Infinite Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Infinite Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

हमारे पास है,

1/1⁴ + 1/2⁴ + 1/3⁴ + 1/4⁴ + ⋯ = π⁴ / 90     (1)

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

[1/1⁴ + 1/3⁴ + 1/5⁴ + ⋯ ] + 1/2⁴ + 1/4⁴ + ⋯ = π⁴ / 90

[1/1⁴ + 1/3⁴ + 1/5⁴ + ⋯ ] + (1/2⁴) x [1/1⁴ + 1/2⁴ + 1/3⁴ + ⋯ ] = π⁴ / 90

(1) का उपयोग करते हुए:

[1/1⁴ + 1/3⁴ + 1/5⁴ + ⋯ ] + (1/2⁴) x (π⁴ / 90) = π⁴ / 90

⇒ 1/1⁴ + 1/3⁴ + 1/5⁴ + ⋯ = (π⁴ / 90) x [1 − 1/2⁴] = (π⁴ / 90) x (15/16) = π⁴ / 96

संकल्पना:

सूत्र लागू करने पर

\(\rm log_e (1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\)

गणना:

हमें प्राप्त है 

\(\rm log_e(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\)

अब x = 1 रखने पर, तब 

\(\rm log_e(1+1) = 1-\frac{1^2}{2}+\frac{1^3}{3}-\frac{1^4}{4}+\)

\(\rm log_e(2) = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\)

अतः, विकल्प (3) सही है।

धारणा:

चरघातांकी फलन का विस्तार

\(e^x = \displaystyle\sum_{n = 0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}\)

\(=\dfrac{1}{1}+\dfrac{x}{1}+ \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!}+...\)

उपरोक्त सूत्र से e¹ और e^-1 के मान हैं-

\(e^1 = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}\)

\(=\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1^2}{2!} + \dfrac{1^3}{3!} + ...\)

\(e^{-1} = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n!}\)

\(=\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{6} + ...\)

गणना:

दिया हुआ विस्तार इसप्रकार है

\(1 + \dfrac{2^3}{2!} + \dfrac{3^3}{3!} + \dfrac{4^3}{4!} + ...\)

हम विकल्पों का सत्यापन कर सकते हैं और निष्कर्ष निकाल सकते हैं

विकल्प (A) 5e - 1

\(5 \left[1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + ... \right]-1\)

\(5 + 5 + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{6} + ...-1\)

\(9 + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{6} + ...\)

दिए गए श्रेणी के बराबर नहीं है

विकल्प (B) 5e - 3

\(5\left[1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + ...\right] - 3\)

\(7 + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{6} + ...\)

दिए गए श्रेणी के बराबर नहीं है

Option (c) 4e

\(4 \left[1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + ...\right]\)

\(4 + \dfrac{4}{1!} + \dfrac{4}{4!} + \dfrac{4}{3!} + ...\)

दिए गए श्रेणी के बराबर नहीं है

उत्तर विकल्प D है।

उपरोक्त विस्तार में से कोई भी दी गई श्रेणी से मेल नहीं हो रहा है।

धारणा:

चरघातांकी फलन का विस्तार

\(e^x = \displaystyle\sum_{n = 0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}\)

\(=\dfrac{1}{1}+\dfrac{x}{1}+ \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!}+...\)

उपरोक्त सूत्र से e¹ और e^-1 के मान हैं-

\(e^1 = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}\)

\(=\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1^2}{2!} + \dfrac{1^3}{3!} + ...\)

\(e^{-1} = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n!}\)

\(=\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{6} + ...\)

गणना:

दिया हुआ विस्तार इसप्रकार है

\(1 + \dfrac{2^3}{2!} + \dfrac{3^3}{3!} + \dfrac{4^3}{4!} + ...\)

हम विकल्पों का सत्यापन कर सकते हैं और निष्कर्ष निकाल सकते हैं

विकल्प (A) 5e - 1

\(5 \left[1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + ... \right]-1\)

\(5 + 5 + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{6} + ...-1\)

\(9 + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{6} + ...\)

दिए गए श्रेणी के बराबर नहीं है

विकल्प (B) 5e - 3

\(5\left[1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + ...\right] - 3\)

\(7 + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{6} + ...\)

दिए गए श्रेणी के बराबर नहीं है

Option (c) 4e

\(4 \left[1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + ...\right]\)

\(4 + \dfrac{4}{1!} + \dfrac{4}{4!} + \dfrac{4}{3!} + ...\)

दिए गए श्रेणी के बराबर नहीं है

उत्तर विकल्प D है।

उपरोक्त विस्तार में से कोई भी दी गई श्रेणी से मेल नहीं हो रहा है।

धारणा:

चरघातांकी फलन का विस्तार

\(e^x = \displaystyle\sum_{n = 0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}\)

\(=\dfrac{1}{1}+\dfrac{x}{1}+ \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!}+...\)

उपरोक्त सूत्र से e¹ और e^-1 के मान हैं-

\(e^1 = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}\)

\(=\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1^2}{2!} + \dfrac{1^3}{3!} + ...\)

\(e^{-1} = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n!}\)

\(=\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{6} + ...\)

गणना:

दिया हुआ विस्तार इसप्रकार है

\(1 + \dfrac{2^3}{2!} + \dfrac{3^3}{3!} + \dfrac{4^3}{4!} + ...\)

हम विकल्पों का सत्यापन कर सकते हैं और निष्कर्ष निकाल सकते हैं

विकल्प (A) 5e - 1

\(5 \left[1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + ... \right]-1\)

\(5 + 5 + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{6} + ...-1\)

\(9 + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{6} + ...\)

दिए गए श्रेणी के बराबर नहीं है

विकल्प (B) 5e - 3

\(5\left[1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + ...\right] - 3\)

\(7 + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{6} + ...\)

दिए गए श्रेणी के बराबर नहीं है

Option (c) 4e

\(4 \left[1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + ...\right]\)

\(4 + \dfrac{4}{1!} + \dfrac{4}{4!} + \dfrac{4}{3!} + ...\)

दिए गए श्रेणी के बराबर नहीं है

उत्तर विकल्प D है।

उपरोक्त विस्तार में से कोई भी दी गई श्रेणी से मेल नहीं हो रहा है।

संकल्पना:

सूत्र लागू करने पर

\(\rm log_e (1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\)

गणना:

हमें प्राप्त है 

\(\rm log_e(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\)

अब x = 1 रखने पर, तब 

\(\rm log_e(1+1) = 1-\frac{1^2}{2}+\frac{1^3}{3}-\frac{1^4}{4}+\)

\(\rm log_e(2) = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\)

अतः, विकल्प (3) सही है।

गणना:

हमारे पास है,

1/1⁴ + 1/2⁴ + 1/3⁴ + 1/4⁴ + ⋯ = π⁴ / 90     (1)

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

[1/1⁴ + 1/3⁴ + 1/5⁴ + ⋯ ] + 1/2⁴ + 1/4⁴ + ⋯ = π⁴ / 90

[1/1⁴ + 1/3⁴ + 1/5⁴ + ⋯ ] + (1/2⁴) x [1/1⁴ + 1/2⁴ + 1/3⁴ + ⋯ ] = π⁴ / 90

(1) का उपयोग करते हुए:

[1/1⁴ + 1/3⁴ + 1/5⁴ + ⋯ ] + (1/2⁴) x (π⁴ / 90) = π⁴ / 90

⇒ 1/1⁴ + 1/3⁴ + 1/5⁴ + ⋯ = (π⁴ / 90) x [1 − 1/2⁴] = (π⁴ / 90) x (15/16) = π⁴ / 96