Latus Rectum MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Latus Rectum - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

be = 13, b = 5

a² = b² (e² - 1)

= b² e² - b²

= 169 - 25 = 144

\(\ell(\mathrm{LR})=\frac{2 \mathrm{a}^{2}}{\mathrm{~b}}=\frac{2 \times 144}{5}=\frac{288}{5}\)

अतः विकल्प 3 सही है। 

गणना

दिया गया है

2b = ae

⇒ \(\frac{b}{a}=\frac{e}{2}\)

दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता

⇒ \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{e^2}{4}}\)

⇒ \(e=\frac{2}{\sqrt{5}}\)

इसलिए विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

एक दीर्घवृत्त का मानक समीकरण:\(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} + \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\) (a > b)

• फोकस के निर्देशांक = (± ae, 0)
• उत्केंद्रता (e) = \(\sqrt {1 - {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} \) ⇔ a2e2 = a2 – b2
• नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{75} = 1\)

एक दीर्घवृत्त के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: \(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} + \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\)

इसलिए, a² = 100 और b² = 75

∴ a = 10

नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)= \(\rm \frac{2 \times 75}{10} = 15\)

संकल्पना:

एक दीर्घवृत्त का मानक समीकरण:\(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} + \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\) (a > b)

• फोकस के निर्देशांक = (± ae, 0)
• उत्केंद्रता (e) = \(\sqrt {1 - {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} \) ⇔ a2e2 = a2 – b2
• नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{75} = 1\)

एक दीर्घवृत्त के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: \(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} + \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\)

इसलिए, a² = 100 और b² = 75

∴ a = 10

नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)= \(\rm \frac{2 \times 75}{10} = 15\)

प्रयोग की गयी संकल्पना:

एक दीर्घवृत्त का मानक समीकरण, \(\rm\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 

यदि a > b है, तो नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm\frac{2b^2}{a}\)

यदि b > a है, तो नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm\frac{2a^2}{b}\)

गणना:

25x2 + 9y2 = 225

⇒ \(\rm\frac{25x^2}{225}+\frac{9y^2}{225}=1\)

⇒ \(\rm\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)

मानक समीकरण a² = 9, b² = 25 के साथ तुलना करने पर

b > a

⇒ नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm\frac{2a^2}{b}\)

⇒ नाभिलंब की लम्बाई = (2 × 9)/5 = 18/5

⇒ नाभिलंब​ की लम्बाई = 18/5

अवधारणा:

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण, \(\rm\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}= 1\) है

नाभिलंब की लंबाई , L.R = \(\rm\frac{2a^{2}}{b}\) , यदि  b > a

गणना:

\(\rm\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{49}= 1\) ,

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर , a = 5 और b = 7 

हम जानते हैं कि, नाभिलंब की लंबाई = \(\rm\frac{2a^{2}}{b}\) है

⇒ L.R = \(\rm\frac{2\times5^{2}}{7}\) =  \(\rm\frac{50}{7}\) 

सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

गणना:

25x² + 16y² = 400

\( \Rightarrow \frac{{25{{\rm{x}}^2}}}{{400}} + \frac{{16{{\rm{y}}^2}}}{{400}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{{16}} + \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{25}} = 1\)

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: a = 4 ; b = 5

चूँकि ( a < b )

संकल्पना:

दीर्घवृत्त \(\rm \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) के नाभिलंब की लम्बाई \(\rm \frac{2a^2}{b}\) के बराबर है (a < b)। 

गणना:

दीर्घवृत्त के समीकरण को मानक रूप \(\rm \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) में लिखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है:

\(\rm \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{(2\sqrt3)^2}=1\)

∴ a = 2 और b = 2√3

यहाँ a < b

नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2a^2}{b}\) = \(\rm \frac{2(2^2)}{2\sqrt3}\) = \(\rm \frac{4}{\sqrt3}\)

संकल्पना:

एक दीर्घवृत्त का मानक समीकरण:\(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} + \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\) (a > b)

• फोकस के निर्देशांक = (± ae, 0)
• उत्केंद्रता (e) = \(\sqrt {1 - {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} \) ⇔ a2e2 = a2 – b2
• नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{75} = 1\)

एक दीर्घवृत्त के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: \(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} + \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\)

इसलिए, a² = 100 और b² = 75

∴ a = 10

नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)= \(\rm \frac{2 \times 75}{10} = 15\)

संकल्पना:

एक क्षैतिज दीर्घवृत्त \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) के गुण निम्नलिखित हैं जहाँ 0 < b < a है:

• इसका केंद्र (0, 0) है। 
• इसका शीर्ष (- a, 0) और (a, 0) है। 
• इसका केंद्र बिंदु (- ae, 0) और (ae, 0) है। 
• दीर्घ अक्ष की लम्बाई 2a है। 
• लघु अक्ष की लम्बाई 2b है। 
• दीर्घ अक्ष का समीकरण y = 0 है। 
• लघु अक्ष का समीकरण x = 0 है। 
• लैटस रेक्टम की लम्बाई को \(\frac{2b^2}{a}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 
• उत्केंद्रता को \(e = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दिया गया है: दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\) है। 

चूँकि हम देख सकते हैं कि, दिया गया दीर्घवृत्त एक क्षैतिज दीर्घवृत्त है। 

इसलिए, दीर्घवृत्त के दिए गए समीकरण की तुलना \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

