Special Distributions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Special Distributions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या -

a) यह गलत है। एक सामान्य और एक बर्नोली वितरित चर का योग सामान्य वितरण का पालन नहीं करता है। एक अंतर्ज्ञान के रूप में, बर्नोली चर एक असंतता (यह केवल 0 या 1 हो सकता है) का परिचय देता है, जो सामान्य वितरण की विशेषता नहीं है।

b) यह गलत है। स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का माध्य उनके माध्यों का योग होता है। इसलिए, W का माध्य E[U] + E[V] = 0 + 0.5 = 0.5 है।

c) यह गलत है।

स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों का योग होता है। V एक बर्नोली चर होने के कारण, इसका प्रसरण (0.5)(1 - 0.5) = 0.25 है।

इसलिए, W का प्रसरण 1 (U का प्रसरण) + 0.25 (V का प्रसरण) = 1.25 है। मानक विचलन तब प्रसरण का वर्गमूल है, √(1.25) = 1.12 (लगभग)।

d) यह सही है। दो या अधिक स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का प्रायिकता वितरण उनके व्यक्तिगत वितरणों का कनवल्शन होता है।

व्याख्या -

a) Y वितरण का माध्य 7 है।

यह सही है। दिया गया है Y = 2Z + 1 और यदि Z का माध्य 3 है, तो Z के माध्य को Y में प्रतिस्थापित करने पर, हमें Y का माध्य = 2 x 3 + 1 = 7 प्राप्त होता है।

b) Y वितरण का मानक विचलन 2 है।

यह गलत है। जब एक यादृच्छिक चर को एक स्थिरांक से गुणा किया जाता है और एक स्थिरांक जोड़ा जाता है, तो इसका मानक विचलन भी उसी स्थिरांक (इस मामले में 2) के निरपेक्ष मान से गुणा हो जाता है। इसलिए, Y का मानक विचलन 2 x σ(Z) = 2 x 2 = 4 होना चाहिए।

c) यादृच्छिक चर Y एक सामान्य वितरण का पालन करता है।

यह सही है। सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का कोई भी रैखिक परिवर्तन एक सामान्य वितरण बना रहता है।

d) प्रायिकता P(Y < 5) को P(Z < 2) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यह सही है। आइए Z के लिए हल करने के लिए व्यंजक Y = 2Z + 1 में Y = 5 को प्रतिस्थापित करें। हमें \( Z = \frac{(5-1)}{2} =2. \) प्राप्त होता है। इसलिए, P(Y < 5) P(Z < 2) के समतुल्य है।

व्याख्या -

एक प्रसामान्य यादृच्छिक चर (इसे X कहते हैं) के रैखिक परिवर्तन के मामले में, माध्य और मानक विचलन निम्नलिखित सूत्रों के अनुसार बदलेंगे:

\(µy = a \times µx + b \ \ और \ \ σy = |a| \times σx\)

जहाँ a गुणक (इस मामले में 3) है और b योज्य स्थिरांक (इस मामले में 2) है। सूत्रों का उपयोग करके, हम गणना करेंगे:

\(µy = 3 \times 0 + 2 = 2 \ \ और \ \ σy = |3| \times 1 = 3\)

इस प्रकार, सही उत्तर (iii) µy = 2, σy = 3 है।

सही उत्तर A- III, B- I, C- IV, D- II है।Key PointsA. एक कतार में ग्राहकों के लगातार आने के बीच का समय अंतराल - III। घातीय वितरण: घातीय वितरण का उपयोग आमतौर पर एक पोइसन प्रक्रिया के बाद यादृच्छिक रूप से और स्वतंत्र रूप से होने वाली घटनाओं के बीच के समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है। एक कतार में ग्राहकों के लगातार आगमन के बीच समय अंतराल के संदर्भ में, आगमन के बीच प्रतीक्षा समय की संभाव्यता वितरण का विश्लेषण करने के लिए घातीय वितरण लागू किया जाता है।

