বৃত্তাংশের উপপাদ্য MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Theorem on Segments - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Mar 19, 2025
Latest Theorem on Segments MCQ Objective Questions
বৃত্তাংশের উপপাদ্য Question 1:
প্রদত্ত চিত্রে ∠POR = 150° যেখানে O বৃত্তের কেন্দ্র, তবে ∠PQR-এর মান কত?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 1 Detailed Solution
অনুসৃত ধারণা:
কেন্দ্রীয় কোণ প্রধান বৃত্তীয় কোণের দ্বিগুণ।
বৃত্তীয় চতুর্ভুজে বিপরীত কোণগুলির সমষ্টি 180°
গণনা:
∠POR = 2 × ∠PSR
⇒ ∠PSR = 150°/2 = 75°
⇒ ∠PQR + ∠PSR = 180°
⇒ ∠PQR + 75° = 180°
⇒ ∠PQR = 105°
∴ সঠিক উত্তর 105°
বৃত্তাংশের উপপাদ্য Question 2:
PAB এবং PCD একটি বৃত্তের দুটি ছেদক। যদি PA = 10 সেমি, AB = 12 সেমি এবং PC = 11 সেমি, তাহলে PD এর মান (সেমিতে) = কত?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 2 Detailed Solution
অনুসৃত ধারণা:
PA × PB = PC × PD
গণনা:
PA × PB = PC × PD
⇒ 10 × 22 = 11 × PD
PD = \(\frac{10 \times 22}{11}\) = 20
∴ সঠিক উত্তর হল 20
বৃত্তাংশের উপপাদ্য Question 3:
O হল বৃত্তের কেন্দ্র এবং চাপ ABC কেন্দ্রে 120º একটি কোণ উৎপন্ন করে। AB কে M পর্যন্ত প্রসারিত করা হয়, তাহলে ∠MBC এর মান হল:
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 3 Detailed Solution
ধারণা:
একটি চাপ দ্বারা কেন্দ্রে সংযোজিত কোণটি পরিধিতে এটি দ্বারা প্রত্যাবর্তিত কোণের দ্বিগুণ।
সুতরাং, ∠AOB = 2 × ∠ACB
গণনা:
চিত্রে, ∠AXC = 120º ÷ 2 = 60º
চতুর্ভুজ AXCB একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং তাই, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বাহ্যিক কোণ চতুর্ভুজের বিপরীত অভ্যন্তরীণ কোণের সমান।
⇒ ∠MBC = ∠AXC = 60º
∴ ∠MBC এর মান হল 60º
বৃত্তাংশের উপপাদ্য Question 4:
প্রদত্ত চিত্রে ∠CBD = 90° এবং ∠BDA = 30° এবং B হল বৃত্তের কেন্দ্র। ∠ABD এবং ∠BCD এর মধ্যেকার পার্থক্য নির্ণয় কর।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 4 Detailed Solution
প্রদত্ত:
∠CBD = 90°
∠BDA = 30°
ধারণা:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হল এমন একটি ত্রিভুজ যার দুটি বাহু সমান দৈর্ঘ্যের হয়।
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুগুলির সংশ্লিষ্ট কোণের মান সমান হয়।
একটি ত্রিভুজের সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি হল 180°;
গণনা:
ΔBCD তে,
BC = BD
∠BCD = ∠BDC (একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুগুলির সংশ্লিষ্ট কোণের মান সমান হয়)
⇒ ∠BCD + ∠BDC + ∠CBD = 180° (একটি ত্রিভুজের সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি হল 180°)
⇒ 2∠BCD + 90° = 180°
⇒ 2∠BCD = 90°
⇒ ∠BCD = 45° .....(1)
ΔABD তে,
AB = BD
