनी हुई डोरी के अनुदिश गमन करता है और दृढ सीमा से परावर्तित होता है।
• यह मानते हुए कि सीमा से ऊर्जा का अवशोषण नहीं होता है , परावर्तित तरंग का आकार आपतित नाड़ी के समान होता है, लेकिन यह परावर्तन पर π या 180° का एक फेज परिवर्तन भुगतता है। अत: विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

• अध्यारोपण का सिद्धांत: जब दिक-स्थान में किसी बिंदु पर दो या अधिक तरंगें एक साथ आती हैं तो परिणामी विक्षोभ तरंग एकल तरंगों के विक्षोभ का सदिश योग होता है।

व्यतिकरण:

• जब दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं तो उस बिंदु पर तरंग का परिणामी आयाम प्रत्येक एकल तरंग के आयामों का सदिश योग होता है। इस परिघटना को तरंगों का व्यतिकरण कहा जाता है।
• दो प्रकार के होते हैं
  1. रचनात्मक व्यतिकरण :
  2. विनाशकारी व्यतिकरण :

दिया गया है:

 \( y_{1}= a sin\left ( \omega t+\frac{\pi}{6} \right )\) and \( y_{2}= a cos\left ( \omega t \right )\)

\(\Rightarrow y_{2}= a cos\left ( \omega t \right )=asin\left ( \omega t+\frac{\pi}{2} \right )\)

• दो तरंगों के अध्यारोपण के बाद तरंग का परिणामी आयाम:

⇒ \(A = \sqrt{a^{2}+b^{2}+2 a\times b\times cosϕ }\)

जहां, a = तरंग 1 का आयाम , b = तरंग 2 का आयाम, और ϕ = कला अंतर

यहाँ , a = a, b = a and ϕ = \(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\)

⇒ \(A = \sqrt{a^{2}+a^{2}+2 a\times a\times cos​​\frac{\pi}{3} }\)

⇒ \(A = \sqrt{3a^{2} }\)

⇒ \(A = \sqrt{3 }a\)

• इसलिए, विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

तरंग का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है:

y = A sin (kx-ωt+ϕ)

जहाँ x किसी भी समय t पर स्थिति है, A आयाम है, t समय है, और ω कोणीय आवृत्ति है।

• फेज: उपरोक्त समीकरण को फेज में (kx-ωt+ϕ) कहा जाता है। यह चर द्वारा फैली समय अवधि के कोण का प्रतिनिधित्व है।
• आयाम (A): माध्य स्थिति से अधिकतम विस्थापन।
• जब दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं तो परिणामी आयाम सदिश के समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करते हुए पाया जाता है।

परिणामी तरंग का आयाम:

\(A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cosϕ}\)

जहां A₁ पहली तरंग का आयाम है, A₂ दूसरी तरंग का आयाम है और ϕ दोनों तरंगों के बीच का फेज अंतर है।

गणना:

दिया है कि y1 = a cos(ωt) और

y2 = a cos(ωt + φ)

दो तरंगों का फेज अंतर = ϕ

A1 = A2 = a

परिणामी तरंग का आयाम:

\(A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cosϕ}\)

\(A=\sqrt{a^2+a^2+2aacosϕ}\)

\(A=\sqrt{2a^2+2a^2cosϕ}\)

\(A=\sqrt2a\times\sqrt{1+cosϕ}\)

\(A=\sqrt2a\sqrt{2cos^2\frac{\phi}{2}}\)

A = 2a cos (φ/2)

तो सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

दो तरंगों की तीव्रता:

y₁ = a₁ sin ωt और y₂ = a₂ sin (ωt + ϕ )

तीव्रता ∝ आयाम²

I₁ = a₁²; I₂ = a₂²

I = a₁² + a₂² + 2a₁a₂ cos ϕ = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂) cos ϕ

जब cos ϕ = +1 ⇒ I_max = (a₁ + a₂)²

जब cos ϕ = -1 ⇒ I_min = (a₁ - a₂)²

विस्पंदन:

जब लगभग समान आवृत्तियों की दो तरंगें समान दिशा के ऊपर एक माध्यम में चलते हुए एक-दुसरे पर निर्भर करती है तो विस्पंदन उत्पन होता हैं। एक बिंदु पर परिणामी ध्वनि का आयाम नियमित रूप से बढ़ता है और गिरता है।

एक बिंदु पर परिणामी ध्वनि की तीव्रता बढ़ जाती है और समय के साथ नियमित रूप से गिरती है। जब तीव्रता अधिकतम हो जाती है तो हम इसे ध्वनि का वर्धन कहते हैं, जब यह न्यूनतम हो जाती है तो हम इसे ध्वनि का क्षय कहते हैं।