B.पूंजीवादी समाज में आय, संपत्ति और कुछ मानवीय योग्यताओं का वितरण- I. पारेटो वितरण: पारेटो वितरण, जिसे पावर-लॉ वितरण के रूप में भी जाना जाता है, अक्सर मॉडल घटना के लिए उपयोग किया जाता है जहां घटनाओं या चर की एक छोटी संख्या खाते में होती है कुल के एक बड़े हिस्से के लिए। पूंजीवादी समाज में आय, संपत्ति और कुछ मानवीय क्षमताओं के वितरण के संदर्भ में, पेरेटो वितरण को असमान वितरण का विश्लेषण करने के लिए लागू किया जाता है जहां जनसंख्या का एक छोटा अंश संसाधनों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा रखता है।

C. एक समाजवादी समाज में शेयर की कीमतों में उतार-चढ़ाव और आय का वितरण - IV तार्किक वितरण: तार्किक वितरण का इस्तेमाल आमतौर पर वेरिएबल्स को मॉडल करने के लिए किया जाता है जो कई छोटे स्वतंत्र कारकों के उत्पाद हैं।स्टॉक की कीमतों में उतार-चढ़ाव के संदर्भ में, यह स्टॉक रिटर्न के वितरण का वर्णन करने के लिए लागू किया जाता है, जो एक तिरछा और असममित पैटर्न प्रदर्शित करता है। इसी तरह, एक समाजवादी समाज में आय के वितरण के संदर्भ में, असामान्य वितरण का उपयोग असमान वितरण का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है, जहां अधिकांश लोगों की अपेक्षाकृत कम आय होती है, जबकि कुछ व्यक्तियों या संस्थाओं की आय काफी अधिक होती है।

D. दुर्लभ घटनाओं का वितरण, अर्थात घटित होने की संभावना बहुत कम है लेकिन परीक्षणों की संख्या बहुत बड़ी है - II. पॉइसन वितरण: पॉइसन वितरण का उपयोग अक्सर समय या स्थान के एक निश्चित अंतराल में दुर्लभ घटनाओं की घटना को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यह घटना की एक छोटी संभावना लेकिन बड़ी संख्या में स्वतंत्र परीक्षणों की विशेषता है। इस संदर्भ में, दुर्लभ घटनाओं जैसे दुर्घटनाओं, त्रुटियों, या अन्य घटनाओं के वितरण का विश्लेषण करने के लिए पॉइसन वितरण लागू किया जाता है, लेकिन बड़ी संख्या में परीक्षणों पर देखा जा सकता है।

इसलिए, सही मिलान है:

A. एक कतार में ग्राहकों के लगातार आने के बीच का समय अंतराल - III। घातीय वितरण

B.पूंजीवादी समाज में आय, संपत्ति और कुछ मानवीय योग्यताओं का वितरण- I. पारेटो वितरण

C. एक समाजवादी समाज में शेयर की कीमतों में उतार-चढ़ाव और आय का वितरण - IV तार्किक वितरण

D. दुर्लभ घटनाओं का वितरण, अर्थात घटित होने की संभावना बहुत कम है लेकिन परीक्षणों की संख्या बहुत बड़ी है - II. पॉइसन वितरण

अवधारणा:

द्विपद बंटन असंतत प्रायिकता बंटन है जो एक प्रयोग में केवल दो संभावित परिणाम देता है, या तो सफलता या विफलता।

बर्नौली अभिप्रयोग: एक प्रयोग जिसमें N अभिप्रयोग, किसी दिए गए अभिप्रयोग में सफलता की प्रायिकता p और किसी दिए गए अभिप्रयोग में विफलता की प्रायिकता q = 1 - p वाली घटना से बने होते है।

द्विपद बंटन सफल परीक्षणों की संख्या n प्राप्त करने की प्रायिकता देता है जो नीचे दर्शाया गया है:

P = \(_{n}^{N}\textrm{C}\)(p)ⁿ(q)^N-n  = \(_{n}^{N}\textrm{C}\)(p)ⁿ(q)^N-n

गणना:

दिया गया है:

100 बल्बों के समूह में 10 खराब बल्ब हैं।

100 बल्बों के समूह से एक खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता

=  \(\frac{10}{100}\) = 0.1

⇒ 100 बल्बों के समूह से एक सही बल्ब निकालने की प्रायिकता= \(\frac{90}{100}\) = 0.9

⇒ जब यादृच्छिक रूप से 8 बल्बों का चयन किया जाता है, तो कम से कम एक खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।

यह द्विपद बंटन का एक उदाहरण है।

यहाँ, N = 8, p = 0.1, q = 0.9

इसलिए, द्विपद प्रमेय का उपयोग करके अभीष्ट प्रायिकता दी जाती है,

कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - कोई खराब बल्ब न निकलने की प्रायिकता

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - \(_{0}^{8}\textrm{C}\)(p)0(q)8-0

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - (0.1)0(0.9)8

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता= 1 - (\(\frac{9}{10}\))⁸

अतः, सही उत्तर विकल्प 4 है। 

संकल्पना:

द्विपद वितरण:

यह ठीक 'n' परीक्षणों में घटना के 'r' के बार होने की प्रायिकता देता है।

P(r) = nCr(p)r(q)n - r

जहाँ n = परीक्षणों की संख्या, r = अनुकूल घटनाओं की संख्या, p = किसी घटना के होने की प्रायिकता और q = (1 - p) किसी घटना के न होने की प्रायिकता।

गणना:

दिया हुआ:

n = 5 (5 बार उछाला गया), r = 2 (ठीक दो चित), p = 1/2 (घटना होने की प्रायिकता) और q = 1/2 (किसी घटना के न होने की प्रायिकता)

P(r) = nCr(p)r(q)n - r

∴ चित के ठीक 2 बार होने की प्रायिकता P(2) है।

\(P(2)={5_{{C_2}}}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^3\Rightarrow\frac{5}{16}\)

अवधारणा:

द्विपद बंटन असंतत प्रायिकता बंटन है जो एक प्रयोग में केवल दो संभावित परिणाम देता है, या तो सफलता या विफलता।

बर्नौली अभिप्रयोग: एक प्रयोग जिसमें N अभिप्रयोग, किसी दिए गए अभिप्रयोग में सफलता की प्रायिकता p और किसी दिए गए अभिप्रयोग में विफलता की प्रायिकता q = 1 - p वाली घटना से बने होते है।

द्विपद बंटन सफल परीक्षणों की संख्या n प्राप्त करने की प्रायिकता देता है जो नीचे दर्शाया गया है:

P = \(_{n}^{N}\textrm{C}\)(p)ⁿ(q)^N-n  = \(_{n}^{N}\textrm{C}\)(p)ⁿ(q)^N-n

गणना:

दिया गया है:

100 बल्बों के समूह में 10 खराब बल्ब हैं।

100 बल्बों के समूह से एक खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता

=  \(\frac{10}{100}\) = 0.1

⇒ 100 बल्बों के समूह से एक सही बल्ब निकालने की प्रायिकता= \(\frac{90}{100}\) = 0.9

⇒ जब यादृच्छिक रूप से 8 बल्बों का चयन किया जाता है, तो कम से कम एक खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।

यह द्विपद बंटन का एक उदाहरण है।

यहाँ, N = 8, p = 0.1, q = 0.9

इसलिए, द्विपद प्रमेय का उपयोग करके अभीष्ट प्रायिकता दी जाती है,

कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - कोई खराब बल्ब न निकलने की प्रायिकता

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - \(_{0}^{8}\textrm{C}\)(p)0(q)8-0

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - (0.1)0(0.9)8

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता= 1 - (\(\frac{9}{10}\))⁸

अतः, सही उत्तर विकल्प 4 है। 

संकल्पना:

द्विपद वितरण का सूत्र:

\(P\left( x \right) = \;{n_{{C_x}}}{p^x}{q^{n - x}}\)

जहाँ

p = एक परीक्षण की सफलता की प्रायिकता

q = (1- p) = एक परीक्षण की विफलता की प्रायिकता

n = परीक्षण की कुल संख्या

x = दी गई स्थिति के लिए सफल परीक्षणों की संख्या

\({n_{{C_x}}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - x} \right)!x!}}\) = एक बार में x लिए गए n के संयोजनों की संख्या

