एक दोलन प्रणाली का अवकलन समीकरण है

\(\dfrac{d^2x}{dt^2}+2r \dfrac{dx}{dt}+ω_0^2 x=0\).

यदि ω₀ >> r तो वह समय क्या होगा जब ऊर्जा , आरंभिक मान का \(\dfrac{1}{e^4}\)हो जाएगी ?

अवधारणा:

• जब कोई बाहरी बल निकाय पर कार्य नहीं करता है, तो इसे प्रारंभिक विस्थापन देने के बाद, फिर निकाय को मुक्त या प्राकृतिक कंपन के अधीन कहा जाता है।
• जब निकाय बाहरी बल के प्रभाव में कंपन करता है, तो निकाय को प्रबलित कंपन के अधीन कहा जाता है।
• जब कंपन के हर चक्र पर आयाम में कमी आती है, तो गति को अवमंदित कंपन कहा जाता है।
• यह इस तथ्य के कारण है कि कंपन प्रणाली के पास ऊर्जा की एक निश्चित मात्रा हमेशा गति के घर्षण प्रतिरोध पर काबू पाने में नष्ट हो जाती है।

मुक्त अवमंदित कंपन:

\(\begin{align} & m\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}+b\frac{dx}{dt}+kx=0\Rightarrow \frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}+\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0 \\ & \frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}+\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}+{{\omega }_{0}}^{2}x=0......(\because {{\omega }_{0}}=\sqrt{\frac{k}{m}}) \\ \end{align}\)

• और चूंकि ऊर्जा कम होती रहती है, इसलिए अवमंदित दोलित्र के लिए ऊर्जा की अभिव्यक्ति को निम्न रूप में दिया जाता है 

\(E=\frac{1}{2}k{{({{x}_{\max }})}^{2}}{{e}^{-\frac{bt}{m}}}={{E}_{0}}{{e}^{-\frac{bt}{m}}}\)

जहां,

x = विस्थापन

b = अवमंदित गुणांक

m = द्रव्यमान

k =स्प्रिंग स्थिरांक या सामग्री स्थिरांक

E = कुछ समय t पर अवमंदित दोलित्र की ऊर्जा

E₀ = प्रारंभिक ऊर्जा

ω₀ = दोलन की आवृत्ति

गणना:

दिया गया है,

b/m = 2r

\(E=\frac{1}{{{e}^{4}}}\times {{E}_{0}}\Rightarrow \frac{E}{{{E}_{0}}}=\frac{1}{{{e}^{4}}}\)

अब उपरोक्त समीकरण से, हम जानते हैं कि समय के किसी भी क्षण  पर दोलित्र की प्रारंभिक और ऊर्जा के बीच संबंध इस रूप में दिया जाता है-

\(\begin{align} & E={{E}_{0}}{{e}^{-\frac{bt}{m}}}\Rightarrow \frac{E}{{{E}_{0}}}={{e}^{-\frac{bt}{m}}} \\ & \frac{1}{{{e}^{4}}}={{e}^{-\frac{bt}{m}}}\Rightarrow {{e}^{-4}}={{e}^{-2rt}} \\ \end{align}\)

\(\therefore 4=2rt\Rightarrow t=\frac{2}{r}\)

अति अवमंदित प्रणाली:\(b>\sqrt{4mk}\)

यह अनावधिक गति का समीकरण है अर्थात अति अवमंदन के कारण प्रणाली कंपन नहीं कर सकती है। परिणामी विस्थापन का परिमाण समय के साथ शून्य तक पहुंचता है।

न्यून अवमंदित : \(b<\sqrt{4mk}\)

 यह परिणामी गति है जो घटते आयामों के साथ दोलनीय है जिसमें आवृत्ति ω होती है। अंतत, गति समय के साथ नीचे की ओर जाती है ।

क्रांतिक अवमंदन : \(b=\sqrt{4mk}\)

विस्थापन कम से कम समय में शून्य पर पहुंच जाएगा।