∠BAD = ∠BDA = 30° (একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুগুলির সংশ্লিষ্ট কোণের মান সমান হয়)
∠BAD + ∠BDA + ∠ABD = 180° (একটি ত্রিভুজের সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি হল 180°)
⇒ 30° + 30° + ∠ABD = 180°
⇒ ∠ABD = 180° - 60°
⇒ ∠ABD = 120° ....(2)
সমীকরণ (1) এবং (2)
∠ABD - ∠BCD
⇒ 120° - 45° = 75°
∴ ∠ABD - ∠BCD = 75°
বৃত্তাংশের উপপাদ্য Question 5:
P বিন্দু থেকে এক জোড়া স্পর্শক বৃত্তের ওপর বৃত্তস্থ-চতুর্ভুজ WXYZ-এর W এবং Y বিন্দুতে টানা হয়। যদি ∠WPY 60∘ হয়, তাহলে ∠WXY-এর মান নির্ণয় করুন।
দ্রষ্টব্য: X বিন্দু P বিন্দুর সাথে একই দিকে রয়েছে।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 5 Detailed Solution
প্রদত্ত:
বৃত্তস্থ-চতুর্ভুজ WXYZ-এর W এবং Y বিন্দুতে P বিন্দু থেকে বৃত্তে এক জোড়া স্পর্শক টানা হয়।
∠WPY = 60∘
অনুসৃত ধারণা:
সমান দৈর্ঘ্যের বাহুর বিপরীত দুটি কোণ সর্বসম।
AB = AC হলে, ∠ABC = ∠ACB
বিকল্প বিভাগ উপপাদ্য:
উপরের চিত্র অনুসারে, একটি স্পর্শক এবং একটি জ্যা-এর মধ্যে কোণ (θ) বিকল্প অংশে কোণের (θ) সমান।
সাধারণ বিন্দু P থেকে A এবং B বৃত্তে আঁকা এক জোড়া স্পর্শক,
তাহলে, PA = PB (একটি বাহ্যিক বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে আঁকা স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান)
গণনা:
প্রশ্ন অনুযায়ী, নির্ণেয় চিত্র:
যেহেতু স্পর্শকগুলির দৈর্ঘ্য একই,
অতএব,
∠PWY = ∠PYW
ΔPWY এ,
∠WPY + ∠PWY + ∠PYW = 180∘
⇒ 60∘ + 2∠PWY = 180∘
⇒ ∠PWY = ∠PYW = 60∘
বিকল্প বিভাগ উপপাদ্য অনুযায়ী,
∠PWY = ∠PYW = ∠WZY = 60∘
যেহেতু একটি বৃত্তস্থ-চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলির সমষ্টি 180∘,
অতএব,
∠WZY + ∠WXY = 180∘
⇒ 60∘ + ∠WXY = 180∘
⇒ ∠WXY = 120∘
নির্ণেয় চিত্রটি হল:
∴ নির্ণেয় উত্তর হল 120∘
Top Theorem on Segments MCQ Objective Questions
প্রদত্ত চিত্রে, ∠BOQ = 60° এবং AB হল বৃত্তের ব্যাস। ∠ABO নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFউপপাদ্য অনুসারে, অর্ধবৃত্তের কোণ হল একটি সমকোণ,
⇒ ∠BOA = 90°
উপপাদ্য: বিকল্প খণ্ডের উপপাদ্য অনুসারে, ছেদবিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি স্পর্শক এবং একটি জ্যার মধ্যে উৎপন্ন কোণ বিকল্প অংশের কোণের সমান।
⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°
ΔABO-তে,
ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি 180°
⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 90° – 60° = 30°
নীচে দেওয়া চিত্রে, SPT বৃত্তের P বিন্দুতে একটি স্পর্শক এবং O বৃত্তের কেন্দ্র। যদি ∠QPT = α হয়, তাহলে ∠POQ কত?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDF∠OPT = 90° [∵ ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব]
