Solving Linear Differential Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solving Linear Differential Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Explanation:

 + 2y sec²x = 2sec²x + 3 tan x sec²x 

I.F. = 

I.F. = e^2tanx

Put tan x = u

sec²xdx = du 

F(0) = 

1 = C

 = 21

यदि

माना

माना

.........(I)

पर

पर

व्याख्या:

A.

यह फलन x > 0 के लिए परिभाषित है, क्योंकि लघुगणक फलन केवल x के धनात्मक मानों के लिए परिभाषित है।

वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जिसमें फलन वर्धमान है, x के सापेक्ष का अवकलज ज्ञात कीजिए।

हल करने के बाद, यह पाया जा सकता है कि फलन x > e के लिए वर्धमान है।

इसलिए, सही अंतराल (IV) है।

B.

यह फलन के लिए परिभाषित है।

अवकलज ज्ञात करके और उसे शून्य के बराबर रखकर,

यह दिखाया जा सकता है कि फलन x > 2 और x

इसलिए, सही अंतराल (I) है।

C. 0 \)

यह फलन x > 0 के लिए वर्धमान है।

इसलिए, सही अंतराल (III) है।

D.

का अवकलज है।

इस अवकलज को शून्य से अधिक रखने पर अंतराल प्राप्त होता है, इसलिए सही अंतराल (II) है।

अंतिम उत्तर:

सही मिलान है:

(A) → (IV)
(B) → (I)
(C) → (III)
(D) → (II)

सही विकल्प (3) है।

संप्रत्यय:

समाकलन गुणक :

• समाकलन गुणक का उपयोग रैखिक प्रथम-कोटि अवकल समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।
• रूप: dy/dx + P(x)y = Q(x) के रैखिक अवकल समीकरण के लिए, समाकलन गुणक इस प्रकार दिया गया है:
• समाकलन गुणक = e^∫P(x)dx

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण है:

y log_e(y) dx/dy + x = 2 log_e(y)

समीकरण को पुनः लिखित करने पर:

y log_e(y) dx/dy = 2 log_e(y) - x

दोनों पक्षों को y log_e(y) से विभाजित करने पर:

dx/dy = 2/y - x/(y log_e(y))

यह रैखिक प्रथम-कोटि अवकल समीकरण के मानक रूप में है:

dx/dy + P(y) x = Q(y)

P(y) = 1/(y log_e(y)) और Q(y) = 2/y की पहचान करते हुए, हम समाकलन गुणक ज्ञात करते हैं:

μ(y) = e^∫P(y)dy = e^{∫1/(y log_e(y))dy}

1/(y log_e(y)) का समाकल log_e(log_e(y)) है, इसलिए:

μ(y) = log_e(y)

इसलिए, समाकलन गुणक: log_e(y) है। 

संप्रत्यय:

समाकलन और समाकलन का अचर:

• इस समस्या में दिए गए समाकल के लिए समाकलन का अचर ज्ञात करना शामिल है।
• समाकल निम्न रूप का है:
• इसे हल करने के लिए, हम समाकल को सरल बनाने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
• प्रयुक्त प्रतिस्थापन है:
  • , और इसलिए
• समाकल तब एक मानक रूप में कम हो जाता है:
  • ∫ 1 / √(4 - u²) du =
• हम अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए को वापस प्रतिस्थापित करते हैं:
• स्थिरांक C ज्ञात करने के लिए, हम प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करते हैं कि f(0) = π/2 है।

गणना:

दिया गया है,

 प्रतिस्थापित करें, ताकि  हो। 

समाकल बन जाता है

प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करें:

f(0) = π/2

समीकरण में x = 0 प्रतिस्थापित करने पर:

π/2 के बराबर रखने पर:

π/6 + C = π/2

C के लिए हल करें:

C = π/2 - π/6 = 3π/6 - π/6 = 2π/6 = π/3

इसलिए, समाकलन अचर: C = π/3 है। 

दिया गया:

x = 1

x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx

गणना:

x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 0

⇒(1/2)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] = 0

⇒x = y , y = z और z = x

लेकिन x = y = z = 1

इसलिए, 

= {10(1)4 + 5(1)4 + 7(1)4}/{13(1)2(1)2+ 6(1)2(1)2 + 3(1)2(1)2}

= 22/22

= 1

इसलिए, अभीष्ट मान 1 है।

दिया गया:

x +  = 3

प्रयुक्त अवधारणा:

सरल गणनाओं का प्रयोग किया जाता है

गणना:

⇒ x +  = 3

दोनों पक्षों में 2 का गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ 2x +  = 6  .................(1)

अब, दोनों पक्षों को घन करने पर,

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒   ..............(1) से 

⇒ 

⇒ 

⇒ इसलिए, उपरोक्त समीकरण का मान 180 है।

दिया गया:

9 अंकों की संख्या = 83P93678Q

भाजक = 72

प्रयुक्त अवधारणा:

8 की विभाज्यता = अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए।

9 की विभाज्यता = अंकों का योग 9 से विभाज्य है।

गणना:

भाजक 72 के रूप में, 8 और 9 से विभाज्य है, इसलिए विभाज्यता की जाँच की जाएगी।

8 से विभाज्य के लिए,

78Q 8 से विभाज्य होना चाहिए, इसलिए, Q को 4 होना चाहिए क्योंकि 784 8 से विभाज्य है।

9 से विभाज्य के लिए,

⇒ 8 + 3 + P + 9 + 3 + 6 + 7 + 8 + 4 = 48 + P

9 से विभाज्य होने के लिए, जोड़ी जाने वाली निकटतम संख्या 6 है जो 54 देती है।

अब, 

⇒ 

इसलिए, आवश्यक मान 8 है।

अवधारणा:

एक अवकल समीकरण  के लिए समाकलन कारक (IF) निम्न है जहां P और Q, y के दिए गए निरंतर फलन हैं।

IF =

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण

अब, यह अवकल समीकरण निम्न रूप में है

जहाँ, P(x) = x और Q(x) = x

समाकलन कारक (I.F.) =

I.F. = =

संकल्पना:

प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण:
एक अवकल समीकरण का रूप  + P × y = Q है, जहाँ P और Q स्थिरांक या केवल x के फलन हैं, इसे प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण के रूप में जाना जाता है। 

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के चरण:

• इसे मानक रूप  + P × y = Q में परिवर्तित कीजिए, जहाँ P और Q स्थिरांक या केवल x के फलन हैं। 
• सूत्र का प्रयोग करके समाकलन कारक (F) ज्ञात कीजिए: F = .
• सूत्र का प्रयोग करके हल लिखिए:  जहाँ C समाकलन का स्थिरांक है। 

गणना:

⇒ P =  और Q = .

समाकलन कारक F = .

दिए गए अवकल समीकरण का हल निम्न है:

⇒ y = Cx - 3, जो एक सीधी रेखा का समीकरण है। 

संकल्पना:

रैखिक अवकल समीकरण का हल:

यदि अवकल समीकरण में का रूप है, तो जहाँ P और Q, y का फलन हैं। 

हल निम्न रूप में दिया गया है,

जहाँ I.F. समाकलन कारक है जो निम्न रूप में दिया गया है,

गणना:

दिया गया है: ydx – (x + 2y²) dy = 0

अवकल समीकरण निम्न रूप में है, 

समाकलन कारक, 

अवकल समीकरण निम्न रूप में दिया गया है,

⇒ x = 2y² + cy

संकल्पना:

रैखिक अवकलन समीकरण  का हल निम्न द्वारा दिया जाता है,

 y × I.F = 

जहाँ P और Q, 'x' के फलन हैं और समाकलन गुणांक (I.F) =  है। 

गणना:

दिया गया है, 

⇒   + y -  = 

⇒   + y = 

इस रूप का एक अवकलन समीकरण है,

यहाँ, P(x) = 1 - 

समाकलन गुणांक (I.F) = 

∴ I.F =  = 

⇒ I.F =  = 

समाकलन गुणांक  है। 

सही उत्तर विकल्प 2 है।

संकल्पना:

  रूप का समीकरण निम्न चरणों द्वारा हल होगा 

1. ज्ञात करें I.F = 
2. हल होगा y I.F = ∫ Q I.F dx + C

प्रयुक्त सूत्र:

1. sin θ/coa θ = tan θ 

2.1/cos θ = sec θ 

3. e^{ln x} = x

4. ∫ sec² x = tan x

गणना:

cos x dy = y (sin x - y) dx

dy = y×(sin x - y) dx

⇒ dy = (y  - y2) dx

⇒  = y tan x - y² sec x 

⇒ 

अब, माना y = 

इसलिए 

इन मानों को रखने पर हमें प्राप्त होता है

अब, 

I.F = 

समीकरण का हल होगा 

⇒ t (I.F) =  ∫ (I.F) sec x dx + c

⇒ t (sec x) =  ∫ (I.F) sec x dx + c

⇒ t sec x = ∫ sec² x + c

⇒ sec x = (tan x + c)y

∴ समीकरण का हल sec x =  (tan x + c)y है।

अवधारणा:

पहले क्रम में रैखिक अवकल समीकरण;

, जहां P और Q, x के फलन हैं

समाकल कारक (IF) = e∫ P dx

y × (IF) = ∫ Q(IF) dx

गणना:

IF = e∫  dx

⇒ IF = eln x

⇒ IF = x

संकल्पना:

प्रथम कोटि वाले रैखिक अवकल समीकरण में;

,

जहाँ P और Q, x के फलन हैं। 

समाकलन कारक (IF) = e∫ P dx

y × (IF) = ∫ Q(IF) dx

गणना:

x + y = 4x3 + x

⇒ 

IF = e∫  dx

⇒ IF = eln x

⇒ IF = x                 

(∵ e^{ln x} = x)

अब, y × (IF) = ∫ Q (IF) dx

⇒ y × x = ∫ (4x² + 1) × x dx

⇒ yx = ∫ 4x³ + x  dx

समाकलन करने पर,

⇒ yx = x⁴ + + c (जहाँ c समाकलन स्थिरांक है।)

⇒ y =