लगभग समान आवृत्तियों की दो ध्वनि तरंगों के व्यतिकरण के कारण ध्वनि के क्षय और वर्धन की घटना को विस्पंदन कहा जाता है। प्रति सेकंड उत्पन विस्पंदन की संख्या को विस्पंदन आवृत्ति कहा जाता है, जो दो तरंगों की आवृत्तियों में अंतर के बराबर है।

न्यूनतम और अधिकतम प्रबलता के बीच ध्वनि की तीव्रता में आवधिक परिवर्तन को विस्पंदन कहा जाता है।

हम दो अलग-अलग आवृत्तियों n1 और n2 की दो तरंगों को आयाम a के समान मानते हैं 

y₁ = a sin ω₁t = a sin (2πn₁) t

y₂ = a sin ω₂t = a sin (2πn₂) t

जब दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं तो परिणामी विस्थापन निम्न द्वारा दिया जाता है:

y = y₁ + y₂ = a sin (2πn₁) t + a sin (2πn₂) t

sin A + sin B = 2 sin ((A + B)/2) × cos ((A - B)/2)

y = y₁ + y₂ = 2a sin (2π (n₁ + n₂/2) t) × cos (2π (n₁ - n₂/2) t)

y = A sin π (n₁ + n₂) t जहाँ A = 2a cos (2π (n₁ - n₂/2) t)

गणना:

वर्धन पर सुनाई दी अधिकतम प्रबलता

I_max,waxing = (a₁ + a₂)² = (a + a)² = 4a²

घटक तरंग ट्रेनों में से प्रत्येक की प्रबलता

I₁ = a₁² = a²; I₂ = a₂² = a²

संकल्पना:

तरंगों के अध्यारोपण का सिद्धांत:

• जब दो या दो से अधिक तरंगें स्थान में किसी बिंदु पर एक साथ आती हैं तो परिणामी विक्षोभ तरंग व्यक्तिगत तरंगों के विक्षोभ का सदिश योग होता है।

• अध्यारोपण का सिद्धांत व्यतिकरण की घटना के लिए बुनियादी है।
• समान ω (कोणीय आवृत्ति) और k (तरंग संख्या) और इसीलिए समान तरंग दैर्ध्य λ के साथ हम एक फैली हुई डोरी पर दो गुणावृत्ति प्रगामी तरंगों पर विचार करें।
  • उनकी तरंग गति समान होगी। आगे हम यह मान लें कि उनके आयाम समान हैं और वे दोनों x-अक्ष की धनात्मक दिशा में यात्रा कर रहे हैं। तरंगें केवल अपने प्रारंभिक फेज में भिन्न होती हैं।
• दो तरंगों को निम्न फलनों द्वारा वर्णित किया गया है:

⇒ y1 = a.sin(kx - ωt)

⇒ y2 = a.sin(kx - ωt + ϕ)

• अध्यारोपण के सिद्धांत से शुद्ध विस्थापन इसके द्वारा दिया जाता है,

\(⇒ y = 2a.cos\frac{ϕ}{2}sin\left ( kx-ω t+\frac{ϕ}{2} \right )\)

• परिणामी तरंग भी x-अक्ष की धनात्मक दिशा में समान आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के साथ एक गुणावृत्ति प्रगामी तरंग है। हालांकि इसका प्रारंभिक फेज कोण \(\frac{ϕ}{2}\) है।

व्यतिकरण:

• जब दो या दो से अधिक तरंगें स्थान में किसी बिंदु पर एक साथ आती हैं तो परिणामी विक्षोभ तरंग व्यक्तिगत तरंगों के विक्षोभ का सदिश योग होता है। इस घटना को तरंगों का व्यतिकरण कहा जाता है।
• दो प्रकार होते हैं
  1. रचनात्मक व्यतिकरण:
  2. विनाशी व्यतिकरण:

व्याख्या:

• यदि दो तरंगें विपरीत चरण में एक दूसरे के साथ अध्यारोपित होती हैं तो परिणामी का आयाम अलग-अलग तरंगों के आयाम में अंतर के बराबर होता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रकाश की न्यूनतम तीव्रता होती है, इसे विनाशी व्यतिकरण के रूप में जाना जाता है।
• अत: विकल्प 3 सही है।

संकल्पना:

तरंगों का परावर्तन:

• जब एक तरंग दो माध्यमों के बीच की सीमा पर आपतित होती है और वापस प्रारंभिक माध्यम में लौट आती है तो इसे तरंगों का परावर्तन कहा जाता है।
  • प्रतिध्वनि की घटना एक दृढ सीमा द्वारा परावर्तन का एक उदाहरण है।
• यदि सीमा पूरी तरह से दृढ नहीं है या वह दो अलग-अलग प्रत्यास्थ माध्यमों के बीच एक अंतराफलक है तो स्थिति कुछ जटिल है।
• आपतित तरंग का एक भाग परावर्तित होता है और एक भाग दूसरे माध्यम में संचारित होता है।
  • संचरित तरंग को अपवर्तित तरंग कहते हैं।
• आपतित और अपवर्तित तरंगें स्नेल के अपवर्तन के नियम का पालन करती हैं और आपतित और परावर्तित तरंगें परावर्तन के सामान्य नियमों का पालन करती हैं।

एक दृढ सीमा द्वारा परावर्तन:

• यदि कोई स्पंद एक तनी हुई डोरी के अनुदिश गमन करता है और दृढ सीमा से परावर्तित होता है।
  • यह मानते हुए कि सीमा द्वारा ऊर्जा का अवशोषण नहीं होता है, परावर्तित तरंग की आवृत्ति और आयाम आपतित स्पंद के समान होता है, लेकिन यह परावर्तन पर π या 180° के फेज परिवर्तन से गुजरता है।
  • ऐसा इसलिए है क्योंकि सीमा दृढ है और विक्षोभ में सीमा पर हर समय शून्य विस्थापन होने चाहिए।
• अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार यह तभी संभव है जब परावर्तित और आपतित तरंगें के फेज π से भिन्न हों ताकि परिणामी विस्थापन शून्य हो।

एक गैर-दृढ सीमा द्वारा परावर्तन:

• यदि सीमा बिंदु दृढ नहीं है लेकिन गति करने के लिए पूरी तरह से स्वतंत्र है (जैसे कि एक छड़ पर एक स्वतंत्र रूप से चलने वाले वलय से बंधे स्ट्रिंग के मामले में), (कोई ऊर्जा अपव्यय नहीं मानते हुए) परावर्तित स्पंद में आपतित स्पंद के समान फेज, आयाम और आवृत्ति होती हैं।
• सीमा पर शुद्ध अधिकतम विस्थापन तब प्रत्येक स्पंद के आयाम का दोगुना होता है। एक गैर-दृढ सीमा का एक उदाहरण एक ऑर्गन पाइप का खुला छोर है।

व्याख्या:

• यदि कोई स्पंद एक तनी हुई डोरी के अनुदिश गमन करता है और दृढ सीमा से परावर्तित होता है।
• यह मानते हुए कि सीमा द्वारा ऊर्जा का अवशोषण नहीं होता है, परावर्तित तरंग की आवृत्ति और आयाम आपतित स्पंद के समान होता है, लेकिन यह परावर्तन पर π या 180° के फेज परिवर्तन से गुजरता है।
• तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार परिणामी तरंग के विक्षोभ में सीमा पर हर समय शून्य विस्थापन होने चाहिए। अतः विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:

दो तरंगों का अध्यारोपण:

दो तरंगे-

\({y_1} = {A_1}\sin \left( {\omega t - {\gamma _1}} \right)\), \({y_2} = {A_2}\sin \left( {\omega t - {\gamma _2}} \right)\)

फिर अध्यारोपण के सिद्धांत द्वारा,

y = y1 + y2

\(y = {A_1}\sin \left( {\omega t - {\gamma _1}} \right) + {A_2}\sin \left( {\omega t - {\gamma _2}} \right)\)

∴ दो तरंगों के बीच का कला अंतर है

\(\phi = \left( {\omega t - {\gamma _2}} \right) - \left( {\omega t - {\gamma _1}} \right)\)

\(\phi = {\gamma _1} - {\gamma _2}\)

\(y = A\sin \left( {\omega t - \phi } \right)\)        ---------- (1)

परिणामी तरंग है-

\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\gamma _1} - {\gamma _2}} \right)} \)

इसलिए विकल्प 2 सही है।

और \(\tan \phi = \frac{{{A_2}\sin \phi }}{{{A_1} + {A_2}\cos \phi }}\)

व्याख्या:

दिया गया है:

f (t) = A sin ωt + B cos ωt

\(f\left( t \right) = \;\sqrt {{A^2} + {B^2}\;} \;Sin\;\left( {\omega t + \;\varphi } \right)\)

\(tan\varphi = \frac{B}{A}\)

φ = tan-1(B/A)

तो विकल्प 3 सही है।

संकल्पना:

• ध्वनि तरंगों का व्यतिकरण: जब समान आवृत्ति, समान तरंगदैर्ध्य, समान वेग (लगभग बराबर आयाम) वाले दो तरंग समान दिशा में गतिमान होते हैं तो उनके अध्यारोपण के परिणामस्वरूप व्यतिकरण होता है।
• व्यतिकरण के कारण उस बिंदु पर ध्वनि की परिणामी तीव्रता पृथक रूप से प्रत्येक तरंग के कारण तीव्रताओं के योग से अलग होती है।

व्यतिकरण के दो प्रकार निम्न है :

• रचनात्मक व्यतिकरण: यह ध्वनि तरंग की प्रभावी तीव्रता या आयाम को बढ़ाता है।
• विध्वंसक व्यतिकरण: यह ध्वनि तरंग की प्रभावी तीव्रता या आयाम को घटाता है। 

वर्णन:

दो तरंग 

\({y_1} = {A_1}\sin \left( {\omega t - {\gamma _1}} \right)\), \({y_2} = {A_2}\sin \left( {\omega t - {\gamma _2}} \right)\)

तो अध्यारोपण के सिद्धांत द्वारा

y = y₁ + y₂

\(y = {A_1}\sin \left( {\omega t - {\gamma _1}} \right) + {A_2}\sin \left( {\omega t - {\gamma _2}} \right)\)

∴ दो तरंगों के बीच चरणान्तर निम्न है

\(\phi = \left( {\omega t - {\gamma _2}} \right) - \left( {\omega t - {\gamma _1}} \right)\)

\(\phi = {\gamma _1} - {\gamma _2}\)

\(y = A\sin \left( {\omega t - \phi } \right)\)        ---------- (1)

परिणामी तरंग निम्न है 

\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\gamma _1} - {\gamma _2}} \right)} \)

अतः विकल्प 2 सही है।

और \(\tan \phi = \frac{{{A_2}\sin \phi }}{{{A_1} + {A_2}\cos \phi }}\)

संकल्पना:

तरंगों के अध्यारोपण का सिद्धांत:

• जब दो या दो से अधिक तरंगें स्थान में किसी बिंदु पर एक साथ आती हैं तो परिणामी विक्षोभ तरंग व्यक्तिगत तरंगों के विक्षोभ का सदिश योग होता है।

• अध्यारोपण का सिद्धांत व्यतिकरण की घटना के लिए बुनियादी है।
• समान ω (कोणीय आवृत्ति) और k (तरंग संख्या) और इसीलिए समान तरंग दैर्ध्य λ के साथ हम एक फैली हुई डोरी पर दो गुणावृत्ति प्रगामी तरंगों पर विचार करें।
  • उनकी तरंग गति समान होगी। आगे हम यह मान लें कि उनके आयाम समान हैं और वे दोनों x-अक्ष की धनात्मक दिशा में यात्रा कर रहे हैं। तरंगें केवल अपने प्रारंभिक फेज में भिन्न होती हैं।
• दो तरंगों को निम्न फलनों द्वारा वर्णित किया गया है:

⇒ y1 = a.sin(kx - ωt)

⇒ y2 = a.sin(kx - ωt + ϕ)

• अध्यारोपण के सिद्धांत से शुद्ध विस्थापन इसके द्वारा दिया जाता है,

\(⇒ y = 2a.cos\frac{ϕ}{2}sin\left ( kx-ω t+\frac{ϕ}{2} \right )\)

• परिणामी तरंग भी x-अक्ष की धनात्मक दिशा में समान आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के साथ एक गुणावृत्ति प्रगामी तरंग है। हालांकि इसका प्रारंभिक फेज कोण \(\frac{ϕ}{2}\) है।

व्यतिकरण:

• जब दो या दो से अधिक तरंगें स्थान में किसी बिंदु पर एक साथ आती हैं तो परिणामी विक्षोभ तरंग व्यक्तिगत तरंगों के विक्षोभ का सदिश योग होता है। इस घटना को तरंगों का व्यतिकरण कहा जाता है।
• दो प्रकार होते हैं
  1. रचनात्मक व्यतिकरण:
  2. विनाशी व्यतिकरण:

व्याख्या:

• मान लें कि समान आयाम और तरंग दैर्ध्य की दो गुणावृत्ति तरंगें इस प्रकार दी गई हैं

⇒ y1 = a.sin(kx - ωt)

⇒ y2 = a.sin(kx - ωt + ϕ)

जहां = y₁ और y₂ के बीच फेज अंतर

• अध्यारोपण के सिद्धांत से शुद्ध विस्थापन इसके द्वारा दिया जाता है,

\(⇒ y = 2a.cos\frac{ϕ}{2}sin\left ( kx-ω t+\frac{ϕ}{2} \right )\)     -----(1)