∠OPQ = 90° - ∠QPT = 90° - α
∠OQP = 90° - α [∵ OQ = OP]
ত্রিভুজ OQP তে
∠O + ∠Q + ∠P = 180°
∠O + 90 - α + 90 - α = 180
∴ ∠O = 2α
O যদি বৃত্তের কেন্দ্র হয়, তাহলে প্রদত্ত চিত্রে x এর মান নির্ণয় করুন?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFপ্রদত্ত:
∠AOC = 110°
∠AOB = 90°
অনুসৃত ধারণা:
একটি বৃত্তচাপ দ্বারা বৃত্তের কেন্দ্রে সৃষ্ট কোণ ঐ বৃত্তচাপ দ্বারা বৃত্তের পরিধিতে সৃষ্ট কোণের দ্বিগুণ হয়।
একটি বিন্দুর চারপাশে কোণগুলি সর্বদা 360° পর্যন্ত যোগ করবে
গণনা:
∠AOC = 110°
∠AOB = 90°
একটি বিন্দুর চারপাশে কোণগুলি সর্বদা 360° পর্যন্ত যোগ করবে
∠BOC = 360° - (∠AOC + ∠AOB)
⇒ ∠BOC = 360° - (110° + 90°)
⇒ ∠BOC = 160°
এখন,
∠BAC = ∠BOC/2
∠BAC = 160°/2
∠BAC = 80°
∴ x-এর মান হল 80°
Alternate Method
ত্রিভুজ AOC তে,
OC = OA (বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
অতএব, এই বাহুর বিপরীত কোণগুলি সমান হবে (∠OCA = ∠OAC)
মনেকরি ∠OCA এবং ∠OAC হল y
110 + 2y = 180
2y = 70
y = 35
ত্রিভুজ AOB তে,
OA = OB (বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
অতএব, এই বাহুর বিপরীত কোণগুলি সমান হবে (∠OAB = ∠OBA)
মনেকরি ∠OAB এবং ∠OBA হল z
90 + 2z = 180
2z = 90
z = 45
সুতরাং, 'x' এর মান হবে (y + z) = 35 + 45 = 80
নিম্নে প্রদত্ত চিত্রে, যদি AB ∶ BC = 4 ∶ 5 হয়, তাহলে AD ∶ AB কত হবে?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFপ্রদত্ত, AB ∶ BC = 4 ∶ 5
⇒ BC = (5/4) × AB
∵ AC = AB + BC
⇒ AC = AB + (5/4) × AB = (9/4) × AB
স্পর্শক ছেদক উপপাদ্য অনুযায়ী, স্পর্শকের সাথে ছেদক নিম্নলিখিত উপায় সম্পর্কিত,
⇒ AD2 = AB × AC
⇒ AD2 = (9/4) × AB2
⇒ AD/AB = √(9/4) = 3/2
∴ AD ∶ AB = 3 ∶ 2যদি নিচের চিত্রে, PA = 15 সেমি, PD = 6 সেমি, CD = 4 সেমি হয়, তাহলে AB এর মান হবে:
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFএই চিত্রে
যাক PB = x
সেক্যান্ট বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী,
PB x PA = PD x PC [PC = PD + CD]
xx 15 = 6 x 10
x = 4 = PB
AB = 15 - 4 = 11 সেমিযদি দুটি জ্যা AB এবং CD, O বিন্দুতে ছেদ করে এবং AO = (9x – 2) সেমি, BO = (2x + 2) সেমি, CO = 4x সেমি এবং DO = (7x – 2) সেমি হয়, তাহলে, AO (x > 1) এর মান নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFআমরা জানি যে,
AO × OB = OC × OD
⇒ (9x – 2) × (2x + 2) = (4x) × (7x – 2)
⇒ 18x2 – 4x + 18x – 4 = 28x2 – 8x
⇒ 10x2 – 22x + 4 = 0
⇒ 10x2 – 20x – 2x + 4 = 0
⇒ 10x(x – 2) – 2(x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(10x – 2) = 0
⇒ x = 2 বা x = 0.2
⇒ x = 2
AO = (9x – 2) = (18 – 2) = 16 সেমি
∴ AO এর মান হল 16 সেমি
