Operations on Matrices MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Operations on Matrices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\)

$A^2$ \(\Rightarrow A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow A^2 = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}\)

अब 4A $4A$

\(\Rightarrow 4A = 4 \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow 4A = \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix}\)

इसके अलावा A² - 4A $A^2 - 4A$

\(\Rightarrow A^2 - 4A = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow A^2 - 4A = \begin{bmatrix} 9-4 & 8-8 & 8-8 \\ 8-8 & 9-4 & 8-8 \\ 8-8 & 8-8 & 9-4 \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow A^2 - 4A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\)

परिणाम को इकाई मैट्रिक्स $I_3$ से संबंधित करें

\(\Rightarrow A^2 - 4A = 5I_3\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

संप्रत्यय:

घूर्णन आव्यूह:

• यूक्लिडीय समष्टि में घूर्णन करने के लिए एक घूर्णन आव्यूह का उपयोग किया जाता है। यह एक वर्ग आव्यूह है जो एक सदिश समष्टि के घूर्णन का वर्णन करता है।
• 2D घूर्णन के लिए, आव्यूह इस प्रकार दिया गया है: \(f(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\)
• यहाँ, θ रेडियन में घूर्णन का कोण है।
  • cos θ: घूर्णन कोण की कोज्या को दर्शाता है।
  • sin θ: घूर्णन कोण की ज्या को दर्शाता है।
• घूर्णन आव्यूह का मुख्य गुण:
  • आव्यूह का परिवर्त आव्यूह इसके व्युत्क्रम के बराबर होता है।
  • आव्यूह का सारणिक हमेशा 1 के बराबर होता है।
• जब θ = π, घूर्णन आव्यूह बन जाता है: \(f(\pi) = \begin{bmatrix} \cos \pi & \sin \pi \\ -\sin \pi & \cos \pi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)

गणना:

दिया गया है,

θ = π पर घूर्णन आव्यूह:

\(f(\pi) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)

(f(π))² ज्ञात करने के लिए, आव्यूह को स्वयं से गुणा करें:

\(f(\pi) × f(\pi) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)

आव्यूह गुणन का उपयोग करने पर:

ऊपर-बाएँ तत्व: (-1)(-1) + (0)(0) = 1

ऊपर-दाएँ तत्व: (-1)(0) + (0)(-1) = 0

नीचे-बाएँ तत्व: (0)(-1) + (-1)(0) = 0

नीचे-दाएँ तत्व: (0)(0) + (-1)(-1) = 1

परिणामी आव्यूह:

\(f(\pi)^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

∴ (f(π))² तत्समक आव्यूह के बराबर है, जो \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) है।

गणना:

दिया गया है,

आव्यूह A है:

\( A = \begin{bmatrix} y & x & x \\ z & x & y \\ x & y & z \end{bmatrix} \)

चूँकि A एक लांबिक आव्यूह है, हम जानते हैं कि:

\( A^T = A^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^T A = I \)

यह गुण हमें बताता है कि A लांबिक है, और इसका अर्थ है कि \(A^T A \) (A के परिवर्त और A का गुणनफल इकाई आव्यूह I के बराबर है, जो है:

\( A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

अब, आइए \(A^T A \) की गणना चरण दर चरण करते हैं। आव्यूह A का परिवर्त, जिसे \(A^T \) से दर्शाया गया है:

\( A^T = \begin{bmatrix} y & z & x \\ x & x & y \\ x & y & z \end{bmatrix} \)

अब, हम \(A^T\) और A के बीच आव्यूह गुणन करते हैं:

\( A^T A = \begin{bmatrix} y & z & x \\ x & x & y \\ x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y & x & x \\ z & x & y \\ x & y & z \end{bmatrix} \)

यह गुणन करने पर, हमें निम्नलिखित आव्यूह प्राप्त होता है:

\( A^T A = \begin{bmatrix} y^2 + z^2 + x^2 & xy + zx + xy & xz + yz + x^2 \\ xy + zx + xy & x^2 + x^2 + y^2 & xy + xz + yz \\ xz + yz + x^2 & xy + xz + yz & x^2 + y^2 + z^2 \end{bmatrix} \)

यह आव्यूह इकाई आव्यूह I के बराबर होना चाहिए, जो है:

\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

आव्यूहों के अवयवों की तुलना करके, हमें निम्नलिखित समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:

इस प्रकार, लांबिकता स्थिति से मुख्य परिणाम है:

\( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

आव्यूह 1 और आव्यूह 2 को गुणा करें:

\(\begin{bmatrix} x & 1 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+4+7 & 2x+5+8 & 3x+6+9 \end{bmatrix}\)

⇒ \(\begin{bmatrix} x+11 & 2x+13 & 3x+15 \end{bmatrix}\)

परिणामी आव्यूह को आव्यूह 3 से गुणा करें:

\(\begin{bmatrix} x+11 & 2x+13 & 3x+15 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ x \end{bmatrix} \)

\(= (x+11) \cdot 1 + (2x+13) \cdot 1 + (3x+15) \cdot x\)

⇒ \((x+11) + (2x+13) + (3x^2+15x)\)

⇒ \((3x^2 + 18x + 24)\)

परिणाम को 45 के बराबर करें:

\((3x^2 + 18x + 24 = 45)\)

⇒ \((3x^2 + 18x - 21 = 0)\)

\((x^2 + 6x - 7 = 0)\)

\((x^2 + 7x - x - 7 = 0)\)

⇒ \((x = 1 \text{ या } x = -7)\)

चरण 5: सत्यापित करें:

\(x = 1\) के लिए, वापस प्रतिस्थापित करें:

\((3(1)^2 + 18(1) + 24 = 45)\)

45 =45

∴ x का सही मान 1 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

आव्यूह गुणन और गुणधर्म:

• आव्यूह गुणन में पंक्तियों और स्तंभों का बिंदु गुणन शामिल होता है।
• एक शून्य आव्यूह एक ऐसा आव्यूह है जिसमें सभी अवयव शून्य होते हैं।
• एक तत्समक आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जिसमें विकर्ण पर 1 और अन्यत्र 0 होते हैं।
• आव्यूहों P और Q के लिए, PQ = QP सामान्यतः तब तक नहीं होता जब तक कि P और Q क्रमविनिमेय न हों।

आव्यूह परिभाषाएँ:

• शून्य आव्यूह: एक आव्यूह जहाँ सभी अवयव शून्य होते हैं।
• तत्समक आव्यूह: एक वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य विकर्ण पर 1 और अन्यत्र 0 होते हैं।

गणना:

\(\rm P=\begin{bmatrix}0&c&-b\\\ -c&0&a\\\ b&-a&0\end{bmatrix}\ और\ \rm Q=\begin{bmatrix}a^2&ab&ac\\\ ab&b^2&bc\\\ ac&bc&c^2\end{bmatrix}\)

⇒ PQ = \(=\begin{bmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{bmatrix}\ \)

⇒QP = \(=\begin{bmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{bmatrix}\ \)

तब PQ = QP

∴ विकल्प (c) सही है। 

धारणा:

सममित आव्यूह:

• यदि आव्यूह A का परावर्त स्वयं आव्यूह A के बराबर हो तो वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है
• A^T = A या A’ = A

जहां AT या A’ आव्यूह के परावर्त को दर्शाता है

• एक वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है यदि aij = aji सभी i और j के लिए
  जहां a_ij और a_ji आव्यूह में मौजूद एक तत्व है।

गणना:

दिया हुआ:

A एक सममित आव्यूह है

⇒ A^T = A या a_ij = a_ji

A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & x-3 & x-2 \\ 3 & -2 & -1 \\ 4 & -1 & -5 \\ \end{matrix} \right]\)

