Differentiation in Frequency Domain MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differentiation in Frequency Domain - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 10, 2025
Latest Differentiation in Frequency Domain MCQ Objective Questions
Differentiation in Frequency Domain Question 1:
t.e-at u(t) का फूरियर रूपांतरण क्या है? (जहाँ, a > 0, u(t) इकाई चरण फलन है)
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiation in Frequency Domain Question 1 Detailed Solution
सिद्धांत:
x(t) = e-at u(t) का फूरियर रूपांतरण दिया गया है:
\(X\left( j\omega \right)=\frac{1}{a~+~j\omega };~a>0\)
आवृत्ति में अवकलन गुणधर्म बताता है कि,
\(यदि~x\left( t \right)~\leftrightarrow ~X\left( j\omega \right)\)
\(tx\left( t \right)\leftrightarrow j\frac{dX\left( j\omega \right)}{d\omega }\)
गणना:
x(t) = e-at के साथ t.e-at u(t) का फूरियर रूपांतरण होगा:
\(t.e^{-at} u(t)\leftrightarrow j\frac{dX\left( j\omega \right)}{d\omega }=j\frac{d}{d\omega }\left( \frac{1}{a~+~j\omega } \right)=\frac{j\left( -j \right)}{{{\left( a~+~j\omega \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( a~+~j\omega \right)}^{2}}}\)
चूँकि ω = 2πf, te-atu(t) (a > 0 के लिए) का फूरियर रूपांतरण \(\frac{1}{{{\left( 1~+~j2\pi f \right)}^{2}}}.\) है।Differentiation in Frequency Domain Question 2:
मान लीजिए गाऊसी स्पंद -∞ < t < ∞ के लिए \(g\left( t \right) = {e^{ - \beta {t^2}}}\) है, जहाँ β स्थिरांक है। मान लीजिए G(ω), g(t) के फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है। तो \(\frac{1}{{\omega G\left( \omega \right)}}\frac{{dG\left( \omega \right)}}{{d\omega }}\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiation in Frequency Domain Question 2 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है, \(g\left( t \right) = {e^{ - \beta {t^2}}}\)
\({e^{ - \beta {t^2}}} \leftrightarrow \sqrt {\frac{\pi }{\beta }} .{e^{\frac{{ - {\omega ^2}}}{{4\beta }}}} = G\left( \omega \right)\)
फूरियर रूपांतरण के आवृत्ति अवकलज गुण का प्रयोग करने पर;
\(\Rightarrow \frac{d}{{d\omega }}G\left( \omega \right) = \sqrt {\frac{\pi }{\beta }} .\frac{d}{{d\omega }}\left( {{e^{\frac{{ - {\omega ^2}}}{{4\beta }}}}} \right)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{{d\omega }}G\left( \omega \right) = \sqrt {\frac{\pi }{\beta }} .{e^{\frac{{ - {\omega ^2}}}{{4\beta }}}}.\left( {\frac{{ - 2\omega }}{{4\beta }}} \right)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{{d\omega }}\left( {G\left( \omega \right)} \right) = G\left( \omega \right).\left( {\frac{{ - \omega }}{{2\beta }}} \right)\)
इसलिए, \(\frac{1}{{\omega \;G\left( \omega \right)}}.\frac{d}{{d\omega }}\left( {G\left( \omega \right)} \right) = \frac{{ - 1}}{{2\beta }}\)
अतः विकल्प (2) सही है।Top Differentiation in Frequency Domain MCQ Objective Questions
t.e-at u(t) का फूरियर रूपांतरण क्या है? (जहाँ, a > 0, u(t) इकाई चरण फलन है)
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiation in Frequency Domain Question 3 Detailed Solution
Download Solution PDFसिद्धांत:
x(t) = e-at u(t) का फूरियर रूपांतरण दिया गया है:
\(X\left( j\omega \right)=\frac{1}{a~+~j\omega };~a>0\)
आवृत्ति में अवकलन गुणधर्म बताता है कि,
\(यदि~x\left( t \right)~\leftrightarrow ~X\left( j\omega \right)\)
\(tx\left( t \right)\leftrightarrow j\frac{dX\left( j\omega \right)}{d\omega }\)
गणना:
x(t) = e-at के साथ t.e-at u(t) का फूरियर रूपांतरण होगा:
\(t.e^{-at} u(t)\leftrightarrow j\frac{dX\left( j\omega \right)}{d\omega }=j\frac{d}{d\omega }\left( \frac{1}{a~+~j\omega } \right)=\frac{j\left( -j \right)}{{{\left( a~+~j\omega \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( a~+~j\omega \right)}^{2}}}\)