P(x) = x परीक्षण की सफलता की प्रायिकता

गणना:

दिया हुआ:

अवलोकनों की संख्या (n) = 12, सफलता की प्रायिकता (p) = \(\frac{1}{2}\) , विफलता की प्रायिकता (q) = \(\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\) = \( \frac{1}{2}\) , x = 7

\(P\left( x \right) = \;{n_{{C_x}}}{p^x}{q^{n - x}}\)

\(P(x) = \frac{{12!}}{{\left( {12 - 7} \right)!~ \times 7!}} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^7} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}\)

\(P(x)= \frac{{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}}{{\left( 5\times4\times3\times2\times1 \right) \times 7!}} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^7} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}\)

P(x) = 0.19

Important Points

अगर समस्या में निम्न है;

• केवल दो परिणाम सफलता या विफलता।
• सफलता और विफलता की प्रायिकता सभी परिणामों के लिए समान है।
• एक परीक्षण के परिणाम अन्य परीक्षणों के परिणाम को प्रभावित नहीं करते हैं।

तो हम प्रायिकता समस्याओं में द्विपद वितरण के साथ प्रयास करते हैं।

सही उत्तर A- III, B- I, C- IV, D- II है।Key PointsA. एक कतार में ग्राहकों के लगातार आने के बीच का समय अंतराल - III। घातीय वितरण: घातीय वितरण का उपयोग आमतौर पर एक पोइसन प्रक्रिया के बाद यादृच्छिक रूप से और स्वतंत्र रूप से होने वाली घटनाओं के बीच के समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है। एक कतार में ग्राहकों के लगातार आगमन के बीच समय अंतराल के संदर्भ में, आगमन के बीच प्रतीक्षा समय की संभाव्यता वितरण का विश्लेषण करने के लिए घातीय वितरण लागू किया जाता है।

B.पूंजीवादी समाज में आय, संपत्ति और कुछ मानवीय योग्यताओं का वितरण- I. पारेटो वितरण: पारेटो वितरण, जिसे पावर-लॉ वितरण के रूप में भी जाना जाता है, अक्सर मॉडल घटना के लिए उपयोग किया जाता है जहां घटनाओं या चर की एक छोटी संख्या खाते में होती है कुल के एक बड़े हिस्से के लिए। पूंजीवादी समाज में आय, संपत्ति और कुछ मानवीय क्षमताओं के वितरण के संदर्भ में, पेरेटो वितरण को असमान वितरण का विश्लेषण करने के लिए लागू किया जाता है जहां जनसंख्या का एक छोटा अंश संसाधनों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा रखता है।

C. एक समाजवादी समाज में शेयर की कीमतों में उतार-चढ़ाव और आय का वितरण - IV तार्किक वितरण: तार्किक वितरण का इस्तेमाल आमतौर पर वेरिएबल्स को मॉडल करने के लिए किया जाता है जो कई छोटे स्वतंत्र कारकों के उत्पाद हैं।स्टॉक की कीमतों में उतार-चढ़ाव के संदर्भ में, यह स्टॉक रिटर्न के वितरण का वर्णन करने के लिए लागू किया जाता है, जो एक तिरछा और असममित पैटर्न प्रदर्शित करता है। इसी तरह, एक समाजवादी समाज में आय के वितरण के संदर्भ में, असामान्य वितरण का उपयोग असमान वितरण का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है, जहां अधिकांश लोगों की अपेक्षाकृत कम आय होती है, जबकि कुछ व्यक्तियों या संस्थाओं की आय काफी अधिक होती है।

D. दुर्लभ घटनाओं का वितरण, अर्थात घटित होने की संभावना बहुत कम है लेकिन परीक्षणों की संख्या बहुत बड़ी है - II. पॉइसन वितरण: पॉइसन वितरण का उपयोग अक्सर समय या स्थान के एक निश्चित अंतराल में दुर्लभ घटनाओं की घटना को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यह घटना की एक छोटी संभावना लेकिन बड़ी संख्या में स्वतंत्र परीक्षणों की विशेषता है। इस संदर्भ में, दुर्लभ घटनाओं जैसे दुर्घटनाओं, त्रुटियों, या अन्य घटनाओं के वितरण का विश्लेषण करने के लिए पॉइसन वितरण लागू किया जाता है, लेकिन बड़ी संख्या में परीक्षणों पर देखा जा सकता है।