নীচের চিত্রে O হল বৃত্তের কেন্দ্র। ∠APQ = 35° হলে, ∠OQP-এর মান নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFবিকল্প রেখাংশের উপপাদ্য অনুসারে, ছেদ বিন্দুতে একটি স্পর্শক এবং একটি জ্যার মধ্যে উৎপন্ন কোণটি বৃত্তের বিকল্প অংশে জ্যা দ্বারা তৈরি কোণের সমান।
প্রদত্ত চিত্রে,
⇒ ∠APQ = ∠QRP = 35°
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্রে একটি চাপ দ্বারা প্রত্যাবর্তিত কোণটি বৃত্তের অন্য কোন বিন্দুতে চাপ দ্বারা প্রত্যাবর্তিত কোণের দ্বিগুণ।
⇒ ∠QOP = 2 × ∠QRP = 2 × 35° = 70°
এখন, ΔOQP বিবেচনা করে পাই,
∵ OQ = OP = বৃত্তের ব্যাসার্ধ
⇒ ΔOQP একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
⇒ ∠OQP = ∠OPQ
∵ ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি = 180°
⇒ ∠QOP + ∠OQP + ∠OPQ = 180°
∴ ∠OQP = (180° – 70°)/2 = 110°/2 = 55°
নিম্নের চিত্রে O হল 7 এককের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের কেন্দ্র। PO হল কোণ QPR এবং কোণ QOR-এর কোণ দ্বিখণ্ডক। কোণ RPO = 30°, QR অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFপ্রদত্ত,
⇒ ∠RPO = 30°
⇒ ∠RPQ = 2∠RPO = 60°
তারপর,
⇒ ∠RPQ = 1/2 × ∠QOR
⇒ ∠QOR = 120°
অতএব,
QR অংশের ক্ষেত্রফল
= QRO বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল - ΔQOR এর ক্ষেত্রফল
বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল = (θ/360°) × πr2
যেখানে θ গঠিত কোণ এবং r হল ব্যাসার্ধ
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × a × b × sin θ
যেখানে a, b বাহু এবং θ তাদের মধ্যবর্তী কোণ
= (120/360) × 22/7 × 7 × 7 - (7 × 7/2) × sin120°
= 51.33 - 21.21 = 30.12 বর্গএকক
∆ABC-তে, ∠CAB-এর দ্বিখণ্ডক BC-কে D বিন্দুতে এবং ∆ABC-এর পরিবৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করে। যদি AC : AE = 4 : 7 হয়, তাহলে AD : AB-এর অনুপাত কত হবে?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFAE হল ∠CAB-এর কোণ দ্বিখণ্ডক।
⇒ ∠EAB = ∠CAE
এছাড়াও ∠CBA = ∠CEA (বৃত্তে জ্যা AC দ্বারা উৎপন্ন কোণ)
⇒ ∆AEC ~ ∆ABD
⇒ AC/AE = AD/AB = 4/7
⇒ AD : AB = 4 : 7
দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 9 সেমি এবং 12 সেমি এবং যারা একে অপরকে ছেদ করে। তাদের কেন্দ্রগুলির মধ্যে দূরত্ব 15 সেমি। তাদের সাধারণ জ্যার দৈর্ঘ্য (সেমি) কত?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFকেন্দ্রের সাথে যুক্ত রেখাটি সাধারণ জ্যার সাথে লম্ব হবে এবং এটিকে দ্বিখণ্ডিত করবে।
ΔNPR এবং ΔNQR-এ
NP = NQ (ব্যাসার্ধ)
NR হল সাধারণ
∠PNR = ∠QNR [∵ NP এবং NQ হল বড় বৃত্তের স্পর্শক]
∴ ত্রিভুজগুলি হল সর্বসম
ΔMNP একটি সমকোণী ত্রিভুজ। কারণ বাহুগুলি হল পিথাগোরীয় ত্রয়ী অর্থাৎ 122 + 92 = 152
ΔMNP এর ক্ষেত্রফল = 1/2 × MN × PR = 1/2 × MP × NP
⇒ MN × PR = MP × NP
⇒ 15 × PR = 12 × 9
PR = 7.2 সেমি
PQ = 2 × PR = 14.4 সেমি