• समीकरण 1 द्वारा परिणामी तरंग का आयाम इस प्रकार दिया गया है,

\(⇒ A=2a.cos\frac{ϕ}{2}\)

• अतः विकल्प 1 सही है।

संकल्पना:

तरंगों के अध्यारोपण का सिद्धांत:

• जब दो या दो से अधिक तरंगें स्थान में किसी बिंदु पर एक साथ आती हैं तो परिणामी विक्षोभ तरंग व्यक्तिगत तरंगों के विक्षोभ का सदिश योग होता है।

• अध्यारोपण का सिद्धांत व्यतिकरण की घटना के लिए बुनियादी है।
• समान ω (कोणीय आवृत्ति) और k (तरंग संख्या) और इसीलिए समान तरंग दैर्ध्य λ के साथ हम एक फैली हुई डोरी पर दो गुणावृत्ति प्रगामी तरंगों पर विचार करें।
  • उनकी तरंग गति समान होगी। आगे हम यह मान लें कि उनके आयाम समान हैं और वे दोनों x-अक्ष की धनात्मक दिशा में यात्रा कर रहे हैं। तरंगें केवल अपने प्रारंभिक फेज में भिन्न होती हैं।
• दो तरंगों को निम्न फलनों द्वारा वर्णित किया गया है:

⇒ y1 = a.sin(kx - ωt)

⇒ y2 = a.sin(kx - ωt + ϕ)

• अध्यारोपण के सिद्धांत से शुद्ध विस्थापन इसके द्वारा दिया जाता है,

\(⇒ y = 2a.cos\frac{ϕ}{2}sin\left ( kx-ω t+\frac{ϕ}{2} \right )\)

• परिणामी तरंग भी x-अक्ष की धनात्मक दिशा में समान आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के साथ एक गुणावृत्ति प्रगामी तरंग है। हालांकि इसका प्रारंभिक फेज कोण \(\frac{ϕ}{2}\) है।

गणना:

दिया गया: \(y_1 = a .sin(\omega t),\, and \,y_2 = a .\cos \omega t\)

\(\Rightarrow y_{2}= a cos\left ( \omega t \right )=asin\left ( \omega t+\frac{\pi}{2} \right )\)

• दो तरंगों के अध्यारोपण के बाद तरंग का परिणामी आयाम:

⇒ \(A = \sqrt{a^{2}+b^{2}+2 a\times b\times cosϕ }\)

जहां, a = तरंग 1 का आयाम, b = तरंग 2 का आयाम और ϕ = फेज अंतर

यहाँ, a = a, b = a और ϕ = \(\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(A = \sqrt{a^{2}+a^{2}+2 a\times a\times cos​​\frac{\pi}{2} }\)

⇒ \(A = \sqrt{2a^{2} }\)

⇒ \(A = \sqrt{2 }a\)

• अतः विकल्प 1 सही है।

अतिरिक्त सूचना

व्यतिकरण:

• जब दो या दो से अधिक तरंगें स्थान में किसी बिंदु पर एक साथ आती हैं तो परिणामी विक्षोभ तरंग व्यक्तिगत तरंगों के विक्षोभ का सदिश योग होता है।
• दो प्रकार होते हैं
  1. रचनात्मक व्यतिकरण:
  2. विनाशी व्यतिकरण:

संकल्पना:

तरंगों के अध्यारोपण का सिद्धांत:

• जब दो या दो से अधिक तरंगें स्थान में किसी बिंदु पर एक साथ आती हैं तो परिणामी विक्षोभ तरंग व्यक्तिगत तरंगों के विक्षोभ का सदिश योग होता है।

• अध्यारोपण का सिद्धांत व्यतिकरण की घटना के लिए बुनियादी है।

व्यतिकरण:

• जब दो या दो से अधिक तरंगें स्थान में किसी बिंदु पर एक साथ आती हैं तो परिणामी विक्षोभ तरंग व्यक्तिगत तरंगों के विक्षोभ का सदिश योग होता है। इस घटना को तरंगों का व्यतिकरण कहा जाता है।
• दो प्रकार होते हैं
  1. रचनात्मक व्यतिकरण:
  2. विनाशी व्यतिकरण:

व्याख्या:

• यदि दो तरंगें एक ही फेज में एक दूसरे के साथ अध्यारोपित होती हैं तो परिणामी का आयाम अलग-अलग तरंगों के आयामों के योग के बराबर होता है जिसके परिणामस्वरूप प्रकाश की अधिकतम तीव्रता होती है, इसे रचनात्मक व्यतिकरण के रूप में जाना जाता है।
• अतः विकल्प 1 सही है।