इसलिए, सही मिलान है:

A. एक कतार में ग्राहकों के लगातार आने के बीच का समय अंतराल - III। घातीय वितरण

B.पूंजीवादी समाज में आय, संपत्ति और कुछ मानवीय योग्यताओं का वितरण- I. पारेटो वितरण

C. एक समाजवादी समाज में शेयर की कीमतों में उतार-चढ़ाव और आय का वितरण - IV तार्किक वितरण

D. दुर्लभ घटनाओं का वितरण, अर्थात घटित होने की संभावना बहुत कम है लेकिन परीक्षणों की संख्या बहुत बड़ी है - II. पॉइसन वितरण

संकल्पना:

गाऊसी वितरण:

गाऊसी वितरण का उपयोग अक्सर सांख्यिकी में किया जाता है और अक्सर प्राकृतिक और सामाजिक विज्ञानों में वास्तविक-मूल्य वाले यादृच्छिक चरों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है जिनके वितरण ज्ञात नहीं हैं।

उदाहरण-तापीय शोर।

रेले वितरण

रेले वितरण का उपयोग मोबाइल कंप्यूटिंग में फ्लैट फेडिंग चैनलों के लिए किया जाता है।

पॉइसन वितरण

पॉइसन वितरण एक सैद्धांतिक असतत प्रायिकता वितरण है जो उन स्थितियों में बहुत उपयोगी है जहाँ असतत घटनाएँ निरंतर तरीके से होती हैं।

इसके कई व्यावहारिक परिदृश्यों में बहुत बड़े अनुप्रयोग हैं जैसे कॉल सेंटर पर प्रति मिनट प्राप्त कॉल की संख्या निर्धारित करना।

एकसमान वितरण

एकसमान वितरण में, प्रत्येक परिणाम के होने की समान संभावना होती है और इसे समान संभावनाओं वाले प्रत्येक संभावित परिणाम के साथ एक यादृच्छिक प्रयोग के लिए लागू किया जाता है।

संकल्पना:

\(Probability \ of \ getting \ x \ head\ N\ trials =\binom{N}{x}p^xq^{N-x}\)

जहां p = चित की प्रायिकता, q = पट की प्रायिकता, N = परीक्षणों की कुल संख्या, x = चित की संख्या

गणना:

दिया है:

परीक्षणों की संख्या = N, चित की संख्या (x) = 0, 

निष्पक्ष सिक्के के लिए,

चित की प्रायिकता (p) = \(\frac{1}{2}\)

पट की प्रायिकता (q) = \(\frac{1}{2}\)

\(Probability \ of \ getting \ 0 \ head\ N\ trials =\binom{N}{0}(\frac{1}{2})^0(\frac{1}{2})^{N-0}\)

\(Probability \ of \ getting \ 0 \ head\ N\ trials =(\frac{1}{2})^N\)

संकल्पना:

द्विपद वितरण:

यह ठीक 'n' परीक्षणों में घटना के 'r' के बार होने की प्रायिकता देता है।

P(r) = nCr(p)r(q)n - r

जहाँ n = परीक्षणों की संख्या, r = अनुकूल घटनाओं की संख्या, p = किसी घटना के होने की प्रायिकता और q = (1 - p) किसी घटना के न होने की प्रायिकता।

गणना:

दिया हुआ:

n = 5 (5 बार उछाला गया), r = 2 (ठीक दो चित), p = 1/2 (घटना होने की प्रायिकता) और q = 1/2 (किसी घटना के न होने की प्रायिकता)

P(r) = nCr(p)r(q)n - r

∴ चित के ठीक 2 बार होने की प्रायिकता P(2) है।

\(P(2)={5_{{C_2}}}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^3\Rightarrow\frac{5}{16}\)

