Continuity & Differentiability MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Continuity & Differentiability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

महत्तम पूर्णांक फलन:

• महत्तम पूर्णांक फलन, जिसे [x] द्वारा दर्शाया जाता है, x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक देता है।
• इस फलन को फर्श फलन भी कहा जाता है। गणितीय रूप से, [x] को x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है।
• महत्तम पूर्णांक फलन पूर्णांक बिंदुओं को छोड़कर हर जगह सतत होता है, जहाँ यह अवकलनीय नहीं होता है।
• अवकलनीयता के लिए, फलन में असंतता के बिंदुओं पर कोई "तीखा कोना" नहीं होना चाहिए।

गणना:

आइए सही विवरणों से मिलान करने के लिए विकल्पों में प्रत्येक फलन का विश्लेषण करें।

• (A) |x − 1| + |x − 2|: यह निरपेक्ष मान फलनों का एक संयोजन है। ये निरंतर और हर जगह अवकलनीय होते हैं, सिवाय उन बिंदुओं के जहाँ निरपेक्ष मान बदलते हैं, जो x = 1 और x = 2 हैं। इसलिए, यह फलन x = 0 को छोड़कर हर जगह अवकलनीय है।
• (B) x − |x|: इस फलन में निरपेक्ष मान फलन शामिल है। महत्तम पूर्णांक फलन में पूर्णांक बिंदुओं पर असांतत्य है, और इस फलन में निरपेक्ष मान शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि यह हर जगह संतत है लेकिन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, यह हर जगह संतत है।
• (C) x − [x]: इस फलन में महत्तम पूर्णांक फलन (फर्श फलन) शामिल है, जो सतत है लेकिन पूर्णांक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, यह फलन x = 1 पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि पूर्णांक बिंदुओं पर असांतत्य है।
• (D) |x|: यह फलन x = 0 सहित सभी बिंदुओं पर संतत और अवकलनीय है। इसलिए, यह x = 1 पर अवकलनीय है।

सूची-I का सूची-II से मिलान:

• A) |x − 1| + |x − 2|: यह x = 0 को छोड़कर हर जगह अवकलनीय है, जो सूची-II में (I) से सुमेलित है।
• B) x − |x|: यह फलन सभी स्थानों पर संतत है, जो सूची-II में (II) से सुमेलित है।
• C) x − [x]: यह फलन x = 1 पर अवकलनीय नहीं है, जो सूची-II में (III) से सुमेलित है।
• D) |x|: यह फलन x = 1 पर अवकलनीय है, जो सूची-II में (IV) से सुमेलित है।

∴ सही मिलान: A → I, B → II, C → III, D → IV है। 

स्पष्टीकरण:

दिया गया है कि \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} (x-π) e^{\sin x} & \text { if } 0 \leq x \leq \frac{π}{2}, \\ x e^{\sin x}+\frac{4}{π} & \text { if } \frac{π}{2}

\(∫_{0}^{π} f(x) d x\) =  \(∫_{0}^{π/2 } (x - π ) ⋅ e^{\sin x} + ∫_{π /2}^{π} x e^{\sin x}+\frac{4}{π} \)

= \( ∫_{0}^{π/2 }[(\frac{π}{2} -x) - x ] e^{\sin(\frac{π }{2}- x)} dx + ∫_{0}^{\frac{π}{2}} ( x+ \frac{π}{2} ⋅ e^ {\sin (x + \frac{x}{2})} + \frac{4}{π} ∫_{π/2}^{π} dx \)  

= \( ∫_{0}^{π/2 }[(-\frac{π}{2} -x) ] e^{(\cos x)} dx + ∫_{0}^{\frac{π}{2}} ( x+ \frac{π}{2}) ⋅ e^ {\cos x } dx + \frac{4}{π} \frac{π }{2} \)

= \( - ∫_{0}^{π/2 }[(\frac{π}{2} + x) ] e^{\cos x} dx + ∫_{0}^{\frac{π}{2}} ( x+ \frac{π}{2}) ⋅ e^ {\cos x } dx + 2 \)

= 2

अब,  \(\frac{4050}{4} \int_{0}^{\pi} f(x) d x = \frac{4050}{4} \times 2 = 2025\) 

अतः 2025 सही उत्तर है।​

स्पष्टीकरण:

मान लीजिए, \(g(x)= x^3 -5 \)

