ΔOAB का क्षेत्रफल क्या है, जहाँ O केंद्र है?

\(\overrightarrow {OA} = \;3\hat i - \hat j + \hat k\;and\;\overrightarrow {OB} = \;2\hat i + \hat j - 3\hat k\)

संकल्पना:

I. यदि \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;and\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\)है, तो  \(\vec a \times \;\vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k}\\ {{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|\) है।

II. यदि \(\vec a\;and\;\vec b\) एक त्रिभुज की सन्निकट भुजाएं हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न द्वारा ज्ञात किया जाता है: \(\frac{1}{2}\;\left| {\vec a \times \;\vec b} \right|\)

गणना:

दिया गया है: ΔOAB में, जहाँ O केंद्र है, \(\overrightarrow {OA} = \;3\hat i - \hat j + \hat k\;and\;\overrightarrow {OB} = \;2\hat i + \hat j - 3\hat k\)

\(\overrightarrow {OA} \times \;\overrightarrow {OB} = \;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k}\\ 3&{ - 1}&1\\ 2&1&{ - 3} \end{array}} \right| = 2\;\hat i + 11\;\hat j + 5\;\hat k\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} \times \;\overrightarrow {OB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{11}^2} + {5^2}} = 5\sqrt 6 \)

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि \(\vec a\;and\;\vec b\) एक त्रिभुज की सन्निकट भुजाएं हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न द्वारा ज्ञात किया जाता है: \(\frac{1}{2}\;\left| {\vec a \times \;\vec b} \right|\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {OA} \times \;\overrightarrow {OB} } \right| = \frac{1}{2} \times \;5\sqrt 6 = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\;sq\;units\)