किसी गैस का दबाव p, कणों के संख्या घनत्व ρ, तथा तापमान T पर p = k_BTρ - B₂ρ² + B₃p³ के अनुसार निर्भर करता है, जहां B₂ तथा B₃ धनात्मक स्थिरांक हैं। T_c, ρ_c तथा p_c क्रमश: क्रांतिक तापमान, क्रांतिक संख्या घनत्व तथा क्रांतिक दबाव मानें। तब अनुपात ρ_ck_BT_c / P_c का मान है

संप्रत्यय:

यदि किसी गैस का दाब (P) तापमान (T) और घनत्व (ρ) का फलन है

⇒ P = P (T,ρ)

तब क्रांतिक तापमान T= T_c पर

\(\left[ \frac{\partial P}{\partial ρ} \right]_{T = T_C} = 0 \\ \left[ \frac{\partial^2 P}{\partial ρ^2} \right]_{T = T_C} = 0 \)

व्याख्या:

दिया गया दाब, P = kBТρ - B2ρ2 + B3ρ3

क्रांतिक तापमान T = T_c पर

\(\left[ \frac{\partial P}{\partial ρ} \right]_{T = T_C} = 0 \\ \left[ \frac{\partial^2 P}{\partial ρ^2} \right]_{T = T_C} = 0 \)

इसलिए,

\(\begin{aligned} & \frac{\partial P}{\partial ρ}=k_B T-2 B_2 ρ+3 B_3 ρ^2=0 \quad \quad\quad \text{(i)}\\ & \frac{\partial^2 P}{\partial ρ^2}=-2 B_2+6 B_3 ρ=0 \quad \quad\quad \quad \quad\quad \text{(ii)}\\ &⇒ 2 B_2=6 B_3 ρ\\ &⇒ B_2=3 B_3 ρ\quad \quad\quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \text{(iii)} \\ \end{aligned}\)

इसलिए, समीकरण (i) में B₂ का मान रखने पर

⇒ K_BT - 2B₂ρ + 3B₃ρ² = 0

⇒ KBT - 2(3B₃ρ)ρ + 3B3ρ2 = 0

⇒ KBT_c = 3B3ρ_c2 ---- (iv)

अब, P में B2 का मान रखने पर

⇒ P = kBТρ - B2ρ2 + B3ρ3

⇒ P_c = kBТ_cρ_c - B2ρ_c2 + B3ρ_c3

⇒ Pc = (3B3ρc2)ρc - (3B3ρc)ρc2 + B3ρc3

⇒ Pc = B3ρc3 ---- (v)

अब, ρckBTc / Pc = ρc (3B3ρc2) / (B3ρc3) = 3

इसलिए सही उत्तर विकल्प 2 है।