Solving Linear Differential Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solving Linear Differential Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 8, 2025
Latest Solving Linear Differential Equation MCQ Objective Questions
Solving Linear Differential Equation Question 1:
यदि
Answer (Detailed Solution Below) 21
Solving Linear Differential Equation Question 1 Detailed Solution
Explanation:
I.F. =
I.F. = e2tanx
Put tan x = u
sec2xdx = du
F(0) =
1 = C
Solving Linear Differential Equation Question 2:
यदि अवकल समीकरण
Answer (Detailed Solution Below)
Solving Linear Differential Equation Question 2 Detailed Solution
यदि
माना
पर
पर
Solving Linear Differential Equation Question 3:
सूची-I का सूची-II से मिलान कीजिए।
सूची-I (फलन) |
सूची-II (वह अंतराल जिसमें फलन वर्धमान है) |
||
(A) | (I) | (-∞, -2) ∪ (2, ∞) | |
(B) | (lI) | ||
(C) | xx, x > 0 | (llI) | |
(D) | sinx - cosx | (IV) | (e, ∞) |
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
Answer (Detailed Solution Below)
Solving Linear Differential Equation Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
सूची-I (फलन) |
सूची-II (वह अंतराल जिसमें फलन वर्धमान है) |
||
(A) | (I) | (-∞, -2) ∪ (2, ∞) | |
(B) | (lI) | ||
(C) | xx, x > 0 | (llI) | |
(D) | sinx - cosx | (IV) | (e, ∞) |
A.
यह फलन x > 0 के लिए परिभाषित है, क्योंकि लघुगणक फलन केवल x के धनात्मक मानों के लिए परिभाषित है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जिसमें फलन वर्धमान है, x के सापेक्ष
हल करने के बाद, यह पाया जा सकता है कि फलन x > e के लिए वर्धमान है।
इसलिए, सही अंतराल (IV) है।
B.
यह फलन
अवकलज ज्ञात करके और उसे शून्य के बराबर रखकर,
यह दिखाया जा सकता है कि फलन x > 2 और x
इसलिए, सही अंतराल (I) है।
C.
यह फलन x > 0 के लिए वर्धमान है।
इसलिए, सही अंतराल (III) है।
D.
इस अवकलज को शून्य से अधिक रखने पर अंतराल
अंतिम उत्तर:
सही मिलान है:
(A) → (IV)
(B) → (I)
(C) → (III)
(D) → (II)
सही विकल्प (3) है।
Solving Linear Differential Equation Question 4:
अवकल समीकरण
Answer (Detailed Solution Below)
Solving Linear Differential Equation Question 4 Detailed Solution
संप्रत्यय:
समाकलन गुणक :
- समाकलन गुणक का उपयोग रैखिक प्रथम-कोटि अवकल समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।
- रूप: dy/dx + P(x)y = Q(x) के रैखिक अवकल समीकरण के लिए, समाकलन गुणक इस प्रकार दिया गया है:
- समाकलन गुणक = e∫P(x)dx
गणना:
दिया गया अवकल समीकरण है:
y loge(y) dx/dy + x = 2 loge(y)
समीकरण को पुनः लिखित करने पर:
y loge(y) dx/dy = 2 loge(y) - x
दोनों पक्षों को y loge(y) से विभाजित करने पर:
dx/dy = 2/y - x/(y loge(y))
यह रैखिक प्रथम-कोटि अवकल समीकरण के मानक रूप में है:
dx/dy + P(y) x = Q(y)
P(y) = 1/(y loge(y)) और Q(y) = 2/y की पहचान करते हुए, हम समाकलन गुणक ज्ञात करते हैं:
μ(y) = e∫P(y)dy = e∫1/(y loge(y))dy
1/(y loge(y)) का समाकल loge(loge(y)) है, इसलिए:
μ(y) = loge(y)
इसलिए, समाकलन गुणक: loge(y) है।
Solving Linear Differential Equation Question 5:
के लिए, यदि बिंदु
Answer (Detailed Solution Below)
Solving Linear Differential Equation Question 5 Detailed Solution
संप्रत्यय:
समाकलन और समाकलन का अचर:
- इस समस्या में दिए गए समाकल के लिए समाकलन का अचर ज्ञात करना शामिल है।
- समाकल निम्न रूप का है:
- इसे हल करने के लिए, हम समाकल को सरल बनाने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
- प्रयुक्त प्रतिस्थापन है:
, और इसलिए
- समाकल तब एक मानक रूप में कम हो जाता है:
- ∫ 1 / √(4 - u²) du =
- ∫ 1 / √(4 - u²) du =
- हम अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए
को वापस प्रतिस्थापित करते हैं: - स्थिरांक C ज्ञात करने के लिए, हम प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करते हैं कि f(0) = π/2 है।
गणना:
दिया गया है,
समाकल बन जाता है
प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करें:
f(0) = π/2
समीकरण में x = 0 प्रतिस्थापित करने पर:
π/2 के बराबर रखने पर:
π/6 + C = π/2
C के लिए हल करें:
C = π/2 - π/6 = 3π/6 - π/6 = 2π/6 = π/3
इसलिए, समाकलन अचर: C = π/3 है।
Top Solving Linear Differential Equation MCQ Objective Questions
यदि x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx और x = 1 है, तो
Answer (Detailed Solution Below)
Solving Linear Differential Equation Question 6 Detailed Solution
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x = 1
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
गणना:
x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 0
⇒(1/2)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] = 0
⇒x = y , y = z और z = x
लेकिन x = y = z = 1
इसलिए,
= {10(1)4 + 5(1)4 + 7(1)4}/{13(1)2(1)2+ 6(1)2(1)2 + 3(1)2(1)2}
= 22/22
= 1
इसलिए, अभीष्ट मान 1 है।
यदि x +
Answer (Detailed Solution Below)
Solving Linear Differential Equation Question 7 Detailed Solution
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x +
प्रयुक्त अवधारणा:
सरल गणनाओं का प्रयोग किया जाता है
गणना:
⇒ x +
दोनों पक्षों में 2 का गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है
⇒ 2x +
अब, दोनों पक्षों को घन करने पर,
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒ इसलिए, उपरोक्त समीकरण का मान 180 है।
यदि 9 अंकों की संख्या 83P93678Q 72 से विभाज्य है, तो
Answer (Detailed Solution Below)
Solving Linear Differential Equation Question 8 Detailed Solution
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9 अंकों की संख्या = 83P93678Q
भाजक = 72
प्रयुक्त अवधारणा:
8 की विभाज्यता = अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए।
9 की विभाज्यता = अंकों का योग 9 से विभाज्य है।
गणना:
भाजक 72 के रूप में, 8 और 9 से विभाज्य है, इसलिए विभाज्यता की जाँच की जाएगी।
8 से विभाज्य के लिए,
78Q 8 से विभाज्य होना चाहिए, इसलिए, Q को 4 होना चाहिए क्योंकि 784 8 से विभाज्य है।
9 से विभाज्य के लिए,
⇒ 8 + 3 + P + 9 + 3 + 6 + 7 + 8 + 4 = 48 + P
9 से विभाज्य होने के लिए, जोड़ी जाने वाली निकटतम संख्या 6 है जो 54 देती है।
अब,
⇒
इसलिए, आवश्यक मान 8 है।
अवकल समीकरण
Answer (Detailed Solution Below)
Solving Linear Differential Equation Question 9 Detailed Solution
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एक अवकल समीकरण
IF =
गणना:
दिया गया अवकल समीकरण
अब, यह अवकल समीकरण निम्न रूप में है
जहाँ, P(x) = x और Q(x) = x
समाकलन कारक (I.F.) =