चूँकि ω = 2πf, te-atu(t) (a > 0 के लिए) का फूरियर रूपांतरण \(\frac{1}{{{\left( 1~+~j2\pi f \right)}^{2}}}.\) है।मान लीजिए गाऊसी स्पंद -∞ < t < ∞ के लिए \(g\left( t \right) = {e^{ - \beta {t^2}}}\) है, जहाँ β स्थिरांक है। मान लीजिए G(ω), g(t) के फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है। तो \(\frac{1}{{\omega G\left( \omega \right)}}\frac{{dG\left( \omega \right)}}{{d\omega }}\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiation in Frequency Domain Question 4 Detailed Solution
Download Solution PDFगणना:
दिया गया है, \(g\left( t \right) = {e^{ - \beta {t^2}}}\)
\({e^{ - \beta {t^2}}} \leftrightarrow \sqrt {\frac{\pi }{\beta }} .{e^{\frac{{ - {\omega ^2}}}{{4\beta }}}} = G\left( \omega \right)\)
फूरियर रूपांतरण के आवृत्ति अवकलज गुण का प्रयोग करने पर;
\(\Rightarrow \frac{d}{{d\omega }}G\left( \omega \right) = \sqrt {\frac{\pi }{\beta }} .\frac{d}{{d\omega }}\left( {{e^{\frac{{ - {\omega ^2}}}{{4\beta }}}}} \right)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{{d\omega }}G\left( \omega \right) = \sqrt {\frac{\pi }{\beta }} .{e^{\frac{{ - {\omega ^2}}}{{4\beta }}}}.\left( {\frac{{ - 2\omega }}{{4\beta }}} \right)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{{d\omega }}\left( {G\left( \omega \right)} \right) = G\left( \omega \right).\left( {\frac{{ - \omega }}{{2\beta }}} \right)\)
इसलिए, \(\frac{1}{{\omega \;G\left( \omega \right)}}.\frac{d}{{d\omega }}\left( {G\left( \omega \right)} \right) = \frac{{ - 1}}{{2\beta }}\)
अतः विकल्प (2) सही है।Differentiation in Frequency Domain Question 5:
t.e-at u(t) का फूरियर रूपांतरण क्या है? (जहाँ, a > 0, u(t) इकाई चरण फलन है)
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiation in Frequency Domain Question 5 Detailed Solution
सिद्धांत:
x(t) = e-at u(t) का फूरियर रूपांतरण दिया गया है:
\(X\left( j\omega \right)=\frac{1}{a~+~j\omega };~a>0\)
आवृत्ति में अवकलन गुणधर्म बताता है कि,
\(यदि~x\left( t \right)~\leftrightarrow ~X\left( j\omega \right)\)
\(tx\left( t \right)\leftrightarrow j\frac{dX\left( j\omega \right)}{d\omega }\)
गणना:
x(t) = e-at के साथ t.e-at u(t) का फूरियर रूपांतरण होगा:
\(t.e^{-at} u(t)\leftrightarrow j\frac{dX\left( j\omega \right)}{d\omega }=j\frac{d}{d\omega }\left( \frac{1}{a~+~j\omega } \right)=\frac{j\left( -j \right)}{{{\left( a~+~j\omega \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( a~+~j\omega \right)}^{2}}}\)
चूँकि ω = 2πf, te-atu(t) (a > 0 के लिए) का फूरियर रूपांतरण \(\frac{1}{{{\left( 1~+~j2\pi f \right)}^{2}}}.\) है।Differentiation in Frequency Domain Question 6:
मान लीजिए गाऊसी स्पंद -∞ < t < ∞ के लिए \(g\left( t \right) = {e^{ - \beta {t^2}}}\) है, जहाँ β स्थिरांक है। मान लीजिए G(ω), g(t) के फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है। तो \(\frac{1}{{\omega G\left( \omega \right)}}\frac{{dG\left( \omega \right)}}{{d\omega }}\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiation in Frequency Domain Question 6 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है, \(g\left( t \right) = {e^{ - \beta {t^2}}}\)
\({e^{ - \beta {t^2}}} \leftrightarrow \sqrt {\frac{\pi }{\beta }} .{e^{\frac{{ - {\omega ^2}}}{{4\beta }}}} = G\left( \omega \right)\)
फूरियर रूपांतरण के आवृत्ति अवकलज गुण का प्रयोग करने पर;
\(\Rightarrow \frac{d}{{d\omega }}G\left( \omega \right) = \sqrt {\frac{\pi }{\beta }} .\frac{d}{{d\omega }}\left( {{e^{\frac{{ - {\omega ^2}}}{{4\beta }}}}} \right)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{{d\omega }}G\left( \omega \right) = \sqrt {\frac{\pi }{\beta }} .{e^{\frac{{ - {\omega ^2}}}{{4\beta }}}}.\left( {\frac{{ - 2\omega }}{{4\beta }}} \right)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{{d\omega }}\left( {G\left( \omega \right)} \right) = G\left( \omega \right).\left( {\frac{{ - \omega }}{{2\beta }}} \right)\)
इसलिए, \(\frac{1}{{\omega \;G\left( \omega \right)}}.\frac{d}{{d\omega }}\left( {G\left( \omega \right)} \right) = \frac{{ - 1}}{{2\beta }}\)
अतः विकल्प (2) सही है।