Real Number System MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Real Number System - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

Explanation:

an − bn = (a − b) (an−1 + an−2 b + an−3 b2 + … + bn−1)

Now, xn − yn = (x − y) (xn−1 + xn−2 y + xn−3 y2 + … + yn−1) ≤ (x − y) (xn−1 + xn−2⋅x + xn−3 x2 + … + xn−1)

⇒ xn − yn ≤ (x − y) (xn−1 + xn−1 + … + xn−1) (∵ x ⩾ y)

⇒ xn − yn ≤ n xn−1 (x − y) -

option (4) correct, option (2) Incorrect.

Also, xn − yn ⩾ (x − y) (yn−1 + yn−2 ⋅ y + yn−3 y2 + … + yn−1) (: y ≤ x)

⇒ xn − yn ⩾ (x − y) (yn−1 + yn−1 + … + yn−1)

⇒ xn − yn ⩾ n yn−1(x − y) - 

option (1) correct, option (3) Incorrect.

Also, for opt (2), Take x = 3, y = 2, n = 2

then 2 ⋅ 32−1 (3 − 2) = 2 ⋅ 3 ⋅ 1 = 6 = n xn−1 (x − y)

and xn − yn = 32 − 22 = 9 − 4 = 5

then 6 \(\nleq\) 5 ⇒ n xn−1 (x − y) \(\nleq\) xn − yn. option -

(2) False.

For option (3)

n yn−1 (x − y) = 2 ⋅ 22−1 (3 − 2) = 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4

and xn − yn = 32 − 22 = 9 − 4 = 5

then 4 \(\ngeq\) 5 ⇒ nyn−1 (x − y)\(\ngeq\) xn − yn

option (3) False.