⇒ a² = 49 और b² = 36

चूँकि हम जानते हैं कि, एक दीर्घवृत्त के लैटस रेक्टम की लम्बाई को \(\frac{2b^2}{a}\) द्वारा ज्ञात किया गया है।

इसलिए, दिए गए दीर्घवृत्त के लैटस रेक्टम की लम्बाई: \(\frac{2\times36}{7} = \frac{72}{7}\) इकाई है।  

अतः विकल्प B सही उत्तर है। 

प्रयोग की गयी संकल्पना:

एक दीर्घवृत्त का मानक समीकरण, \(\rm\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 

यदि a > b है, तो नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm\frac{2b^2}{a}\)

यदि b > a है, तो नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm\frac{2a^2}{b}\)

गणना:

25x2 + 9y2 = 225

⇒ \(\rm\frac{25x^2}{225}+\frac{9y^2}{225}=1\)

⇒ \(\rm\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)

मानक समीकरण a² = 9, b² = 25 के साथ तुलना करने पर

b > a

⇒ नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm\frac{2a^2}{b}\)

⇒ नाभिलंब की लम्बाई = (2 × 9)/5 = 18/5

⇒ नाभिलंब​ की लम्बाई = 18/5

संकल्पना:

दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लम्बाई, L.R = \(\rm \frac{2a^{2}}{b}\) [a < b] 

गणना:

दिया गया समीकरण 5x2 + 3y2 = 60 हैं। 

⇒ \(\rm \frac{x^{2}}{12}+ \frac{y^{2}}{20}= 1\) 

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर, a = \(2\sqrt{3}\) और b = \(2\sqrt{5}\)  

हम जानते हैं कि, नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2a^{2}}{b}\) 

∴ L.R = \(\rm \frac{2\times12}{2\sqrt{5}}\) 

⇒ L.R = \(\frac{12}{\sqrt{5}}\) इकाई

सही विकल्प 2 है। 

संकल्पना:

एक ऊर्ध्वाधर दीर्घवृत्त \(\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\) के गुण निम्नलिखित हैं जहाँ 0 < b < a है:

• इसका केंद्र (0, 0) है। 
• इसका शीर्ष (0, - a) और (0, a) है। 
• इसका केंद्र बिंदु (0, - ae) और (0, ae) है। 
• दीर्घ अक्ष की लम्बाई 2a है। 
• लघु अक्ष की लम्बाई 2b है। 
• दीर्घ अक्ष का समीकरण x = 0 है। 
• लघु अक्ष का समीकरण y = 0 है। 
• लैटस रेक्टम की लम्बाई को \(\frac{2b^2}{a}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 
• उत्केंद्रता को \(e = \frac{\sqrt {a^2-b^2}}{a}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दिया गया है: दीर्घवृत्त का समीकरण 25x2 + 4y2 = 100 है। 

 दिए गए समीकरण को निम्न रूप में पुनःलिखा जा सकता है: \(\frac{{{x^2}}}{{{4}}} + \frac{{{y^2}}}{{{25}}} = 1\)

चूँकि हम देख सकते हैं कि, दिया गया दीर्घवृत्त एक ऊर्ध्वाधर दीर्घवृत्त है। 

इसलिए, दीर्घवृत्त के दिए गए समीकरण की तुलना \(\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\)   के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

⇒ a² = 25 और b² = 4

चूँकि हम जानते हैं कि, एक दीर्घवृत्त के लैटस रेक्टम की लम्बाई को \(\frac{2b^2}{a}\) द्वारा ज्ञात किया गया है।

इसलिए, दिए गए दीर्घवृत्त के लैटस रेक्टम की लम्बाई: \(\frac{2\times4}{5} = \frac{8}{5}\) इकाई है।  

संकल्पना:

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण:\(\frac{{{\rm{\;}}{{\rm{x}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}} + \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{{{\rm{b}}^2}}} = 1\)

लैटस रेक्टम की लम्बाई = जब a > b है, तो 2b²/a है और जब a < b है, तो 2a²/b है।  

गणना:

3x² + y² -12x + 2y + 1 = 0

⇒ 3(x² - 4x + 4) – 12 + (y² + 2y + 1) = 0

⇒ 3(x – 2)² – 12 + (y + 1)² = 0

⇒ 3(x – 2)² + (y + 1)² = 12

\( \Rightarrow \frac{{3{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}^2}}}{{12}} + \frac{{{{\left( {{\rm{y}} + 1} \right)}^2}}}{{12}} = 1\)                                  (12 से विभाजित)

\( \Rightarrow \frac{{{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {{\rm{y}} + 1} \right)}^2}}}{{12}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}^2}}}{{{2^2}}} + \frac{{{{\left( {{\rm{y}} + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}} = 1\)

∴ a² = 2² और b² = (2√3)²

यहाँ a < b

इसलिए, लैटस रेक्टम की लम्बाई = 2a²/b

= \(\frac{{2\left( 4 \right)}}{{2\sqrt 3 }}\)

= \(\frac{4}{\sqrt 3}\) इकाई 

संकल्पना:

दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लम्बाई, L.R = \(\rm \frac{2a^{2}}{b}\)  [b > a] 

गणना:

दिया गया समीकरण \(\rm \frac{x^{2}}{16}= 1- \frac{y^{2}}{25}\) हैं। 

⇒ \(\rm \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1\) 

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर a = 4 और b = 5 

चूँकि हम जानते हैं कि, नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2a^{2}}{b}\) 

∴ L.R = \(\rm \frac{2\times16}{5}\) = \(\frac{32}{5}\)

सही विकल्प 3 है।