तो सममित आव्यूहों के गुण द्वारा

⇒ a₁₂ = a₂₁

⇒ x – 3 = 3

संकल्पना:

• एक n × p आव्यूह द्वारा एक m × n आव्यूह को गुणा करने के लिए n को समान होना चाहिए, और परिणाम एक m × p आव्यूह है।
• यदि A कोटि m × n का आव्यूह है तो परिवर्त आव्यूह की कोटि n × m है

गणना:

दिया हुआ:

A की कोटि 4 × 3 है, B की कोटि 4 × 5 है और C की कोटि 7 × 3 है

मूल आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त आव्यूह का परिवर्त।

तो, AT की कोटि 3 × 4 है और CT की कोटि 3 × 7 है

अभी,

A^TB = {3 × 4} {4 × 5} = 3 × 5

⇒ A^TB की कोटि 3 × 5 है

इसलिए (A^TB) ^T की कोटि 5 × 3 है

अब (A^TB) ^T C ^T की कोटि= {5 × 3} {3 × 7} = 5 × 7

संकल्पना:

सममित आव्यूह: यदि एक आव्यूह का परिवर्त स्वयं के बराबर है तो उस आव्यूह को सममित कहा जाता है। 

या आव्यूह A केवल तभी सममित है यदि गमनागमन सूचकांक अपने घटकों को परिवर्तित नहीं करता है। 

• A = A^T
• a_ij = a_ji

गणना:

दिया गया है - \({\rm{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{{\rm{x}} + 2}\\ {2{\rm{x}} - 3}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right)\)

एक वास्तविक वर्गाकार आव्यूह A = (a_ij) को सममित कहा जाता है, यदि A = A^T है। 

जहाँ A^T = आव्यूह A का परिवर्त

\({{\rm{A}}^{\rm{T}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{2{\rm{x}} - 3}\\ {{\rm{x}} + 2}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right)\)

∴ A = A^T

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{{\rm{x}} + 2}\\ {2{\rm{x}} - 3}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{2{\rm{x}} - 3}\\ {{\rm{x}} + 2}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right]\)

A₂₁ तत्व की तुलना करने पर। 

⇒ x + 2 =2x - 3

⇒ x = 5

धारणा:

अनैच्छिक आव्यूह:

• आव्यूह A को अनैच्छिक कहा जाता है यदि A2 = I, जहां I, A के समान कोटि का तत्समक आव्यूह है।
• अनैच्छिक आव्यूह एक आव्यूह है जो अपने स्वयं के व्युत्क्रम के बराबर होता है। ⇔ A^-1 = A

गणना:

दिया हुआ है कि A अनैच्छिक आव्यूह है,

⇒ A² = I

अब

(I − A) (I + A) = I² – IA + AI − A² 

⇒ I – A + A – I           (∵ A2 = I)

⇒ 0

संकल्पना:

दिया गया है: \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\)

\({{\rm{A}}^2} = {\rm{AA}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\)

\(\Rightarrow {{\rm{A}}^2} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 + 1}&{0 + 0}\\ {0 + 0}&{1 + 0} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

अब,

\(\Rightarrow {{\rm{A}}^4} = {{\rm{A}}^2}{{\rm{A}}^2} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

अतः विकल्प 1 सही उत्तर है। 

धारणा:

लांबिक आव्यूह: जब एक आव्यूह का इसके परावर्त के लिए गुणनफल तत्समक आव्यूह देता है।

मान लीजिए A वास्तविक तत्वों और n x n कोटि के साथ एक वर्ग आव्यूह है और A’ A का परिवर्त है।

AAT = I

गणना:

मान लीजिए A वास्तविक तत्वों और n x n कोटि के साथ एक वर्ग आव्यूह है और A’ A का परिवर्त है।

फिर परिभाषा के अनुसार;