स्पष्टतः g(x) (1, 2) पर एक वर्धमान संतत फलन इस प्रकार है कि

g(1) = -4  और g(2) = 3

इसका अर्थ है कि g(x), -4 और 3 के बीच के सभी मानों को संतुष्ट करता है।

-4 और 3 के बीच 7 पूर्णांक बिंदु हैं।

इसलिए, 7 उत्तर है।

यदि हम समीकरण में \(x=0\) और \(y=0\) रखते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

 \(f(0)=2f(0) \Rightarrow \boxed{ f(0)=0}\)

अब परिभाषा से, \( \displaystyle f'(x)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

\( \displaystyle = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(x)+f(h)-f(x)}{h}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(h)}{h}\)....(1)

इसके अलावा \(\displaystyle f'(0) = \frac {f(0+h)-f(0)}{h}= \frac {f(h)}{h}\)....(2)

दिया गया है कि \(f(x)\) , \(x=0\) पर अवकलनीय है। इसलिए, \(f'(0)\) का मान \(k\) है।

समीकरण (1) और (2) से, \(f'(x)=k\)।

इसलिए, \(f(x)= kx+m\)

\(\Rightarrow f(x)=kx\) \(\because f(0)=0\)

\(\Rightarrow f^{ ' }( x ) =k=constant\)

बहुपद फलन सभी \(x\in R\) के लिए सतत और अवकलनीय होते हैं।

अवधारणा:

एक फलन y = f(x) एक खुले अंतराल (a, b) पर एकसमान रूप से सतत होता है यदि f(x), (a, b) पर सतत होता है और सीमा अंत बिंदुओं a, b पर मौजूद होती है।

व्याख्या:

(1): f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\sin\frac1x\) मौजूद नहीं है इसलिए f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) पर एकसमान रूप से सतत नहीं है

विकल्प (1) गलत है।

(3): f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\)ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) मौजूद नहीं है इसलिए f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) पर एकसमान रूप से सतत नहीं है।

विकल्प (3) गलत है।

(4): f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\)cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) मौजूद नहीं है क्योंकि \(\lim_{x\to0}\)cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) मौजूद नहीं है इसलिए f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) (0, 1) पर एकसमान रूप से सतत नहीं है

विकल्प (4) गलत है।

(2): f(x) = e−1/x2

(यहाँ f(x) (0, 1) में सतत है और सीमा x = 0 और x = 1 पर मौजूद है

इसलिए f(x) = e−1/x2 (0, 1) पर एकसमान रूप से सतत है

विकल्प (2) सही है।

व्याख्या:

स्मरण: x2 ℝ पर एकसमानत: संतत फलन नहीं है, लेकिन sin x ℝ पर एकसमानत: संतत है।

(1) h(x) = g(f(x)) = sin(x2)

स्मरण: f ∶ ℝ → ℝ के लिए, यदि कोई अनुक्रम {an} & {bn} इस प्रकार है कि |an − bn| → 0 लेकिन |f(an) − f(bn)| → 0 नहीं, तो f एकसमानत: संतत नहीं है।

an = \(\rm\sqrt{2 n \pi + \frac{\pi}{2}}\) और bn = \(\rm\sqrt{2 n \pi − \frac{\pi}{2}}\) लीजिये

तब \(\rm\displaystyle\lim_{n → ∞}\) an − bn = \(\rm\displaystyle\lim_{n → ∞}\) \(\rm\sqrt{2 n \pi + \frac{\pi}{2}} − \sqrt{2 n \pi − \frac{\pi}{2}}\) = 0

लेकिन sin(2nπ + \(\frac{\pi}{2}\)) − sin(2nπ − \(\frac{\pi}{2}\)) = 2 → जब n → ∞

∴ h(x) एकसमानत: संतत नहीं है।

विकल्प (1) गलत है।

(2) h(x) = g(x) f(x) = sin x ⋅ x2

स्मरण: यदि किसी समुच्चय x पर |f'(x)| ≤ K, तो f एकसमानत: संतत है।

मान लीजिए  h(x) एकसमानत: संतत है।

तब, ε = 1 > 0 के लिए, कोई δ > 0 इस प्रकार है कि |h(x) − h(y)| < 1, जब |x − y| < δ

x ∈ ℝ और y = x + δ/2 लीजिये, तब |x − y| = |x − x − δ/2| < δ और |f(x) − f(y)| = |x2 sin x − (x + δ/2)2 sin(x + δ/2)|

≤ |x2 − (x + \(\frac{\delta}{2}\))2| = |x2 − x2 − \(\frac{\delta^2}{2}\) − δx| < 1

⇒ \(\rm\left| − \delta x − \frac{\delta^2}{4}\right|\) < 1 ⇒ δx + \(\frac{\delta^2}{4}\) < 1.