अवधारणा:

द्विपद बंटन असंतत प्रायिकता बंटन है जो एक प्रयोग में केवल दो संभावित परिणाम देता है, या तो सफलता या विफलता।

बर्नौली अभिप्रयोग: एक प्रयोग जिसमें N अभिप्रयोग, किसी दिए गए अभिप्रयोग में सफलता की प्रायिकता p और किसी दिए गए अभिप्रयोग में विफलता की प्रायिकता q = 1 - p वाली घटना से बने होते है।

द्विपद बंटन सफल परीक्षणों की संख्या n प्राप्त करने की प्रायिकता देता है जो नीचे दर्शाया गया है:

P = \(_{n}^{N}\textrm{C}\)(p)ⁿ(q)^N-n  = \(_{n}^{N}\textrm{C}\)(p)ⁿ(q)^N-n

गणना:

दिया गया है:

100 बल्बों के समूह में 10 खराब बल्ब हैं।

100 बल्बों के समूह से एक खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता

=  \(\frac{10}{100}\) = 0.1

⇒ 100 बल्बों के समूह से एक सही बल्ब निकालने की प्रायिकता= \(\frac{90}{100}\) = 0.9

⇒ जब यादृच्छिक रूप से 8 बल्बों का चयन किया जाता है, तो कम से कम एक खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।

यह द्विपद बंटन का एक उदाहरण है।

यहाँ, N = 8, p = 0.1, q = 0.9

इसलिए, द्विपद प्रमेय का उपयोग करके अभीष्ट प्रायिकता दी जाती है,

कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - कोई खराब बल्ब न निकलने की प्रायिकता

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - \(_{0}^{8}\textrm{C}\)(p)0(q)8-0

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - (0.1)0(0.9)8

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता= 1 - (\(\frac{9}{10}\))⁸

अतः, सही उत्तर विकल्प 4 है। 

संकल्पना:

पॉइसन वितरण के मामले में, माध्य और प्रसरण समान हैं।

हिसाब:

दिया गया है, माध्य = 7

E[(Y + 3)2] = E [Y2 + 6Y + 9] = E[Y2] + E[6Y] + E[9]

प्रसरण = E[Y2] - (E[Y])2

जैसे, माध्य = प्रसरण = 7

माध्य = E[Y]

7 = E[Y2] -  (7)2

7 = E[Y2] - 49

E[Y2] = 56

संकल्पना:

द्विपद वितरण का सूत्र:

\(P\left( x \right) = \;{n_{{C_x}}}{p^x}{q^{n - x}}\)

जहाँ

p = एक परीक्षण की सफलता की प्रायिकता

q = (1- p) = एक परीक्षण की विफलता की प्रायिकता

n = परीक्षण की कुल संख्या

x = दी गई स्थिति के लिए सफल परीक्षणों की संख्या

\({n_{{C_x}}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - x} \right)!x!}}\) = एक बार में x लिए गए n के संयोजनों की संख्या

P(x) = x परीक्षण की सफलता की प्रायिकता

गणना:

दिया हुआ:

अवलोकनों की संख्या (n) = 12, सफलता की प्रायिकता (p) = \(\frac{1}{2}\) , विफलता की प्रायिकता (q) = \(\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\) = \( \frac{1}{2}\) , x = 7

\(P\left( x \right) = \;{n_{{C_x}}}{p^x}{q^{n - x}}\)

\(P(x) = \frac{{12!}}{{\left( {12 - 7} \right)!~ \times 7!}} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^7} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}\)

\(P(x)= \frac{{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}}{{\left( 5\times4\times3\times2\times1 \right) \times 7!}} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^7} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}\)

P(x) = 0.19

Important Points

अगर समस्या में निम्न है;

• केवल दो परिणाम सफलता या विफलता।
• सफलता और विफलता की प्रायिकता सभी परिणामों के लिए समान है।
• एक परीक्षण के परिणाम अन्य परीक्षणों के परिणाम को प्रभावित नहीं करते हैं।

तो हम प्रायिकता समस्याओं में द्विपद वितरण के साथ प्रयास करते हैं।