AA^T = I

A^-1 से पूर्व गुणन

⇒ A^-1 AA^T = A^-1 I

⇒ IA^T = A^-1

⇒ A^T = A^-1 या A’ = A^-1

तब A लांबिक आव्यूह है।

∴ विकल्प 2 सही है

संकल्पना:

आव्यूह गुणन:

गुणन केवल तब संभव होता है जब पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह के पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है। 

एक m×n आव्यूह को n×p आव्यूह से गुणा किया जाता है, परिणामस्वरूप m×p आव्यूह होता है। 

आव्यूहों को p स्तंभों वाले गुणनफल आव्यूह की पहली पंक्ति प्राप्त करने के लिए दूसरे आव्यूह n×p आव्यूह के सभी स्तंभों के संबंधित तत्वों के साथ पहले m×n आव्यूह की एक पंक्ति के प्रत्येक पंक्ति से गुणन करके गुणा किया जाता है, और इस तरह आगे भी पहली पंक्ति में सभी m पंक्तियों के लिए गुणा करते हैं। 

गणना:

\(\rm \begin{bmatrix} \rm 2x & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ \ 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}\) = [2x - 9   4x + 0]

= [2x - 9   4x]

∴ \(\rm \begin{bmatrix} \rm 2x & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ \ 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \rm x \\ 8 \end{bmatrix}=0\)

\(\rm \Rightarrow \begin{bmatrix}\rm 2x-9 & \rm 4x\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\rm x \\ 8\end{bmatrix}\) = 0

⇒ [(2x - 9)x + 8 × 4x] = 0

⇒ [2x² - 9x + 32x] = 0

⇒ 2x² + 23x = 0

⇒ x(2x + 23) = 0

⇒ x = 0 या \(\rm -\dfrac{23}{2}\).

गणना:

दिया गया है:

x + 2y = \(\begin{bmatrix} 2 & -3\\ 1 & 5 \end{bmatrix}\)                    .... (1)

2x + 5y = \(\begin{bmatrix} 7 & 5\\ 2 & 3 \end{bmatrix}\)                     .... (2)

समीकरण (1) में 2 से गुणा करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2x + 4y = \(\begin{bmatrix} 4 & -6\\ 2 & 10 \end{bmatrix}\)             .... (3)

समीकरण (2) से समीकरण (3) को घटाने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ (2x + 5y) - (2x + 4y) = \(\begin{bmatrix} 7 & 5\\ 2 & 3 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 4 & -6\\ 2 & 10 \end{bmatrix}\)

∴ y = \( \begin{bmatrix} 3 & 11\\ 0 & -7 \end{bmatrix}\)

संकल्पना:

आव्यूह का साहचर्य गुण निम्न द्वारा दिया गया है:

X (YZ) = (XY) Z      ----(1)

दिया गया:

AB = B और BA = A      ----(2)

गणना:

A2 + B2

⇒ AA + BB

⇒ A (BA) + B (AB)   [2 का उपयोग करने पर)]

⇒ (AB) A + (BA) B [(1) का उपयोग करने पर]

⇒ BA + AB

⇒ A + B

इसलिए, A2 + B2 = A + B

संकल्पना:

दो आव्यूह A और B को बराबर कहा जाता है यदि निम्नलिखित स्थितियां सत्य हैं:

• आव्यूह A की कोटि = आव्यूह B की कोटि 
• आव्यूह A का संबंधित तत्व = आव्यूह B का संबंधित तत्व

गणना:

दिया गया है: \(\begin{bmatrix} \rm 2x & 5\\ 7 & \rm -y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5\\7 & 3 \end{bmatrix}\)

 चूँकि हम जानते हैं कि यदि दो आव्यूह A और B बराबर हैं तो उनके संबंधित तत्व भी समान हैं।  

⇒ 2x = 8 

∴ x = 4

अब, 

⇒ -y = 3

∴ y = -3

हमें x + y का मान ज्ञात करना है। 

इसलिए, x + y = 4 - 3 = 1

अतः विकल्प 2 सही उत्तर है।