I.F. =
अवकल समीकरण
Answer (Detailed Solution Below)
Solving Linear Differential Equation Question 10 Detailed Solution
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प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण:
एक अवकल समीकरण का रूप
प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के चरण:
- इसे मानक रूप
+ P × y = Q में परिवर्तित कीजिए, जहाँ P और Q स्थिरांक या केवल x के फलन हैं। - सूत्र का प्रयोग करके समाकलन कारक (F) ज्ञात कीजिए: F =
. - सूत्र का प्रयोग करके हल लिखिए:
जहाँ C समाकलन का स्थिरांक है।
गणना:
⇒ P =
समाकलन कारक F =
दिए गए अवकल समीकरण का हल निम्न है:
⇒ y = Cx - 3, जो एक सीधी रेखा का समीकरण है।
अवकल समीकरण ydx – (x + 2y2) dy = 0 का सामान्य समीकरण क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Solving Linear Differential Equation Question 11 Detailed Solution
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रैखिक अवकल समीकरण का हल:
यदि अवकल समीकरण में
हल निम्न रूप में दिया गया है,
जहाँ I.F. समाकलन कारक है जो निम्न रूप में दिया गया है,
गणना:
दिया गया है: ydx – (x + 2y2) dy = 0
अवकल समीकरण निम्न रूप में है,
समाकलन कारक,
अवकल समीकरण निम्न रूप में दिया गया है,
⇒ x = 2y2 + cy
अवकलन समीकरण
Answer (Detailed Solution Below)
Solving Linear Differential Equation Question 12 Detailed Solution
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रैखिक अवकलन समीकरण
y × I.F =
जहाँ P और Q, 'x' के फलन हैं और समाकलन गुणांक (I.F) =
गणना:
दिया गया है,
⇒
⇒
इस रूप का एक अवकलन समीकरण है,
यहाँ, P(x) = 1 -
समाकलन गुणांक (I.F) =
∴ I.F =
⇒ I.F =
समाकलन गुणांक
सही उत्तर विकल्प 2 है।
अवकल समीकरण cos x dy = y (sin x - y) dx, 0 का हल _______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Solving Linear Differential Equation Question 13 Detailed Solution
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- ज्ञात करें I.F =
- हल होगा y I.F = ∫ Q I.F dx + C
प्रयुक्त सूत्र:
1. sin θ/coa θ = tan θ
2.1/cos θ = sec θ
3. eln x = x
4. ∫ sec2 x = tan x
गणना:
cos x dy = y (sin x - y) dx
dy = y×
⇒ dy = (y
⇒
⇒
अब, माना y =
इसलिए
इन मानों को रखने पर हमें प्राप्त होता है
अब,
I.F =
समीकरण का हल होगा
⇒ t (I.F) = ∫ (I.F) sec x dx + c
⇒ t (sec x) = ∫ (I.F) sec x dx + c
⇒ t sec x = ∫ sec2 x + c
⇒ sec x = (tan x + c)y
∴ समीकरण का हल sec x = (tan x + c)y है।
का समाकल कारक खोजें।
Answer (Detailed Solution Below)
Solving Linear Differential Equation Question 14 Detailed Solution
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पहले क्रम में रैखिक अवकल समीकरण;
समाकल कारक (IF) = e∫ P dx
y × (IF) = ∫ Q(IF) dx
गणना:
IF = e∫
⇒ IF = eln x
⇒ IF = x
अवकल समीकरण x
Answer (Detailed Solution Below)
Solving Linear Differential Equation Question 15 Detailed Solution
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प्रथम कोटि वाले रैखिक अवकल समीकरण में;
जहाँ P और Q, x के फलन हैं।
समाकलन कारक (IF) = e∫ P dx
y × (IF) = ∫ Q(IF) dx
गणना:
x
⇒
IF = e∫
⇒ IF = eln x
⇒ IF = x
(∵ eln x = x)
अब, y × (IF) = ∫ Q (IF) dx
⇒ y × x = ∫ (4x2 + 1) × x dx
⇒ yx = ∫ 4x3 + x dx
समाकलन करने पर,
⇒ yx = x4 +
⇒ y =