उन सभी बिन्दुओं का समुच्चय, जहाँ फलन \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \sqrt {1 - {{\rm{e}}^{ - {{\rm{x}}^2}}}} \) अवकलनीय है, कौन-सा है?

संकल्पना:

• एक फलन को उस बिंदु पर तब अवकलनीय कहा जाता है जब वहां उस बिंदु पर एक परिभाषित अवकलज होता है। 
• हर शून्य नहीं होना चाहिए। 

• श्रृंखला नियम: \(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right){\rm{g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)

गणना:

दिया गया है: \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \sqrt {1 - {{\rm{e}}^{ - {{\rm{x}}^2}}}} \)

\({\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left( {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)} \right)\)

\(= \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left( {\sqrt {1 - {{\rm{e}}^{ - {{\rm{x}}^2}}}} } \right)\)

\(= \frac{1}{{2\sqrt {1 - {{\rm{e}}^{ - {{\rm{x}}^2}}}} }} \times \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - {{\rm{x}}^2}}}} \right)\)      \(\left( \because {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left( {\sqrt {\rm{x}} } \right) = \frac{1}{{2\sqrt {\rm{x}} }}} \right)\)

\(\Rightarrow {\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt {1 - {{\rm{e}}^{ - {{\rm{x}}^2}}}} }}\left( { - {{\rm{e}}^{ - {{\rm{x}}^2}}}} \right)\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left( { - {{\rm{x}}^2}} \right)\)

\(= \frac{{\left( { - {{\rm{e}}^{ - {{\rm{x}}^2}}}} \right)}}{{2\sqrt {1 - {{\rm{e}}^{ - {{\rm{x}}^2}}}} }}\left( { - 2{\rm{x}}} \right)\)

\(= \frac{{{\rm{x}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{x}}^2}}}}}{{\sqrt {1 - {{\rm{e}}^{ - {{\rm{x}}^2}}}} }}\)

अब, x = 0 पर, f’(x) = 0/0

इसलिए, x = 0 पर छोड़कर f’(x), x के सभी मानों के लिए परिभाषित है। 

⇒ f(x), (-∞, 0) ∪ (0, ∞) पर अवकलनीय है।