⇒ x < \(\frac{1 − \frac{\delta^2}{4}}{\delta}\) लेकिन हमने x ∈ ℝ लिया है।

जो एक अंतर्विरोध है।

∴ h(x) एकसमानत: संतत नहीं है। विकल्प (2) गलत है।

(3) h(x) = (sin x)2

स्मरण: यदि |f'(x)| ≤ K, तो f एकसमानत: संतत है।

यहाँ, h'(x) = 2 sin x cos x = sin 2x

तब |sin 2x| < 1 ⇒ h(x) एकसमानत: संतत है।

विकल्प (3) सही है

(4) h(x) = x2 + sin x

स्मरण: यदि f + g एकसमानत: संतत है, तो f(x) ± g(x) भी एकसमानत: संतत है।

अब, मान लीजिए h(x) ℝ पर एकसमानत: संतत है।

f1(x) = sin x लीजिए और sin x ℝ पर एकसमानत: संतत है।

तब h(x) ± f1(x) ℝ पर एकसमानत: संतत है।

⇒ x2 + sin x − sin x = x2 ℝ पर एकसमानत: संतत है।

जो एक अंतर्विरोध है क्योंकि x2 ℝ पर एकसमानत: संतत नहीं है।

विकल्प (4) गलत है।

अवधारणा:

L हॉस्पिटल का नियम: यदि  \(\lim_{x\to c}f(x)\) = \(\lim_{x\to c}g(x)\) = 0 या ± ∞  तथा I में सभी x के लिए g'(x) ≠ 0 तथा x ≠ c और \(\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) अस्तित्व में है, तब \(\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}\) = ​\(\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) होता है। 

स्पष्टीकरण:

\(\lim_{x\to0}\frac{x(1-\cos x)-ax\sin x}{x^4}\) (0/0 रूप में है, इसलिए, L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करने पर)

= \(\lim_{x\to0}\frac{x sin x + 1 - cosx - ax cos x - asinx }{4x^3}\) 

= \(\lim_{x\to0}\frac{1 + (x-a) sin x - (ax + 1) cos x}{4x^3}\)

L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करने पर

= \(\lim_{x\to0}\frac{(x-a) cos x + sin x + (ax + 1) sin x - acos x}{12x^2}\)

= \(\lim_{x\to0}\frac{(x-2a) cos x + (ax + 2) sin x }{12x^2}\)

यह 0/0 रूप में होगा, यदि -

x - 2a = 0

⇒ a = 0

विकल्प (1) सही है। 

स्पष्टीकरण:

यहाँ, यह दिया गया है कि, 

(i) f(x + y) = f(x).f(y) और 

(ii) f(x) = 1 + x g(x), जहाँ \(\lim _{x \rightarrow 0} g(x) = 1\) है,

अब, दिए गए प्रतिबंध y के लिए लिखने पर, हमें प्राप्त होता है,

f(x + h) = f(x).f(h)

तब, f(x + h) - f(x) = f(x)f(h) - f(x)

या  \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \frac{f(x)[f(h) - 1]}{h}\)

\( \frac{f(x)h. g(h)}{h}=f(x). g(h)\)

अतः, \(\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} f(x) \cdot g(h)=f(x) \cdot 1\)

चूँकि, प्रमेय \(\lim_{h \rightarrow 0} g(h) = 1\) के द्वारा,

यह अनुसरण करता है कि,  f'(x) = f(x)

चूँकि, f(x) विद्यमान है, f'(x) भी विद्यमान है। 

और f'(x) = f(x) 

⇒ \(\frac{d}{dx} f(x) = f(x)\)

स्पष्टीकरण -

माना a_n = n sin(2 π en!) हमें प्राप्त है 

\(e = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} \)

⇒ \(2 \pi e n! = 2\pi r + 2\pi n!( \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} )\)

जहाँ r धनात्मक पूर्णांक है। इसलिए, हमें प्राप्त है 

\(lim_{ n \to \infty } n sin( 2\pi r + 2\pi n!( \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} ))\)

= \(lim_{ n \to \infty } n \ sin( 2\pi n!( \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} ))\)

आगे, इसका अवलोकन करने पर 

\(\frac{1}{n+1} < ​​n! ( \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}) = \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}+..... < \frac{1}{n}+ \frac{1}{n^2} + ... = \frac{1}{n-1}\)

