\(\rm (1+x)^3(1+\frac{1}{x})^4\) में x का स्वतंत्र पद क्या है?

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y) n के विस्तार में सामान्य पद \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} \times {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)  द्वारा दिया गया है। 

गणना:

हमें \(\rm (1+x)^3(1+\frac{1}{x})^4\) में x का स्वतंत्र पद ज्ञात करना है। 

⇒ \(\rm (1+x)^3(1+\frac{1}{x})^4 = \frac{(x+1)^3(x+1)^4}{x^4} = (x+1)^7x^{-4}\)

चूँकि हम जानते हैं,\({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} \times {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)

⇒  \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{7}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{7}} - {\rm{r}}}} \rm \times 1^r \times {{\rm{x}}^{\rm{-4}}}\)

= ⁷C_r x^3-r

x के स्वतंत्र पद के लिए x का घांत शून्य होना चाहिए। 

इसलिए, 3 - r = 0

⇒ r = 3

अतः पद T₃₊₁ है और गुणांक ⁷C₃ है।