Question
Download Solution PDFएक वृत्त के लघु वृत्तखंड में PQ एक जीवा है और R, लघु चाप PQ पर एक बिंदु है। बिंदु P और Q पर स्पर्श रेखाएँ बिंदु T पर मिलती हैं। यदि ∠PRQ = 102°, तो ∠PTQ का माप क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
PQ एक वृत्त के लघु वृत्तखंड में एक जीवा है।
R, लघु चाप PQ पर एक बिंदु है।
बिंदु P और Q पर स्पर्श रेखाएँ बिंदु T पर मिलती हैं।
∠PRQ = 102°
प्रयुक्त सूत्र:
केंद्र पर किसी चाप द्वारा बनाया गया कोण, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उसके द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है।
एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
स्पर्श बिंदु से गुजरने वाली जीवा और स्पर्श रेखा के बीच का कोण, एकांतर खंड में कोण के बराबर होता है (स्पर्श रेखा-जीवा प्रमेय)।
एक चतुर्भुज में कोणों का योग 360° होता है।
गणना:
मान लीजिए कि O वृत्त का केंद्र है।
P, R, Q और दीर्घ चाप PQ पर किसी अन्य बिंदु S द्वारा निर्मित चक्रीय चतुर्भुज पर विचार करें।
दीर्घ खंड में किसी भी बिंदु पर जीवा PQ द्वारा बनाया गया कोण, ∠PRQ का संपूरक होगा।
परिधि पर दीर्घ चाप PQ द्वारा बनाया गया कोण ∠PRQ = 102° है।
परिधि पर लघु चाप PQ द्वारा (दीर्घ खंड पर) बनाया गया कोण 180° - 102° = 78° होगा।
∠PSQ = 180° - ∠PRQ (क्योंकि यदि S दीर्घ चाप पर है तो PRQS एक चक्रीय चतुर्भुज है)।
इसलिए, ∠PSQ = 180° - 102° = 78°
केंद्र O पर लघु चाप PQ द्वारा बनाया गया कोण, अर्थात् ∠POQ, परिधि पर दीर्घ खंड में इसके द्वारा बनाए गए कोण (∠PSQ) का दोगुना है।
⇒ ∠POQ = 2 × ∠PSQ
⇒ ∠POQ = 2 × 78°
⇒ ∠POQ = 156°
अब, चतुर्भुज TPOQ पर विचार करें। TP और TQ क्रमशः P और Q पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
हम जानते हैं कि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
चतुर्भुज TPOQ में कोणों का योग 360° है।
⇒ ∠PTQ + ∠TPO + ∠POQ + ∠TQO = 360°
⇒ ∠PTQ + 90° + 156° + 90° = 360°
⇒ ∠PTQ + 336° = 360°
⇒ ∠PTQ = 360° - 336°
⇒ ∠PTQ = 24°
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।
Last updated on Jul 17, 2025
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