Question
Download Solution PDFमानें कि p अभाज्य संख्या है। G को ऐसा समूह मानें कि प्रत्येक g ∈ G के लिए एक ऐसा n ∈ ℕ है कि gpn = 1 है। निम्न वक्तव्यों में से कौन सा असत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
(i) सिलो का पहला प्रमेय: मान लीजिए G एक परिमित समूह है और मान लीजिए कि p एक अभाज्य समूह है। यदि pk |G| को विभाजित करता है, तो G के पास क्रम pk का कम से कम एक उपसमूह है।
(ii) यदि f o(G) = pn है तो सभी 0 ≤ r ≤ n के लिए क्रम pr का कम से कम n - 1 सामान्य उपसमूह मौजूद है
स्पष्टीकरण:
(1): दिया गया है |G| = p6 इसलिए p4, p6 को विभाजित करता है। फिर सिलो के पहले प्रमेय के अनुसार, एक उपसमूह H ⊂ G मौजूद है जिससे |H| = p4
इसलिए H का सूचकांक = p6/ p4 = p2
विकल्प (1) सत्य है।
(2): |G| = p6तो परिणाम के अनुसार (ii) G में कम से कम पाँच सामान्य उपसमूह हैं।
विकल्प (2) सत्य है और विकल्प (4) असत्य है।
(3): यदि हम (P
विकल्प (3) सत्य है।
Last updated on Jun 5, 2025
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