स्क्वीज़ सिद्धांत से, हमें प्राप्त है

\(lim_{n \to \infty }​​n! ( \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}) = lim_{n \to \infty } b_n = 0\) और \(lim_{n \to \infty }n b_n = 1\)

इसलिए, परिणाम \(lim_{x \to 0 } \frac{sinx}{x} = 1\) का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है 

\(lim_{n \to \infty } a_n = ​​lim_{n \to \infty } n sin(2 \pi b_n) = ​​lim_{n \to \infty }2 \pi b_n n \frac{sin(2 \pi b_n)}{2 \pi b_n} = 2\pi\)

अत:, विकल्प (3) सही है।

अवधारणा -

(i) अवकलनीयता -

माना f(x) किसी अंतराल [a,b] पर परिभाषित एक वास्तविक-मान फलन है, अर्थात f : [a,b] → \(\mathbb{R}\), माना a < c < b है

यदि c पर f(x) का बायाँ पक्ष अवकलज c पर f(x) के दाएँ पक्ष अवकलज के बराबर है, तब c पर f(x) अवकलनीय है। जहाँ, LHD = \(lim_{x → c^-} \frac{f(x) -f(c)}{x-c} \) और RHD = \(lim_{x → c^+} \frac{f(x) -f(c)}{x-c} \) है।

(ii) \(sin(x) = x - \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}+....\)

(iii) \( lim_{x → 0} \frac{sin x^2}{x} = lim_{x → 0} \frac{x^2-\frac{x^6}{3!}+...}{x}=0\)  

स्पष्टीकरण -

विकल्प (1) के लिए -

हमें प्राप्त है: f(x) = sin( |x|x )

अब अवकलनीयता की परिभाषा का प्रयोग करने पर - 

\(lim_{x → 0} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} =\begin{cases} lim_{x → 0} \frac{-sin x^2}{x} & x< 0 \\ lim_{x → 0} \frac{sin x^2}{x} &x>0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}\)

⇒ \(lim_{x → 0} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} = 0\) as \( lim_{x → 0} \frac{sin x^2}{x} = lim_{x → 0} \frac{x^2-\frac{x^6}{3!}+...}{x}=0\)

अतः, फलन x = 0 पर अवकलनीय है।
इसलिए, विकल्प (1) सत्य है। 

विकल्प (2) के लिए -

हमें प्राप्त है: \(f(x) =\begin{cases} sin(x^2) & if \ \ x\in \mathbb{Q} \\ 0 & otherwise\\ \end{cases}\)

अब अवकलनीयता की परिभाषा का प्रयोग करने पर -

\(lim_{x → 0} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} =\begin{cases} lim_{x → 0} \frac{sin x^2}{x} & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & otherwise \end{cases}\)

⇒ \(lim_{x → 0} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} = 0\) as \( lim_{x → 0} \frac{sin x^2}{x} = lim_{x → 0} \frac{x^2-\frac{x^6}{3!}+...}{x}=0\)

अतः, फलन x = 0 पर अवकलनीय है। इसलिए, विकल्प (2) सत्य है।

विकल्प (3) के लिए -

हमें प्राप्त है:  \(f(x) =\begin{cases} sin(|x|) & if \ \ x\in \mathbb{Q} \\ 0 & otherwise\\ \end{cases}\)

अब अवकलनीयता की परिभाषा का प्रयोग करने पर - 

\(lim_{x → 0} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} =\begin{cases} lim_{x → 0} \frac{-sin x}{x} & x \in \mathbb{Q}, x< 0 \\ lim_{x → 0} \frac{sin x}{x} & x \in \mathbb{Q},x>0 \\ 0 & otherwise \end{cases}\)

⇒ \(lim_{x → 0^-} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} = -1 \) और  \(lim_{x → 0^+} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} = 1 \) क्योंकि  \( lim_{x → 0} \frac{sin x}{x} = lim_{x → 0} \frac{x-\frac{x^3}{3!}+...}{x}=1\)

अतः, फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, विकल्प (3) सत्य है।

विकल्प (4) के लिए -

हमें प्राप्त है:  f(x) = [x] sin2(πx) = \(\begin{cases} -sin^2 \pi x & 1 \le x < 0 \\ 0 & 0\leq x\leq 1 \\ \end{cases}\)

अब अवकलनीयता की परिभाषा का प्रयोग करने पर - 

⇒ \(LHD =lim_{x → 0^-} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} = lim_{x → 0^-} \frac{-sin^2 \pi x}{x} = 0\) और  \(RHD =lim_{x → 0^+} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} = lim_{x → 0^-} \frac{0}{x} = 0\) 

