GATE Calculus Questions in Hindi | विस्तृत समाधान के साथ हल की गई समस्याएं [Free PDF]

संकल्पना:

माना कि फलन y = f(x) x के परिभाषित अंतराल पर है। 

फलन अंतिम मानों को प्राप्त करता है (मान अधिकतम या न्यूनतम या दोनों हो सकता है)

उच्चिष्ठ के लिए:

• स्थानीय उच्चिष्ठ: एक बिंदु किसी फलन का स्थानीय उच्चिष्ठ तब होता है यदि वहां कुछ अन्य बिंदु होते हैं जहाँ अधिकतम मान स्थानीय उच्चिष्ठ की तुलना में अधिक होता है लेकिन वह बिंदु स्थानीय उच्चिष्ठ के निकट मौजूद नहीं होता है।
• वैश्विक उच्चिष्ठ: यह वह बिंदु है जहाँ कोई अन्य बिंदु उस क्षेत्र में नहीं है जिसके लिए फलन में वैश्विक उच्चिष्ठ की तुलना में अधिक मान है।

स्थिति:

f"(x)

f"(x) > 0 ⇒ निम्निष्ट 

f"(x) = 0 ⇒ मोड़ का बिंदु 

गणना:

दिया गया है:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x² + 32x³ 

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x² 

चूँकि x = 0 पर f(x) में स्थानीय उच्चिष्ठ है।

f''(0)

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 

k2 - 4

यहाँ, उपरोक्त समीकरण को 0 से कम रखने के लिए k मान -2 से 2 के बीच होना चाहिए। 

⇒ -2

Mistake Points

चूँकि उच्चिष्ठ के लिए स्थिति असमान है, इसलिए इसका उपयोग समीकरण अर्थात् k2 - 4 = 0 के रूप में मत कीजिए। यह k = ± 2 प्रदान करेगा और उत्तर को K 2 में परिवर्तित करता है।

संकल्पना:

फलन f(x) को दिए गए अंतराल में वर्धमान फलन तब कहा जाता है यदि इसके पहली कोटि का अवकलन  दिए गए अंतराल में प्रत्येक बिंदु के लिए सत्य होता है।

गणना:

फलन I:

इसलिए, फलन गैर-वर्धमान फलन है।  

फलन II:

इसलिए, यह फलन गैर-वर्धमान फलन भी है।

आगे, चूँकि cosine फलन एक आवधिक फलन है, इसलिए यह दी गयी सीमा में निरंतर वर्धमान फलन नहीं हो सकता है।

फलन III:

0\)

इसलिए, फलन दिए गए अंतराल में वर्धमान फलन है।

अतः  फलन [0, 1] में प्रत्येक स्थान पर केवल वर्धमान फलन है। 

[L' हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करने पर]

[L' हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करने पर]