अतः, फलन x = 0 पर अवकलनीय है। इसलिए, विकल्प (4) सत्य है। 

इसलिए, विकल्प (3) सही विकल्प है।

स्पष्टीकरण:

f(x) = \(\begin{cases}7 x^2+5 x+3 & ; x<0 \\ 7 x^2+5 x & ; x \geq 0\end{cases}\)

f'(x) = 14x + 5, ∀ x ∈ ℝ / {0}

इसलिए, f''(x) = 14, ∀ x ∈ ℝ / {0}

अतः f'''(x) = 0, ∀ x ∈ ℝ / {0}

अतः (2) सही उत्तर है। 

स्पष्टीकरण:

f(x) = x|x| 

अवकलनीयता की परिभाषा का प्रयोग करने पर,

f'(0) = \(\lim_{x\to0}\frac{f(x) -f(0)}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}\frac{x|x| -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}|x|\) = 0

f अवकलनीय है। 

g(x) = x | cos x |

|cos x| = \(\begin{cases}cos x, x< 0\\ cos x, x\geq 0\end{cases}\)

इसलिए, x | cos x | = \(\begin{cases}xcos x, x< 0\\ xcos x, x\geq 0\end{cases}\)

इसलिए,

LHD = \(\lim_{x\to0}\frac{x\cos x -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}(\cos x) = 1\) 

RHD = \(\lim_{x\to0}\frac{x\cos x -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}(\cos x)\) = 1

चूँकि, x = 0 पर LHD = RHD है, इसलिए, g(x) x = 0 पर अवकलनीय है। 

(3) सही है। 

व्याख्या:

विकल्प (1): मान लीजिए k = 2, f(x) = x² और g(x) = - 1

चूँकि x2  ≠ -1 ∀ x ∈ \(\mathbb{R}\)

इसलिए, कोई x0 ∈ \(\mathbb{R}\) इस प्रकार नहीं है कि f(x0) = g(x0) हमेशा सत्य हो।

विकल्प (1) गलत है।

विकल्प (2): मान लीजिए k = 1 है, इसलिए f(x) = x और g(x) = 1

चूँकि,  x = 1 के लिए, f(x) = g(x) 

इसलिए, x0 = 1 इस प्रकार है कि f(x0) = g(x0) है। 

विकल्प (2) गलत है।

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

अवधारणा -

(i) यदि (a,b) पर फलन f(x) की सीमा विद्यमान है, तब (a,b) पर  फलन f(x) एकसमान रूप से सतत है।

(ii) यदि फलन f(x) का अवकलज परिबद्ध है और (a,b) पर विद्यमान है तब (a,b) पर फलन f(x) एकसमान रूप से सतत है।

स्पष्टीकरण -

विकल्प (1) के लिए -

हमें प्राप्त है: f(x) = sin2x 

हम जानते हैं कि sin (x) परिबद्ध है और अंतराल (0, ∞) पर विद्यमान है, इसलिए, sin2x भी परिबद्ध होगा और अंतराल (0, ∞) पर विद्यमान होगा।

​अत:, f(x) एकसमान रूप से सतत है।

इसलिए, विकल्प (1) सत्य है।

विकल्प (4) के लिए -

यदि sin2x परिबद्ध है और अंतराल (0, ∞) पर विद्यमान है, तब  \(f(x) = e^{sin^2x}\)  भी परिबद्ध होगा और अंतराल (0, ∞) पर विद्यमान होगा।

अत:, f(x) एकसमान रूप से सतत है।

इसलिए, विकल्प (4) सत्य है।

विकल्प (2) के लिए -

चूँकि, हमें प्राप्त है: f : (0, ∞) → \(\mathbb{R}\) एकसमान रूप से सतत है।

तब यह (0,1) पर भी एकसमान रूप से सतत है और इसलिए इसकी सीमा को इस तरह बढ़ाया जा सकता है कि \(lim_{ x \to 0} f(x) \) विद्यमान है। 

इसलिए, विकल्प (2) सत्य है।

विकल्प (3) के लिए -

गणनीय उदाहरण f(x) = x लेनें पर, 

स्पष्ट रूप से f'(x) = 1 है, इसलिए इस फलन का अवकलज परिबद्ध है अत:, (0, ∞) पर फलन एकसमान रूप से सतत है

लेकिन \(lim_{ x \to \infty} f(x) \) विद्यमान नहीं है।